数域F上多项式的最大公因式的讲解

３ 十 三 ２ ＋
２
一
２ 。
工 ４ ＋Ｘ ３ Ｘ ２
一
一
Ｘ
及最大公因式的定义 ； （ ２ ） 最大公 因式 的性质 ； （ ３ ） 辗转 相除
一 一 一 一 —
法求解两个多项式的最大公 因式 ； （ ４ ） 相关题 型的一题 多解 。 公因式 、 最大公 因式 ： （ １ ） 若ｆ （ ） ， ｇ（ ） ， ｈ （ ）Ｅ Ｆ［ ］ ， 且 ） ， ｈ （ ） Ｉ ｇ （ ） ， 则称 ｈ （ ） 为． 厂 （ ） 与ｇ （ ） 的 一个 公 因 式。（ ２ ） 若， （ ） ， ｇ （ ） ， ｄ （ ）∈Ｆ［ ］ ， 且 （Ｉ） ｄ （ ） 是， （ ） 与
， （ ） 与ｇ （ ｘ ） 的最 大公 因式 ， 且， （ ） 与ｇ （ ） 也只有这样 的最
大公因式。 由此知 ， （ １ ） 若， （ ） ＝ｇ （ ｘ ）＝０ ， 则 最大公 因式为零 多项 式； （ ２ ） 若 ） ， ｇ （ ） 不全为零 ， 则最 大公 因式 不等 于零 。记 厂 （ ） ， ｇ （ ｘ ） 的首系数 为 １的最 大公 因式 为 （ ｆ （ ） ， ｇ （ ） ） ， 则
常数去乘 被除式或 者除式 。这 种方法 不仅 在辗 转相 除法 的 开始可以用 ， 而且在 辗转 相除 的过 程 中也 可 以用 ， 对 计算 的 结 果并无影响。
（ ｘ ２）
一 ２ —３ ｘ 一２
－ ２ ｘ —２ ｘ
－
２ｘ 一６ ｘ一４
２ Ｘ —３ 一１
一 —ｌ
．
或被除式乘以非零的常数， 对余式来说仅是零次因式的差
异， 所 以为 了避免分 数系 数计 算时 的麻烦 ， 允许对 除式或被
除式乘 以非零 常数。 此题 可按 如下进行 ：
ｆ× ２） ＋ 一 ～１ ＋ ’一３ ｘ 一４ ｘ—Ｉ
Ｘ４＋ ３
２
一
（ ， （ ｘ ） ， ｇ （ ） ） 唯一 。
ｄ （ ） 的 因式 ； 则称 ｄ （ ） 为 ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 。 定理： Ｆ ［ ］ 对 中任 意两个 多项式 ， （ ） ， ｇ （ ｘ ） ， 则（ １ ） ， （ ） 与ｇ （ ） 的最大公 因式一定存 在 ； （ ２ ） 若ｄ （ ｘ ） 是， （ ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 ， 那么ｃ ｄ（ ） （ ｃ 是 Ｆ 中非 零 常数 ） 也是
多项 式的最大公 因式 是高 等代数 多项 式 中的重 要教学
ｌ
＋ 一
＋
一 一 １
＋ ’一３ 一４ ｘ一１
内容 ， 本文在一般数 域上 讨论 多项 式 的最大 公 因式 ， 得 出的
结论适用范围较广。我们 选择 的教 学 内容 包括 ： （ １ ） 公 因式
２
４
一 一
２
‘
一 一
２
一 一
Ｉ ｌ
—
—２ 一３ ｘ一１ ２ ｘ —２
８
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４
＋ 一
３
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１ ， ３ ２
一
４
４
３
一 一
３
一 一 一
４
４
－
１
ｇ （ ） 的一个公因式 ； （ Ⅱ） ， （ ） 与ｇ （ ） 的每 一个公 因式都是
Ｊ ａ ｎ ． ２ Ｏ１ ３
Ｖ０ １ ． ２ ６ Ｎ ｏ ． １
数 域 Ｆ上 多项 式 的最 大 公 因式 的讲 解
魏 帼
（ 兰州职业技术学 院， 甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ） 摘 要： 重点讲解 数域 Ｆ上 多项 式的最大公 因式， 应 用辗 转相 除法求 解两个 多项 式的最 大公 因式及相 关题 型
２ ｘ—ｌ
厂 （ ） （ ） ＋ｇ （ ） （ ）＝ｄ （ ） 。 辗转 相除法是求两个多项式 的最大公 因式的一般 方法 ，
－
在每次作除法时用 的是带 余除 法 。它 的原 理 和一般 实例可 以参 见《 高等代数》 ， 为 了运算 的简化 ， 我们 可以用一个 非零
２ ０ １ ３年 １月 第２ ６卷第 １ 期
黑龙江 生态工程 职业学院学报 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｉ ｌ ｏ ｎ ｇ ｉ ｉ ａ ｎ ｇ Ｖ ｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｉ ｎ ｓ ｉ ｔ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｅ ｃ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
最大公因式的性质 ： 设， （ ） ， ｇ （ ） Ｅ ， ［ ］ ， ｄ （ ） 是ｆ （ ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 ， 则存在 “ （ ） ， （ ） Ｅ Ｆ ［ ］ ， 使 得
．
一
２ ｘ ＋２ 一２ｘ一２ ２ 十３ ｘ ＋ 一 ２ ｘ —３ 一１
的 一题 多解 。
关键词 ： 多项 式； 最 大公 因式 ； 辗转相 除法； 一题 多解
中图分类号： Ｇ ６ ４ ２ ． ０ ； ０ １ ３
文献标志码 ： Ａ
文章编号： １ ６ ７ ４ — ６ ３ ４ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ １ ０ ７ — ０ ２
ｌ
一 一
’ ＿ｒ
Ｘ—ｌ
０
其 最 后 不为 零的 余式为一 ÷％ 一 ÷， 所以， （ ） 与ｇ （ ） 的 最
大公 因式 （ ， （ ） ， ｇ （ ） ）＝ ＋１ 。
由于两个 多项式 的最大 公 因式 是这两个多项 式辗转相 除时最后不为零 的余式 ， 而在相 除 的一开始或 中途 ， 对 除式
－Ｘ一１
—
例ｌ ： 求， （ ） 与ｇ （ ｘ ） 的最大公因式 ， 其中ｆ （ ） ＝ ＋
一
３ 一 ４Βιβλιοθήκη Baidu 一１ ， ｇ （ ）＝ 。 ＋ 一 一１
） ］
所 以己 ） ， ｇ （ ） ）＝ ＋１ 。