组合数学研究生试卷整理版

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学科专业代码 081202/081203/430112

学科专业名称 计算机应用技术、计算机软件与理论、计算机技术 考试科目代码_ 01 考试科目 组合数学

(本试卷考试时间为2个小时,卷面分数100分,答案请写在答题本上)

一、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

1、在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格(即有一条公共边的两个方格),有

__________种不同的选取方法。

2、将5封信投入3个邮筒,有_________种不同的投法。

3、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项,其中4项包含x ,2项包含

xyz ,1项包含常数项,求包含xy 的项有 个.

4、由1,2,3,4,5 组成的大于43500的五位数的共有____个。

5、把9个相同的球放入3个相同的盒,不允许空盒,则有_______种不同方式。

三、应用题(本大题共5小题,每题各15分,共75分)

6、若有1克砝码3枚,2克砝码4枚,4克砝码2枚,问能称出多少种不同的重量?各有多少方案?

7、 某学者每周上班6天工作42小时,每天工作的小时数是整数,且每天工作时间不少于6

小时也不多于8小时。今要编排一周的工作时间表,问有多少种不同的编排方法?

8、 核反应堆中有α和β两种粒子,每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子,而一个β粒子

分裂成一个α粒子和两个β粒子,若在时刻t = 0时反应堆中只有一个α粒子,问t = 100秒时反应堆中将有多少个

α粒子?多少个β粒子?

9、 正六面体的8个顶点分别用红蓝两色染色,问有多少种不同的染色方案?刚体运动使之吻

合算一种方案。 10、 期末考试有六科要复习,若每天至少复习完一科(复习完的科目不再复习),5天里把全

部科目复习完,则有多少种不同的安排? 一、填空题(每小题5分,共25分):

1、22 解:用加法原则:5×(3-1)+3×(5-1)=22。

2、243 解:每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。所以分步属于乘法原则,即

3×3×3×3×3=81×3=243。 3、 2 解:设S 为9个项构成的集合,设a 表示含有x 这一性质,设b 表示含有y 这一性

质,…,设c 表示含有z 这一性质,所求为:()N ab ,而: (其中0N 为常数项个数).再由对称性有: ()()()N a N b N c ==,

()()()N ab N bc N ac ==,又9,()4,()2S N a N abc ===

得:()2N ab =。

4、 900 解:题目可理解为:

将所求方案分成三类:

(1)万位上是5, (2)万位上是4,千位上是4或5,(3)万位上是4,千位上是3,百位上是5,于是所求为54 + 2×53 +52 = 900 5、 7 解:等价于正整数9的3-部无序分拆数)9(3P 。

由定理∑=-=

r

k k r r n P n 1

)()(P )(r n >得:

)9(3P =)6()6()6()6(3211

P P P P r

k k ++=∑=

=1+3+)6(3P =4+)3(1P +)3(2P +)3(3P =4+1+1+1=7

二、应用题(本大题共5小题,每题各15分,共75分) 6. 解:

232468482

3

4

5

6

18

19

()(1)(1)(1)122334...G x x x x x x x x x x x x x x x x x x

=+++++++++=+++++++++

能称出从1克至19克的重量,称出n 克的方案数即x n 的系数 7. 解:设i x 为第i 天工作小时数()61≤≤i

题目可以转化为:

求不定方程42654321=+++++x x x x x x 满足条件86≤≤i x (i=1,2…6)的个数 设所求为N ,则N 是 ()6

876)(t t t t A ++=展开式中42

t

的系数,而

即 N 是(

)k

k t

k t

∑∞=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-0

6

3551展开式中6

t 的系数

()()()1415565535561553111626006116226=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=C C C C C N 8.

解:设t 秒钟的α粒子数为t a ,β粒子数为t b 。

(*)式的特征方程为 2

230x x --= ,解得121 , 3r r =-=

代入初始值010, 3 b b ==,解得1233 , 44

A A =-

= 9、解:第一类置换:p1= (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) ;

第二类置换:

绕上下面中心逆旋转90度p2= (1234)(5678), 绕上下面中心逆旋转180度p3= (13)(24)(57)(68), 绕上下面中心逆旋转270度p4= (1432)(5876),

同理绕左右面和前后面中心的旋转置换格式各2个42,1个24, 共6个42格式置换,3个24格式置换; 第三类置换:

绕对棱的中点连线EF 翻转p11= (48)(26)(17)(35),

同理绕其余5对对棱中点连线可得翻转置换都是24格式, 共6个24格式置换; 第四类置换:

绕体对角线46逆旋转120度p17= (4)(6)(138)(275), 绕体对角线46逆旋转240度p18= (4)(6)(183)(257),

同理绕其余3条体对角线旋转120或240度得置换都是1232格式, 共8个1232格式置换;

以上四类置换的格式:1个18, 6个42, 9个24, 8个1232 ∴ l = (28 + 6⨯22 + 9⨯ 24 + 8⨯ 24)/24 = 23

10、解:该问题类同于求将6件相异物分放到5个不同盒中使得无一空的不同方法,

即求: 5!×)(5,6S 2。因此 5!×)(5,6S 2=5!×⎪⎪⎭

⎝⎛2n =1800。

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