专题拓展课三 竖直面内圆周运动模型及临界问题

专题拓展课三竖直面内圆周运动模型及临界问题

【学习目标要求】 1.通过建立竖直面内圆周运动的轻绳模型，应用动力学方法分析临界问题。2.通过建立竖直面内圆周运动的轻杆模型，分析与绳模型的区别。

3.会通过分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。

拓展点1竖直面内圆周运动的轻绳模型

1.模型概述

无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。

2.模型特点

比较项目特点

情景图示

弹力特征弹力可能向下，也可能等于零

受力示意图

力学方程mg＋F T＝m v2 r

临界特征F T＝0，即mg＝m v2

r，得v＝gr

v＝gr的意义物体能否过最高点的临界点

绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运

动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm(g

＝10 m/s2) 。求：

(1)在最高点水不流出的最小速率；

(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。

解析 (1)杯子运动到最高点时，设速度为v 时水恰好不流出，水的重力刚好提

供其做圆周运动的向心力，

根据牛顿第二定律得mg ＝m v 2

L 代入数据解得v ＝ 6 m/s 。

(2)对水研究，在最高点时由水的重力和杯底的弹力的合力提供水做圆周运动的向心力，

由牛顿第二定律得F N ＋mg ＝m v ′2L 代入数据解得F N ＝2.5 N

由牛顿第三定律知水对杯底的压力大小为2.5 N 。

答案 (1) 6 m/s (2)2.5 N

【针对训练1】 如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R ，要使体重为mg 的乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )

A.0

B.gR

C.2gR

D.3gR

解析 由题意知F N ＋mg ＝2mg ＝m v 2

R ，故速度大小v ＝2gR ，选项C 正确。 答案 C

拓展点2 竖直面内圆周运动的轻杆模型

1.模型概述

有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。 2.模型特点

比较项目

特点

情景图示

弹力特征弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图

力学方程mg±F N＝m v2 r

临界特征v＝0，即F

向

＝0，此时F N＝mg

v＝gr的意义F N表现为拉力还是支持力的临界点

0.5 kg。固定在长为L＝0.2 m的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力(g取10 m/s2)。求：

(1)球在最高点时的速度大小；

(2)当小球经过最低点时速度为4 m/s，杆对球的作用力的大

小；

(3)如果把其中轻细杆变成等长的轻绳，小球刚好能通过最高

点的速度为多大。

解析(1)在最高点，由牛顿第二定律可得

mg＋F＝m v21 L

得v1＝2gL＝2 m/s。

(2)在最低点，由牛顿第二定律可得

F′－mg＝m v22 r

得F′＝45 N。

(3)当速度最小时，重力提供向心力，有mg＝m v23 L

得v3＝gL＝ 2 m/s。

答案(1)2 m/s(2)45 N(3) 2 m/s

【针对训练2】如图所示，质量为2m，且内壁光滑的导管弯

成圆周轨道竖直放置，质量为m的小球，在管内滚动，当小球

运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球的速度多

大？(轨道半径为R，重力加速度为g)

解析小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，说明此时小球对导管的作用力竖直向上，大小为F N＝2mg

分析小球受力如图所示

，

则有F N′＋mg＝m v2

R

由牛顿第三定律知，F N′＝F N

可得v＝3gR

答案3gR

拓展点3水平面内圆周运动的临界问题

1.涉及常见三种力

(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0或不被拉断的最大值。

(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。

(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值。

2.常用解题方法

(1)极限法

把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的。(2)假设法

有些物理过程转化没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题。因此分析时先假设出临界状态，然后再分析判定。

(3)数学方法

将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式，求得临界条件，具体步骤如下：

①对物体进行受力分析。

②找到其中可以变化的力以及它的临界值。

③求出向心力(合力或沿半径方向的合力)的临界值。

④用向心力公式求出运动学量(线速度、角速度、周期、半径等)的临界值。【例3】如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B 的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：

(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；

(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。

解析(1)两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，有μ·2mg＝2mω21·2l

解得ω1＝μg

2l

，

故角速度为μg

2l

时，绳上刚好出现拉力。

(2)当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，

对A有μmg－T＝mω22l

对B有μ·2mg＋T＝2mω22·2l

联立解得ω2＝3μg

5l

故角速度为3μg

5l

时，A、B开始与转盘发生相对滑动。

答案(1)μg

2l(2)

3μg

5l

【针对训练3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，

其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝45°，一条长为L

的轻绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m