工程力学第8章(轴向拉伸与压缩)2

E
FN A
胡克定律
ห้องสมุดไป่ตู้
l
l
FN l l EA
胡克定律的另一表达形式 EA为杆件的拉压刚度
二、拉压杆的横向变形与泊松比
1.横向变形 横向线应变 2.泊松比
b b1 b b
b

三、叠加原理
几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独 作用产生的效果的总和。
FN4 20 0
§8-3
拉压杆的应力与圣维南原理
一、拉压杆横截面上的应力
纵向线伸长相等，横向线保持与纵线垂直。
平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面且仍垂直于轴线。 两横截面间所有纵向纤维变形相同，则受力相同， 说明内力均布，且横截面上各点只有相同的正应力而无 切应力。
横截面上有正 应力无切应力。
3.强化阶段 ⑴ 强化 经过屈服阶段后，材料恢复抵抗 变形的能力，应力增大应变增大。
⑵ 强度极限
b
4. 局部变形阶段（颈缩阶段） ⑴ 颈缩现象 过强化阶段最高点后，试件某 一局部范围内横向尺寸急剧缩小。 ⑵ 试件断口呈杯口状，材料呈颗粒状。
断口中间材料呈颗粒 状，塑性材料三向受 拉脆性断裂破坏
C e P
三、其他塑性材料 拉伸时的力学性能
·名义屈服极限
0.2
对于没有明显屈服点 的塑性材料，将产生0.2% （0.002）塑性应变时的应 力作为屈服应力（名义屈 服极限）。
四、脆性材料拉伸时的力学性能
1.从加载至拉断，变形很小 ，几乎无塑性变形，断口为试件 横截面，，呈颗粒状，面积变化 不大，为脆性断裂，以强度极限 作为材料的强度指标。 2.铸铁的拉伸应力-应变曲 线是微弯曲线，无直线阶段， 一般取曲线的割线代替曲线的 开始部分，以割线的斜率作为 材料的弹性模量。
α斜截面正应力
α斜截面切应力
0 cos2
0
2 sin 2
⑴ σ0 ：横截面上的正应力；α ：横截面外法线转到斜截 面外法线所转的角度，逆时针转为正，反之为负。 ⑵ 正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对研究 对象内任意点产生顺时针转的矩为正，逆时针转的矩为负。
0 cos
例8-6：图示圆截面杆，已知F = 4kN ，l1 = l2 = 100mm ， E = 200GPa 。为保证构件正常工作，要求其总伸长不超过[△l ] = 0.10mm 。试确定杆的直径 d 。 解：AB 段的轴力 FN1 2F BC 段的轴力 FN2 F 杆件总长度改变量
n为构件的安全因素

u
n
塑性材料 ns 1.5 ~ 2.2
脆性材料 nb 3.0 ~ 5.0
二、拉压杆的强度条件
截面轴力
最大工作应力
max
FN ( )max A
截面面积
材料的许用应力
·强度校核 ·截面设计 ·许用载荷确定
x am

FN ( ) x am A FN A

FN A
例8-3：图示桁架，已知两杆的横截面面积均为A = 100mm2 ， 许用拉应力[σ t]=200MPa ，许用压应力[σc]=150MPa 。试求载荷的 最大许用值。 解：求1 、2杆的轴力 以节点B 为研究对象，受力图和坐标系如 图。建立平衡方程
F F
断口为横截面，最 大拉应力引起破坏
断口材料呈颗粒状 ，铸铁单向受拉脆 性断裂破坏
五、材料在压缩时的力学性能
1.低碳钢在压缩时的力学性能
⑴ 在屈服阶段以前，压缩曲线与拉伸曲线基本重合。 ⑵ 进入强化阶段后试件压缩时应力的增长率随应变的增 加而越来越大，压缩强度极限远高于拉伸强度极限。
2. 铸铁在压缩时的力学性能
解：由题可得 FN 50kN 横截面上的正应力 FN 50 103 8 0 1.25 10 Pa 125MPa 6 A 400 10 o 斜截面上的正应力 50 50o 0 cos2 125 cos2 50o 51.6MPa 斜截面上的切应力 125 50o 0 sin 2 sin(2 50o ) 61.6 MPa 2 2
2

0
2
sin 2
特殊截面应力的特点 0 0 o (1) 45 ， ， max 2 2
低碳钢由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸过程中出现 45o 滑移线
(2) 0， 0 max， 0
铸铁拉伸的断裂面为横截面
例8-2：图所示轴向受压等截面杆件，横截面面积 A = 400mm2 ，载荷F = 50kN ，试求横截面及斜截面m -m上的应力。
三、圣维南原理
外力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离 不大于横向尺寸的范围内受到影响。
光弹实验
§8-4
一、材料的力学性能概述
1. 材料的力学性能
材料在拉伸与压缩时 的力学性能
材料从受力开始到破坏过程中所表现出的在变形 和破坏等方面的特性。 2. 试验试件 拉伸试件 压缩试件
拉伸试件
圆形截面试件 l 10d
材料的均匀连续 性假设，可知所有纵 向纤维的力学性能相 同。
轴向拉压时， 横截面上只有正应 力，且均匀分布
FN dA A
A

FN A
二、拉压杆斜截面上的应力
α斜截面上总应力 FN F p 0 cos A A / cos α斜截面正应力 p cos 0 cos2 α斜截面切应力 0 p sin sin 2 2
⑴ 铸铁的压缩曲线与拉伸曲线相似，线性关系不 明显，但是抗压强度比抗拉强度高 4 ～ 5 倍。
⑵ 铸铁试件压缩破坏时，断面的法线与轴线大致成 55o ～ 65o 的倾角，材料呈片状。
断口的法线与轴线 断口材料呈片状，最大切 成55o～65o 应力引起的剪切破坏
铸铁抗剪能力 比抗压能力差
§8-5
一、应力集中
例8-5：图示钢螺栓，内径d1 = 15.3mm ，被连接部分的总 长度l = 54mm，拧紧时螺栓AB段的伸长△l = 0.04mm，钢的弹 性模量E = 200GPa，泊松比μ = 0.3。试计算螺栓横截面上的正 应力及螺栓的横向变形。 解：螺栓的轴向正应变 l 0.04 103 4 7.41 10 l 54 103 螺栓横截面上的正应力 E 200 109 7.41 104 148.2MPa 螺栓的横向正应变 0.3 7.41 104 2.22 104 螺栓的横向变形 d d1 2.22 104 15.3 103 3.4 106 m
断口杯口状，拉伸 屈服阶段受剪破坏
低碳钢抗剪能力 比抗拉能力差
5.材料的塑性指标
·延伸率
l1 l 100% l A A1 100% A
·截面收缩率
延伸率和截面收缩率越大表明材料的塑性越好， 5% 为脆性材料。 一般认为 5% 为塑性材料，
6.卸载定律及冷作硬化 ⑴ 卸载定律 在卸载过程中，应力和应 变按直线规律变化。 ⑵ 冷作硬化 材料塑性变形后卸载，重新加载，材料的比例 极限提高，塑性变形和伸长率降低的现象。
120 103 120MPa 2 6 1000 10
所以杆件强度满足要求。
§8-7
胡克定律与拉压杆的变形
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
1.轴向（纵向）变形： l l1 l 轴向（纵向）线应变： 2.胡克定律
l
l
与 成正比关系。 当 P 时，
应力集中概念
由于截面急剧变化引起的应力增大的现象。 ·应力集中因数
K n
x am
二、应力集中对构件强度的影响
1.脆性材料 σmax 达到强度极限，此位置开裂，所以脆性材料 构件必须考虑应力集中的影响。 2.塑性材料 应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响 不大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未 达到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分 布趋于平均。 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性 材料的影响。
解得： FN1 10kN BC 段： Fx 0 : FN2 FRA 40 0 解得： FN2 50kN
CD 段： Fx 0 : 解得： FN3 5kN
FN3 25 20 0
DE 段： Fx 0 : 解得： FN4 20kN ⑶ 绘制轴力图
第八章 轴向拉伸与压缩 §8-1 引言
· 轴向拉伸或压缩受力特点：
杆件受到的外力或其合力的作用线沿杆件轴线。
· 轴向拉伸或压缩变形特点：
杆件沿轴线方向发生伸长或缩短。
§8-2
一、轴力
轴力与轴力图
·轴力正负规定
拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方 向指向杆件截面）。
F
x
0 : FN F 0
l 5d
矩形截面试件 l 11.3 A l 5.65 A
3. 受力与变形曲线
F l
曲线
消除试件尺寸的影响

曲线
F l , A l
二、低碳钢拉伸时的力学性能
1.弹性阶段 ⑴ 弹性变形 载荷卸除后能完全恢复的变形。 ⑵ 胡克定律 与 成正比关系。 当 P 时， E
x y
0: 0:
FN2 FN1 cos45o 0 FN1 sin45o F 0
FN2 F (压)
解得： FN1 2F (拉)
FN1 2F (拉)
确定载荷的最大许用值
FN2 F (压)
1杆强度条件 FN1 2F A t A t 100 106 200 106 F 14.14kN 2 2 2杆强度条件 FN2 F A c
§8-6
一、失效与许用应力
失效、许用应力与强度条件
1. 失效：构件不能安全正常工作。
构件失效的原因
强度不足 刚度不足 稳定性不足 工作环境、加载方式不当等
2. 极限应力：构件失效前所能承受的最大应力。
塑性材料
u s
脆性材料 u b
3. 许用应力：对于一定材料制成的 构件，其工作应力的最大容许值。
BC 段： Fx 0 : FN3 F 0 解得： FN3 F 60kN ⑵ 确定危险截面 经分析危险截面在BC和AD 段 ⑶ 强度校核 FN3 60 103 max 120MPa 1 6 ABC 500 10
max
FN1 AAD
⑶ P e ， 与 不成正比关系。
P ：比例极限
e ：弹性极限
e P
2.屈服阶段 ⑴ 屈服（流动）现象 应力基本不变，应变显著增 加的现象。 ⑵ 塑性变形 载荷卸除后不能恢复的变形。
s ：屈服极限
⑶ 试件表面磨光，屈服阶段试件表面出现45o 的滑移线。
FN F
二、轴力图
表示轴力沿轴线方向变化情况的图形，横坐标表 示横截面的位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
例8-1：一等直杆受力情况如图所示。试作杆的轴力图。
解：⑴ 求约束力
F
x
0 : FRA 40 55 25 20 0
解得： FRA 10kN
⑵ 截面法计算各段轴力 AB 段： Fx 0 : FN1 FRA 0
6 6 F A 100 10 150 10 15.0kN c
所以载荷F 的最大许用值为14.14kN。
例8-4：图示变截面由两种材料制成，AE 段为铜质，EC 段为 钢质。钢的许用应力[σ]1 = 160MPa，铜的许用应力[σ]2 = 120MPa ， AB 段横截面面积1000mm2，AB 段横截面面积是BC 段的两倍， 。外力F = 60kN ，作用线沿杆方向，试对此杆进行强度校核。 解：⑴ 求杆的轴力，作轴力图 AD 段： Fx 0 : FN1 2F 0 解得： FN1 2F 120kN DB段： Fx 0 : FN2 2F F 0 解得： FN2 F 60kN