工程力学第8章轴向拉伸与压缩

2. 铸铁在压缩时的力学性能
⑴ 铸铁的压缩曲线与拉伸曲线相似，线性关系不明显 ，但是抗压强度比抗拉强度高 4 ～ 5 倍。
⑵ 铸铁试件压缩破坏时，断面的法线与轴线大致成 55o ～ 65o 的倾角，材料呈片状。
断口的法线与轴线 断口材料呈片状，最大切
成55o～65o
应力引起的剪切破坏
铸铁抗剪能力 比抗压能力差
例：图所示轴向受压等截面杆件，横截面面积 A = 400mm2 ，载 荷F = 50kN ，试求横截面及斜截面m -m上的应力。
解：由题可得
FN 50kN 50o
横截面上的正应力
0

FN A

50 103 400 106

1.25108 Pa

125MPa
斜截面上的正应力
解：⑴ 求约束力
Fx 0 : FRA 40 55 25 20 0
解得： FRA 10kN
⑵ 截面法计算各段轴力 AB 段：
Fx 0 : FN1 FRA 0
解得： FN1 10kN
BC 段：
Fx 0 : FN2 FRA 40 0
4. 局部变形阶段（颈缩阶段）
⑴ 颈缩现象 过强化阶段最高点后，试件某一 局部范围内横向尺寸急剧缩小。
⑵ 试件断口呈杯口状，材料呈颗粒状。
断口中间材料呈颗粒 状，塑性材料三向受 拉脆性断裂破坏
断口杯口状，拉伸 屈服阶段受剪破坏
低碳钢抗剪能力 比抗拉能力差
5.材料的塑性指标
·延伸率
l1 l 100%
在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性 材料的影响。
§8-6 失效、许用应力与强度条件
一、失效与许用应力
1. 失效：构件不能安全正常工作。
构件失效的原因
强度不足 刚度不足 稳定性不足 工作环境、加载方式不当等
2. 极限应力：构件失效前所能承受的最大应力。
塑性材料 u s
脆性材料 u b
解：以节点 A 为研究对象，受力图及坐 标系如图所示。建立平衡方程
Fy 0 : F 2FN cos 0
解得：
F
500
FN 2cos 2 cos 200 266kN


FN A

4FN
d2

d
4FN


4 266103
120106
50o 0 cos2 125cos2 50o 51.6MPa
斜截面上的切应力
50o

0
2
sin 2

125 sin(2 50o ) 2
61.6 MPa
三、圣维南原理
外力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不 大于横向尺寸的范围内受到影响。
§8-4 材料在拉伸与压缩时的 力学性能
§8-5 应力集中概念
一、应力集中
由于截面急剧变化引起的应力增大的现象。
·应力集中因数
K max n
二、应力集中对构件强度的影响
1.脆性材料 σmax 达到强度极限，此位置开裂，所以脆性材料 构件必须考虑应力集中的影响。
2.塑性材料 应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
一、轴力
§8-2 轴力与轴力图
·轴力正负规定
拉力为正（方向背离杆件截面）；压力为负（方向 指向杆件截面）。
Fx 0 : FN F 0
FN F
二、轴力图
表示轴力沿轴线方向变化情况的图形，横坐标表示 横截面的位置，纵坐标表示轴力的大小和方向。
例：一等直杆受力情况如图所示。试作杆的轴力图。
三、叠加原理
几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独作 用产生的效果的总和。
例：图示钢螺栓，内径d1 = 15.3mm ，被连接部分的总长度l = 54mm，拧紧时螺栓AB段的伸长△l = 0.04mm，钢的弹性模 量E = 200GPa，泊松比μ = 0.3。试计算螺栓横截面上的正应力 及螺栓的横向变形。
e P
2.屈服阶段 ⑴ 屈服（流动）现象
应力基本不变，应变显著增加 的现象。
⑵ 塑性变形 载荷卸除后不能恢复的变形。
s ：屈服极限
⑶ 试件表面磨光，屈服阶段试件表面出现45o 的滑移线。
3.强化阶段 ⑴ 强化 经过屈服阶段后，材料恢复抵抗变 形的能力，应力增大应变增大。
⑵ 强度极限 b
解得： FN1 2F (拉)
FN2 F (压)
FN1 2F (拉) FN2 F (压)
确定载荷的最大许用值
1杆强度条件
FN1 2F At
F At 100106 200106 14.14kN
2
2
2杆强度条件
FN2 F Ac

0
2
sin 2
90o
0 sin 2
2
90o
0 sin 2
2
90o
·切应力互等定律
过受力物体任一点取互相垂直的两个截面上的切 应力等值反向。
50o 0 cos2 125cos2 50o 51.6MPa
(1)


45o，

0
2
，


0
2
max
低碳钢由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸过程中出现 45o 滑移线
(2) 0， 0 max， 0
铸铁拉伸的断裂面为横截面
(3) 90o， 0， 0
2．两个互相垂直截面的切应力关系

3. 许用应力：对于一定材料制成的 构件，其工作应力的最大容许值。
u
n
塑性材料
n为构件的安全因素
ns 1.5 ~ 2.2
脆性材料 nb 3.0 ~ 5.0
二、拉压杆的强度条件
截面轴力
max

( FN A
)max


材料的许用应力
截面面积
·强度校核
max
解得： FN2 50kN
CD 段：
Fx 0 : FN3 25 20 0
解得：
FN3 5kN
DE 段：
Fx 0 :
解得：
FN4 20 0
FN4 20kN
⑶ 绘制轴力图
§8-3 拉压杆的应力与圣维南原理
一、拉压杆横截面上的Байду номын сангаас力
纵向线伸长相等，横向线保持与纵线垂直。
5.31102m 53.1mm
例：图示桁架，已知两杆的横截面面积均为A = 100mm2 ，许用 拉应力[σ t]=200MPa ，许用压应力[σc]=150MPa 。试求载荷的最大 许用值。
解：求1 、2杆的轴力
以节点B 为研究对象，受力图和坐标系如图。 建立平衡方程
Fx 0 : FN2 FN1 cos 45o 0 Fy 0 : FN1 sin 45o F 0
解：螺栓的轴向正应变


l
l

0.04 103 54 103
E
FN
A
l
l
l
FNi li FN ( x)dx Ei Ai l EA( x)
l FNl
EA
胡克定律的另一表达形式 EA为杆件的拉压刚度
二、拉压杆的横向变形与泊松比
1.横向变形 横向线应变 2.泊松比
b b1 b b
b


( FN A
)max


·截面设计
A

FN

·许用载荷确定 FN A
例：图示变截面由两种材料制成，AE 段为铜质，EC 段为钢质。 钢的许用应力[σ]1 = 160MPa，铜的许用应力[σ]2 = 120MPa ， AB 段 横截面面积1000mm2，AB 段横截面面积是BC 段的两倍，。外力 F = 60kN ，作用线沿杆方向，试对此杆进行强度校核。


0
2
sin 2
⑴ σ0 ：横截面上的正应力；α ：横截面外法线转到斜截面 外法线所转的角度，逆时针转为正，反之为负。
⑵ 正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对研究对 象内任意点产生顺时针转的矩为正，逆时针转的矩为负。
0 cos2


0
2
sin 2
1．特殊截面应力的特点
2.铸铁的拉伸应力-应变曲线 是微弯曲线，无直线阶段，一 般取曲线的割线代替曲线的开 始部分，以割线的斜率作为材 料的弹性模量。
断口为横截面，最 大拉应力引起破坏
断口材料呈颗粒状 ，铸铁单向受拉脆 性断裂破坏
五、材料在压缩时的力学性能
1.低碳钢在压缩时的力学性能
⑴ 在屈服阶段以前，压缩曲线与拉伸曲线基本重合。 ⑵ 进入强化阶段后试件压缩时应力的增长率随应变的增 加而越来越大，不存在抗压强度极限。
F Ac 100106 150106 15.0kN
所以载荷F 的最大许用值为14.14kN。
§8-7 胡克定律与拉压杆的变形
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
1.轴向（纵向）变形： l l1 l
轴向（纵向）线应变： l
l 2.胡克定律
当 P 时， 与 成正比关系。
C e P
三、其他塑性材料 拉伸时的力学性能
·名义屈服极限 0.2
对于没有明显屈服点的 塑性材料，将产生0.2%（ 0.002）塑性应变时的应力 作为屈服点（名义屈服极 限）。
四、脆性材料拉伸时的力学性能
1.从加载至拉断，变形很小， 几乎无塑性变形，断口为试件横 截面，，呈颗粒状，面积变化不 大，为脆性断裂，以强度极限作 为材料的强度指标。
⑵ 确定危险截面
经分析危险截面在BC和AD 段
⑶ 强度校核
max

FN3 ABC

60103 500 106
120MPa

1
max

FN1 AAD

120 103 1000 106
120MPa

2
所以杆件强度满足要求。
例：图示吊环由斜杆AB 、AC 与横梁BC 组成，已知 α =20o ，吊环承受的最大吊重为F = 500kN ，许用应力[σ] = 120MPa 。试求斜杆的直径。
l
·截面收缩率
A A1 100%
A
延伸率和截面收缩率越大表明材料的塑性越好，一
般认为 为5塑%性材料， 为脆性5%材料。
6.卸载定律及冷作硬化
⑴ 卸载定律 在卸载过程中，应力和应变 按直线规律变化。
⑵ 冷作硬化 材料塑性变形后卸载，重新加载，材料的比例极 限提高，塑性变形和伸长率降低的现象。
平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持 为平面且仍垂直于轴线。
两横截面间所有纵向纤维变形相同，则受力相同，说 明内力均布，且横截面上各点只有相同的正应力而无切 应力。
横截面上有正 应力无切应力。
材料的均匀连续性 假设，可知所有纵向 纤维的力学性能相同 。
FN
dA A
A
轴向拉压时， 横截面上只有正应 力，且均匀分布
解：⑴ 求杆的轴力，作轴力图
AD 段：
Fx 0 :
解得：
FN1 2F 0
FN1 2F 120kN
DB段：
Fx 0 : FN2 2F F 0
解得：
FN2 F 60kN
BC 段：
Fx 0 : FN3 F 0
解得： FN3 F 60kN
一、材料的力学性能概述
1. 材料的力学性能
材料从受力开始到破坏过程中所表现出的在变形和 破坏等方面的特性。
2. 试验试件
拉伸试件 压缩试件
拉伸试件 压缩试件
圆形截面试件 l 10d l 5d 矩形截面试件 l 11.3 A l 5.65 A
圆形截面试件 h (1 3)d 方形截面试件
3. 受力与变形曲线
F l 曲线 消除试件尺寸的影响 曲线
F , l
Al
二、低碳钢拉伸时的力学性能
1.弹性阶段
⑴ 弹性变形 载荷卸除后能完全恢复的变形。
⑵ 胡克定律 当 P 时， 与 成正比关系。
E
⑶ P ， 与e 不 成正 比关系。 P ：比例极限 e ：弹性极限
FN
A
二、拉压杆斜截面上的应力
α斜截面上总应力
p

FN A

F
A / cos
0 cos
α斜截面正应力 p cos 0 cos2
α斜截面切应力
p sin

0
2
sin
2
α斜截面正应力 α斜截面切应力
0 cos2