工程力学第8章轴向拉伸与压缩
工程力学16 轴向拉伸与压缩杆的变形
伸长量；(2)C截面相对B截面的位移
(相对位移）和C截面的绝对位移。 解：（2） 位移：指物体上的一些点、
B
B
B′
l2＝200
线、面在空间位置上的改变。 显然，两个截面的相对位移，
C
C
C′
在数值上等于两个截面之间的
F＝40 kN
那段杆件的伸长（或缩短）。 因A截面固定，所以C截面
因此，C截面与B 截面的
掌握：胡克定律表达式的应用 ； 轴向变形— —伸长量的计算 ——难点+重点
谢 谢!
解：（1） 变形：物体受力以后 发生尺寸和形状的改变。
B
B
B′
l2＝200
l1
FN l1 EA1
40 103 N 210 109 Pa
300 103 m 400 106 m2
0.143103m=0.143mm（伸长）
C
C
C′
F＝40 kN
l2
FN l2 EA2
40 103 N 210 109 Pa
实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵 向线应变之比为常数，用绝对值表示为
v
或写成
v
v称为横向变形因数或泊松比
无量纲，由实验测定
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
A
BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa
l1＝300
求：(1)AB、BC段的伸长量及杆 的总伸长量；(2)C截面相对B截面 的位移和C截面的绝对位移。
200 103 m 250 102 0.143mm+0.152mm
0.152103m=0.152mm（伸长） 0.295mm（伸长）
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
材料力学课后答案
- 1 -第8章 杆件的拉伸与压缩8-1 填空题：8-1(1) 如图拉杆的左半段是边长为b 的正方形，右半段是直径为b 的圆杆。
两段许用应力均为 ][σ，则杆的许用荷载 =][F ][4π2σb 。
8-1(2) 图示拉杆由同种材料制成，左部分是内径为D 、外径为D 2的空心圆杆，右部分为实心圆杆，要使两部分具有相同的强度，右部分的直径应取 D3 。
8-1(3) 杆件轴向拉伸或压缩时，其斜截面上切应力随截面方位的不同而不同，而切应力的最大值发生在与轴线间的夹角为 45° 的斜截面上。
8-1(4) 图中两斜杆的抗拉刚度为EA ，A 点的竖向位移为EAFa 2 。
8-1(5) 图中结构中两个构件的厚度b 相同，则它们的挤压面积 =A αcos ab。
8-1(6) 图中结构中，若 h d D 32==，则螺栓中挤压应力、拉伸应力和剪切应力三者的比例关系是 9:24:8 。
题 8-1(5) 图题 8-1(1) 图题 8-1(2) 图题 8-1(6)图F题 8-1(4) 图- 2 -分析：222bs 3π4)(π4d F d D F =−=σ， 2tπ4d F =σ， 22π3πd F hd F ==τ，故有 9:24:883:1:31::tbs ==τσσ。
8-2 单选题：8-2(1) 图示的等截面杆左端承受集中力，右端承受均布力，杆件处于平衡状态。
1、3两个截面分别靠近两端，2截面则离端部较远。
关于1、2、3这三个截面上的正应力的下列描述中，正确的是 C 。
A ．三个截面上的正应力都是均布的 B ．1、2两个截面上的正应力才是均布的 C ．2、3两个截面上的正应力才是均布的 D ．1、3两个截面上的正应力才是均布的8-2(2) 若图示两杆的材料可以在铸铁和钢中选择，那么，综合强度和经济性两方面的因素， C 更为合理。
A ．两杆均选钢 B ．两杆均选铸铁C ．① 号杆选钢，② 号杆选铸铁D ．① 号杆选铸铁，② 号杆选钢8-2(3) 图示承受轴向荷载的悬臂梁中，在加载前的一条斜直线KK 在加载过程中所发生的变化是 D 。
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
《工程力学II》拉伸与压缩实验指导书
《工程力学II 》拉伸与压缩实验指导书§1 拉伸实验指导书1、概述常温、静载作用下的轴向拉伸实验是测量材料力学性能中最基本、应用最广泛的实验。
通过拉伸实验，可以全面地测定材料的力学性能，如弹性、塑性、强度、断裂等力学性能指标。
这些性能指标对材料力学的分析计算、工程设计、选择材料和新材料开发都有极其重要的作用。
2、实验目的2.1 测定低碳钢的下列性能指标：两个强度指标：流动极限s σ、强度极限b σ； 两个塑性指标：断后伸长率δ、断面收缩率ϕ；测定铸铁的强度极限b σ。
2.2观察上述两种材料在拉伸过程的各种实验现象，并绘制拉伸实验的F －l ∆曲线。
2.3分析比较低碳钢（典型塑性材料）和铸铁（典型脆性材料）的力学性能特点与试样破坏特征。
2.4了解实验设备的构造和工作原理，掌握其使用方法。
2.5了解名义应力应变曲线与真实应力应变曲线的区别，并估算试件断裂时的应力k σ。
3、实验原理对一确定形状试件两端施加轴向拉力，使有效部分为单轴拉伸状态，直至试件拉断，在实验过程中通过测量试件所受荷载及变形的关系曲线并观察试件的破坏特征，依据一定的计算及判定准则，可以得到反映材料拉伸试验的力学指标，并以此指标来判定材料的性质。
为便于比较，选用直径为10mm 的典型的塑性材料低碳钢Q235及典型的脆性材料灰铸铁HT150标准试件进行对比实验。
常用的试件形状如图1.1所示，实验前在试件标距范围内有均匀的等分线。
典型的低碳钢(Q235)的L F ∆-曲线和灰口铸铁（HT150）的L F ∆-曲线如图1.2、图1.3所示。
图1.2 低碳钢拉伸L F ∆-曲线 图1.3 铸铁拉伸L F ∆-曲线 F p -比例伸长荷载；F e -弹性伸长荷载；F su -上屈服荷载； F b -极限荷载F sl -下屈服荷载；F b -极限荷载；F k -断裂荷载图1.1常用拉伸试件形状低碳钢Q235试件的断口形状如图1.4所示，铸铁HT150试件的断口形状如图1.5所示，观察低碳钢的L F ∆-曲线，并结合受力过程中试件的变形，可明显地将其分为四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段。
工程力学下题库
工程力学题库一、填空题（每空1分，共57分）（难度A）第八章轴向拉伸和压缩1. "强度"是构件在外力作用下____________ 的能力。
2. 通常，各种工程材料的许用切应力[T不大于其____________ 切应力。
3. 在材料力学中，对可变形固体的性质所作的基本假设是假设、___________________ 设和 ______________ 假设。
4. 衡量材料强度的两个重要指标是_______________ 和_____________________ 。
5. 由于铸铁等脆性材料的很低，因此，不宜作为承拉零件的材料。
6. 在圆轴的台肩或切槽等部位，常增设_____________________ 结构，以减小应力集中。
7. 消除或改善是提高构件疲劳强度的主要措施。
第九章剪切与扭转1. 应用扭转强度条件，可以解决_______________________ 、 _____________________ 和_____________ _____ —等三类强度计算问题。
2. 在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸____________ 倍以上时，可将剪力略去不计。
3. 若两构件在弹性范围内切应变相同，则切变模量G值较大者的切应力较______________ 。
4. 衡量梁弯曲变形的基本参数是___________________ 和________________________ 。
5. 圆轴扭转变形时的大小是___________________________________ 用来度量的。
6. 受剪切构件的剪切面总是___________ 于外力作用线。
7. 提高圆轴扭转强度的主要措施：______________________ 和__________________ 。
8. 如图所示拉杆头为正方形，杆体是直径为d圆柱形。
1. 作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：___________ 、2. 按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为三种形式：______3. 根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式：____4. ___________________________ 对梁的变形有两种假设：、______________________________________ 。
工程力学习题册第八章 - 答案
第八章 直梁弯曲一、填空题1.工程中 发生弯曲 或以 弯曲变形 为主的杆件称为梁。
2.常见梁的力学模型有 简支梁 、 外伸梁 和 悬臂梁 。
3.平面弯曲变形的受力特点是 外力垂直于杆件的轴线，且外力和力偶都作用在梁的纵向对称面内 ；平面弯曲变形的变形特点是 梁的轴线由直线变成了在外力作用面内的一条曲线 ；发生平面弯曲变形的构件特征是 具有一个以上对称面的等截面直梁 。
4.作用在梁上的载荷有 集中力 、 集中力偶 和 分布载荷 。
5.梁弯曲时，横截面上的内力一般包括 剪力 和 弯矩 两个分量，其中对梁的强度影响较大的是 弯矩 。
6.在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸 五 倍以上时，可将剪力略去不计。
7.梁弯曲时，某一截面上的弯矩，在数值上等于 该截面左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩 的代数和。
其正负号规定为：当梁弯曲成 凹面向上 时，截面上弯矩为正；当梁弯曲成凸面向上 时，截面上弯矩为负。
8.在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变值等于 集中力偶矩 。
9.横截面上弯矩为 常数 而剪力为 零 的平面弯曲变形称为 纯弯曲变形 。
10.梁纯弯曲变形实验中，横向线仍为直线，且仍与 梁轴线 正交，但两线不再 平行 ，相对倾斜角度θ。
纵向线变为 弧线 ，轴线以上的纵向线缩短，称为 缩短 区，此区梁的宽度 增大 ；轴线以下的纵向线伸长，称为 伸长 区，此区梁的宽度 减小 。
情况与轴向拉伸、压缩时的变形相似。
11.中性层与横截面的交线称为 中性轴 ，变形时梁的 所有横截面 均绕此线相对旋转。
12.在中性层凸出一侧的梁内各点，其正应力均为 正 值，即为 拉 应力。
13.根据弯曲强度条件可以解决 强度校核 、 截面选取 和 确定许可载荷 等三类问题。
14.产生最大正应力的截面又称为 危险截面 ，最大正应力所在的点称为 危险点 。
15.在截面积A 相同的条件下， 抗弯截面系数 越大，则梁的承载能力就越高。
3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图
§3-1杆件轴向拉伸和压缩时的内力和轴力图课时计划：讲授3学时教学目标：1.本节课以拉压杆件为例，分析在外力作用下产生的内力。
2.使学生理解并掌握采用截面法计算轴力的方法。
教材分析:1.重点为分析拉压变形受力和变形的特点；2.难点是利用截面法计算拉压杆上的轴力并绘制出轴力图。
教学设计：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，并讲解工程力学中常采用截面法计算变形过程中产生的内力。
以拉压变形的杆件为例，分析该种变形的受力和变形的特点，在此基础上利用截面法分析杆件上的轴力，掌握轴力计算方法及正负号的规定，进而掌握轴力图的绘制方法。
教学过程：第1学时教学内容：本节课的主要内容是让学生理解外力和内力的区别及联系，以拉压变形的杆件为例分析其受力和变形的特点，全面理解轴向拉伸和压缩的概念。
1．外力和内力的概念如图3-1a所示的构件在力F、B F、P F的作用下处于平A衡。
无论这些力是主动力还是约束力，都是构件受到其他物体的作用力，称为外力。
为了维持构件各部分之间的联系，保持构件的形状和尺寸，构件内部各部分之间必定存在着相互作用的力，该力称为内力。
在外部载荷作用下，构件内部各部分之间相互作用的内力也随之改变，这个因为外部载荷作用而引起构件内力的改变量，称为附加内力。
在材料力学中，该附加内力简称内力。
2．截面法计算内力为了确定构件的承载能力，需要分析内力。
为此假想用平面n-n将构件截成两段（图3-1b、c），垂直于构件轴线假想截开的剖面，称为横截面，简称截面。
利用截面将构件截开，分析截面内力的方法，称为截面法。
3．轴向拉伸和压缩的概念直杆受到与其轴线重合的外力，就会发生沿轴线方向的伸长或缩短变形。
如图3-2a所示的吊车吊起重物时，CD杆是受拉伸的二力杆。
图3-2b的螺旋夹具，旋紧螺杆加紧工件后，螺杆的上段受压。
第2学时教学内容：本次课讲解拉压变形杆件的轴力计算方法。
分析发生此变形所受外力的特点，利用截面法计算轴上产生的轴力，根据平衡条件建立轴力与外力的关系。
工程力学第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
工程力学精品课程轴向拉压
1-1截面上的应力
1
P A1
38 103 (50 22) 20 106
67.86MPa
2-2截面上的应力
2
P A2
38 103 2 15 20 106
63.33MPa
3-3截面上的应力
3
P A3
38 103 (50 22) 15 2 106
max 67.86MPa 102.8%
所以，此零件的强度够用。
例5-4
冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，承受的镦压力 P=1100 kN 。连杆的截面为矩形，高与宽之比为h/b=1.4。材料为45钢，许用应力为 []=58 MPa，试确定截面尺寸h和b。
A2 A4
A A1
A3
垂直位移是： A点的位移是：
A2 A3 A2 A4 A4 A3 AA1sin 30o ( AA2 AA1 cos30o )ctg30o 3mm
2
2
AA3 AA2 A2 A3 3.06mm
7 简单拉压静不定问题
例5-8 图示结构是用同一材料的三根杆组成；三根杆的横截面面积分别为：A1=200mm2、A2=300mm2 和A3=400mm2，载荷P=40kN；求各杆横截面上的应力。
- 2.62 103
102
33.4N / mm 2
33.4MPa
压应力
4
(b) 截面2-2上的应力。
2
FN2 A
- 1.32 103 16.8N / mm 2 16.8MPa
102
压应力
4
第8章 轴向拉伸与压缩PPT课件
§8－4 材料在拉伸与压缩时的力学性能 力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。
一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。
d
h
Hale Waihona Puke 2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
L PL EA
变形前
ab cd
P 受载后
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
s FN(x)
s FN (x)
A
轴力引起的正应力 —— s ： 在横截面上均布。
正应力与轴力有相同的正负号，即拉应力为正，压应力为负。
或:s
a a
s 0
2
s 0
2
(1cos2a sin2a
)
三. 圣维南（Saint-Venant）原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。 应力分布示意图：
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)
例1 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大切应力， 并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。
第八章 轴向拉伸与压缩
§8–1 引言 §8–2 轴力及轴力图 §8–3 拉压杆的应力与圣维南原理 §8–4 材料在拉伸与压缩时的力学性能 §8–5 集中应力概念 §8–6 失效、许用应力与强度条件 §8–7 胡克定律与拉压杆的变形 §8–8 简单拉压静不定问题 §8–9 连接部分的强度计算
第八章 轴向拉压杆的强度计算
试验现象（矩形截面试件）：
b' b
d d'
σ
} FN
周线：平移，形状不变，保持平行；
纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力 F 是轴力，其方向垂直于横截面， 因此，与轴力相应的只可能是垂 直于截面的正应力，即拉（压）
F
杆横截面上只有正应力，没有切 应力。
a' a
c c'
F
b' b
d d'
σ
} FN
平面假设： 受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两
平面相对位移了一段距离。
假想杆件是由若干与轴线平行的纵向纤维组成的，任意两个
横截面之间所有纵向纤维的伸长均相同；又因为材料是均匀
的，各纤维的性质相同，因此其受力也一样，即轴力在横截
面上是均匀分布的。
a' a
c c'
F
F
轴向拉压等截面直杆，
σ σmax
板条受拉时，圆孔直径
所在横截面上的应力分
布由试验或弹性力学结
果可绘出，如图（b）
所示，其特点是：
在小孔附近的局部区
域内，应力急剧增大，
但在稍远处，应力迅速
F
降低而趋于均匀。
(a)
(b)
这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区 域的应力急剧增大的现象称为应力集中。
设产生应力集中现象的截面上最大应力为σmax，同一 截面视作均匀分布按净面
d2
100103 N
1 302 mm2
141.5MPa
44
F NAB F NBC 30
BC
FNBC a2
86.6103 N 1002 mm2
工程力学学习资料 8-1
d d
l l
-
----- 泊松比
例 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面 面积A1=400mm2， BC段的横截面面积A2=250mm2, 材料的弹性模量E=210GPa。试求：杆的总变形。 l1 =300mm l2=200mm F=40kN A B
R
40KN B 55KN 25KN 20KN
A
C
D
E
1
R
FN1
FN1-R=0 FN1=R= 10KN
(+)
求BC段内的轴力
R
40KN B
55KN
25KN
20KN
A
C
D
E
2
R
40KN
FN2
FN2 R 40 0
FN 2 R+ 40 = 50 KN
(+)
求CD段内的轴力
R
40KN
55KN 25KN 20KN
AB杆：
FN 2 [ ] A2
6 4
30 0
A P
B
3P 170 10 28.69 10 P 281.6 KN
结构的许可荷载 [P]=184.62kN
例：刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点， B端作用集中力 P=50KN，圆杆材料的许 用应力[]=160MPa， 根据强度条件设计 CD 杆的直径。
F=40kN A AC杆的总变形 B
B'
C C'
l l1 l2
0.143 0.152 0.295mm
例题：图示为一变截面圆杆ABCD。已知P1=20KN，
P2=35KN，P3=35KN。l1=l3=300mm，l2=400mm。 d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求： B截面的位移及AD杆的变形.
第八章：拉伸(压缩)、剪切与挤压的强度计算(1)
第一节 轴向拉伸与压缩的概念、 截面法、轴力与轴力图
工程问题中，有很多杆件是受拉或受压的。
航空宇航学院
绳索与立柱
内燃机的连杆
航空宇航学院 第一节 轴向拉伸与压缩的概念、 截面法、轴力与轴力图
直杆受拉或受压时的特点：
O
受力特点：外力或其合力的作用线与杆轴线重合 沿轴线方向伸长或缩短 O 变形特点：
注释
•
•
线应变ε —— 一点在某方向上尺寸改变程度 的描述； 一点在某方向上 与点的位置有关； 与过点的方位有关； 伸长变形为正； 无量纲。 切应变γ —— 过一点两互相垂直截面的角度改变 ； 过一点 与点的位置有关； 与垂直两边的方位 有关； 与垂直两边的 直角减小为正； 无量纲。
绪论
例2 已知：薄板的两条边 固定，变形后a'b, a'd 仍为直线。 求： ab边的εm和 ab, ad 两边夹角的变化。 解：
x
x方向的平均应变： M点处沿x方向的线应变:
ε xm
Δs = Δx
Δs ε x = lim Δx → 0 Δ x
类似地，可以定义:
εy , εz
六、变形与应变 y 3. 应变 O 切应变（剪应变或角应变） L 定义:过一点在某平面内两 相互垂直的无限小线元所夹 Δx M 直角的改变量，称为该点在 o 称为 该面内的切(剪)应变。用γ 表示。
航空宇航学院
例 1 1 P2 3 P1 2 已知：P1=40kN, P2=30kN, P3=20 1 B 2 C 3 A kN。 求：1-1, 2-2和3-3截面的轴力, 并作杆的轴力图。 解：
P3 D
∑F
求支座反力
x
=0
FA
1 1 B 1 FN1 1
轴向拉伸与压缩—轴向拉(压)杆的内力与轴力图(工程力学课件)
例题2 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。 已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN，试做轴力图。
P1
1
P2 2
P3
N
1
2kN
+
2
-
x
1kN
➢ 2.内力：由外力引起杆件内部之间的相互作用力。
➢ 3.截面法：截面法是显示和确定内力的基本方法。
截面法求内力的步骤
截取
用一个假想的截面，将 杆件沿需求内力的截面 处截为两部分；取其中 任一部分为研究对象。
代替
用内力来代替弃去部分 对选取部分的作用。
平衡
用静力平衡条件，根 据已知外力求出内力。
轴力N——轴向拉压时横截面上的内力。规定拉力为正，压力为负。
用截面法求1-1截面上的轴力：
P
N
X 0
NP0
x
N P(拉力)
例题1
设一直杆 AB 沿轴向受力如图示。
已知P1=2kN，P2=3kN，P3=1kN, 试求杆各段的轴力。
P1
1
P2 2
P3
P1
1NБайду номын сангаас
1
2
x
x
N2
P3
1-1截面： X 0, N1 P1 0,
2-2截面： X 0, N2 P3 0,
第一节 轴向拉（压）杆的内力与轴力图 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的正应力 第三节 轴向拉（压）杆的强度计算 第四节 轴向拉（压）杆的变形计算 第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
➢ 1.轴向拉（压）杆件
• 受力特点：作用在杆件上的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合。 • 变形特点：杆件沿轴向发生伸长或缩短。 • 外力：外力作用在杆件上的荷载和约束反力。
工程力学(材料力学)1_3轴向拉伸与压缩
BC
D
PB PC N3 C
PC N4
5P +
–
PD D
PD D
PD
P
x
P8-9 例题
A 3F
1
2
B
C
F
2F
1
2
1
2
3F
F
1
2
3.应力
应力的表示：
（1）平均应力
(A上平均内力集度)
p平均
ΔP ΔA
P
M
A
（2）实际应力 (M点内力集度)
lim p
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
应力分解
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
平杆BC为2杆）用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 Fy 0
N1 cos 45 N2 0 N1sin 45 P 0
N1 28.3kN (拉力) N2 20kN (压力)
45° B C
p
N1
y
N2 45° B x
P
(2)计算各杆件的应力
1
N1 A1
28.3103 202 106
轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力)； N
N与外法线反向,为负轴力(压力)。 N
轴力图—— N (x) 的图象表示。
N N>0 N
N<0
意 （1）轴力与截面位置的变化关系，较直观；
义
（2）最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位
置，为强度计算提供依据。 N
P
+
x
例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 1P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
金属轴向拉压和扭转实验报告_工程力学
金属轴向拉压和扭转实验报告_工程力学一、实验目的1. 了解金属材料在轴向拉伸和压缩过程中的变形规律，并掌握试验数据的处理方法。
2. 了解金属材料在扭矩作用下的变形规律，并掌握试验数据的处理方法。
二、实验原理1. 轴向拉伸和压缩实验在材料测试机上进行轴向拉伸和压缩试验时，样品首先在载荷作用下发生弹性形变，之后随着载荷的增大，样品开始发生塑性形变，最终断裂。
在轴向拉伸和压缩过程中，由于样品的截面积随着应变的增大而发生变化，因此要得到真实的应力应变曲线，需进行截面积的修正。
修正后的应力可以表示为：σ = F/A0，其中，F为试验时所施加的载荷，A0为试验前的原始截面积；修正后的应变可以表示为：ε = ln(L/L0)，其中，L0为试验前的原始长度，L为载荷作用下试验中材料的长度。
2. 扭转试验在扭转试验中，试样在两端被夹持并扭转，当扭矩载荷增加时，试样在弹性阶段会发生弹性变形，而在塑性阶段则会发生塑性变形，最终达到破坏。
扭转弹性变形的大小与材料受到的扭转力矩、试样的几何尺寸、材质以及试验中使用的设备的刚度有关。
可以通过测量扭转角度和扭矩来得到真实的应力应变曲线。
三、实验内容1. 准备两根长度分别为25mm和30mm的测试圆柱材料，直径分别为6mm和8mm。
2. 对于轴向拉伸和压缩实验：（1）将试样夹在材料测试机上，贴上标定纸。
（2）测量原始样品的长度和直径，并计算出截面积。
（3）运行测试仪器，添加增量载荷，持续施加载荷，收集各个载荷下的抗拉性能数据。
（4）计算每个试验点的应力和应变，并绘制出应力-应变曲线。
3. 对于扭转实验：四、实验结果及分析经过轴向拉伸和压缩实验和扭转实验，得出各个试验点的应力和应变、剪切应力和角位移数据，并绘制出相应的应力-应变曲线和剪切应力-角位移曲线。
根据曲线分析，可以发现材料在弹性阶段是呈线性变化的，而在超过一定载荷后，就会进入塑性状态，呈明显的非线性变化，最终会破裂。
五、实验结论通过本次实验，得出以下结论：1. 在轴向拉伸和压缩试验中，材料的应力-应变曲线显示出材料具有明显的弹性阶段和塑性阶段。
工程力学-第七章 绪论 第八章 轴向拉伸与压缩
或
F A
FN—轴力，FN=F
A—杆横截面面积
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
横截面上各点处的应力：
x
FNx A
FNx F 一侧
第三节 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆斜截面上的应力 ： 设拉压杆的横截面 积为A，得杆左段 的平衡方程为
p A -F 0 cos Fcos 0 cos A
第二节 材料力学的基本假定
均匀性假设：假设构件在其整个体积内
都由同一种物质组成，即材料的力学性 能与其在构件中的位置无关，认为是均 匀的。则构件内部任何部位所切取的微 小单元体（简称为微体），都具有与构 件完全相同的性质。通过对微体所测得 的力学性质，也可用于构件的任何部位。
第二节 材料力学的基本假定
x
截面法：将杆件用假想截面切开以显示 内力，并用平衡方程求得内力的方法。
第四节 正应力与切应力
应力：内力在截面上连续分布的集度。单位：帕斯 卡（Pa）,兆帕（MPa）,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa
平均应力：
p av F A
截面m－m上k点处的应力或总应力：
F p lim A 0 A
第二节
轴力与轴力图
例题 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第二节
解：
轴力与轴力图
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得 FN1=10 kN(拉力)
第二节
轴力与轴力图
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
轴力与轴力图
工程力学(杆件的轴向拉伸压缩问题)
教学设计一杆件轴向拉伸压缩问题问题一，杆件简单受力问题的分析与描述在学习了材料力学的基本定理和假设后，接下来学习一下杆件的简单受力问题，即杆件的轴向拉伸与压缩问题。
轴向拉伸或压缩变形是杆件的基本变形之一，轴向拉力一般用P 表示，轴向压力一般用N表示。
【例1】如图1.1所示直杆受轴向的外力作用，杆件A端受拉力，D端受压力，B截面受拉力，C截面受拉力，对于杆件中1-1、2-2、3-3截面上的轴力大小是多少，它们的受力是压力还是拉力，我们该如何判断呢？在材料力学中我们通常采用受力分析图来描述杆件或是受力物体的受力问题，在杆件轴向拉伸压缩问题中，我们采用轴力图N来描述杆件的轴力变化和受力大小。
我们用大写字母N来表示轴力图，用一条直线表示杆件的中轴线，并代表杆件，我们以拉力为正，画在轴线上方，压力为负，画在轴线下侧，图形为矩形，矩形的高度代表受力的大小，并标注正负号，在图形上侧或下侧标注受力大小。
画出图示1.1的受力分析图例题分析讲解对杆件进行分段分析AB段，1-1截面N1=3kN（拉）BC段，2-2截面N2=5-3=2kN（压）CD段，3-3截面N3=4+2=6kN（压）杆件受力分析图N问题二，杆件简单受力问题的计算杆件截面应力计算问题，杆件上截面分为正截面和任意截面，我们把垂直与杆件轴线的截面成为杆件的正截面，其他截面成为任意截面。
杆件的正截面应力我们用字母σ表示，任意截面正应力我们用σα表示，截面剪应力用τα表示。
横截面正应力计算大小我们用轴力除以正截面面积，如公式1.1所示。
（公式1.1）任意斜截面上的正应力和剪应力计算，我们将轴力沿斜截面的垂直方向和水平方向分解，然后分别除以斜截面面积，得到斜截面正应力计算式1.2和剪应力1.3所示，其中α角为横截面与斜截面的夹角。
（公式1.2）（公式1.3）例题分析讲解【例2】图1.2所示，变截面杆件，已知P=25kN，横截面面积A1=2000mm2，A2=1000mm2，试作轴力图，并计算各截面上的正应力。
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三、叠加原理
几个载荷同时作用产生的效果，等于各载荷单独作 用产生的效果的总和。
例：图示钢螺栓，内径d1 = 15.3mm ，被连接部分的总长度l = 54mm，拧紧时螺栓AB段的伸长△l = 0.04mm，钢的弹性模 量E = 200GPa，泊松比μ = 0.3。试计算螺栓横截面上的正应力 及螺栓的横向变形。
解：以节点 A 为研究对象，受力图及坐 标系如图所示。建立平衡方程
Fy 0 : F 2FN cos 0
解得：
F
500
FN 2cos 2 cos 200 266kN
FN A
4FN
d2
d
4FN
4 266103
120106
解得： FN1 2F (拉)
FN2 F (压)
FN1 2F (拉) FN2 F (压)
确定载荷的最大许用值
1杆强度条件
FN1 2F At
F At 100106 200106 14.14kN
2
2
2杆强度条件
FN2 F Ac
解：⑴ 求杆的轴力，作轴力图
AD 段：
Fx 0 :
解得：
FN1 2F 0
FN1 2F 120kN
DB段：
Fx 0 : FN2 2F F 0
解得：
FN2 F 60kN
BC 段：
Fx 0 : FN3 F 0
解得： FN3 F 60kN
在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性 材料的影响。
§8-6 失效、许用应力与强度条件
一、失效与许用应力
1. 失效：构件不能安全正常工作。
构件失效的原因
强度不足 刚度不足 稳定性不足 工作环境、加载方式不当等
2. 极限应力：构件失效前所能承受的最大应力。
塑性材料 u s
脆性材料 u b
2. 铸铁在压缩时的力学性能
⑴ 铸铁的压缩曲线与拉伸曲线相似，线性关系不明显 ，但是抗压强度比抗拉强度高 4 ～ 5 倍。
⑵ 铸铁试件压缩破坏时，断面的法线与轴线大致成 55o ～ 65o 的倾角，材料呈片状。
断口的法线与轴线 断口材料呈片状，最大切
成55o～65o
应力引起的剪切破坏
铸铁抗剪能力 比抗压能力差
解：⑴ 求约束力
Fx 0 : FRA 40 55 25 20 0
解得： FRA 10kN
⑵ 截面法计算各段轴力 AB 段：
Fx 0 : FN1 FRA 0
解得： FN1 10kN
BC 段：
Fx 0 : FN2 FRA 40 0
0
2
sin 2
90o
0 sin 2
2
90o
0 sin 2
2
90o
·切应力互等定律
过受力物体任一点取互相垂直的两个截面上的切 应力等值反向。
50o 0 cos2 125cos2 50o 51.6MPa
(1)
45o，
0
2
，
0
2
max
低碳钢由于抗剪能力比抗拉能力差，拉伸过程中出现 45o 滑移线
(2) 0， 0 max， 0
铸铁拉伸的断裂面为横截面
(3) 90o， 0， 0
2．两个互相垂直截面的切应力关系
50o 0 cos2 125cos2 50o 51.6MPa
斜截面上的切应力
50o
0
2
sin 2
125 sin(2 50o ) 2
61.6 MPa
三、圣维南原理
外力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不 大于横向尺寸的范围内受到影响。
§8-4 材料在拉伸与压缩时的 力学性能
平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持 为平面且仍垂直于轴线。
两横截面间所有纵向纤维变形相同，则受力相同，说 明内力均布，且横截面上各点只有相同的正应力而无切 应力。
横截面上有正 应力无切应力。
材料的均匀连续性 假设，可知所有纵向 纤维的力学性能相同 。
FN
dA A
A
轴向拉压时， 横截面上只有正应 力，且均匀分布
§8-5 应力集中概念
一、应力集中
由于截面急剧变化引起的应力增大的现象。
·应力集中因数
K max n
二、应力集中对构件强度的影响
1.脆性材料 σmax 达到强度极限，此位置开裂，所以脆性材料 构件必须考虑应力集中的影响。
2.塑性材料 应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
例：图所示轴向受压等截面杆件，横截面面积 A = 400mm2 ，载 荷F = 50kN ，试求横截面及斜截面m -m上的应力。
解：由题可得
FN 50kN 50o
横截面上的正应力
0
FN A
50 103 400 106
1.25108 Pa
125MPa
斜截面上的正应力
一、材料的力学性能概述
1. 材料的力学性能
材料从受力开始到破坏过程中所表现出的在变形和 破坏等方面的特性。
2. 试验试件
拉伸试件 压缩试件
拉伸试件 压缩试件
圆形截面试件 l 10d l 5d 矩形截面试件 l 11.3 A l 5.65 A
圆形截面试件 h (1 3)d 方形截面试件
FN
A
二、拉压杆斜截面上的应力
α斜截面上总应力
p
FN A
F
A / cos
0 cos
α斜截面正应力 p cos 0 cos2
α斜截面切应力
p sin
0
2
sin
2
α斜截面正应力 α斜截面切应力
0 cos2
C e P
三、其他塑性材料 拉伸时的力学性能
·名义屈服极限 0.2
对于没有明显屈服点的 塑性材料，将产生0.2%（ 0.002）塑性应变时的应力 作为屈服点（名义屈服极 限）。
四、脆性材料拉伸时的力学性能
1.从加载至拉断，变形很小， 几乎无塑性变形，断口为试件横 截面，，呈颗粒状，面积变化不 大，为脆性断裂，以强度极限作 为材料的强度指标。
( FN A
)max
·截面设计
A
FN
·许用载荷确定 FN A
例：图示变截面由两种材料制成，AE 段为铜质，EC 段为钢质。 钢的许用应力[σ]1 = 160MPa，铜的许用应力[σ]2 = 120MPa ， AB 段 横截面面积1000mm2，AB 段横截面面积是BC 段的两倍，。外力 F = 60kN ，作用线沿杆方向，试对此杆进行强度校核。
3. 受力与变形曲线
F l 曲线 消除试件尺寸的影响 曲线
F , l
Al
二、低碳钢拉伸时的力学性能
1.弹性阶段
⑴ 弹性变形 载荷卸除后能完全恢复的变形。
⑵ 胡克定律 当 P 时， 与 成正比关系。
E
⑶ P ， 与e 不 成正 比关系。 P ：比例极限 e ：弹性极限
3. 许用应力：对于一定材料制成的 构件，其工作应力的最大容许值。
u
n
塑性材料
n为构件的安全因素
ns 1.5 ~ 2.2
脆性材料 nb 3.0 ~ 5.0
二、拉压杆的强度条件
截面轴力
max
( FN A
)max
材料的许用应力
截面面积
·强度校核ຫໍສະໝຸດ maxe P
2.屈服阶段 ⑴ 屈服（流动）现象
应力基本不变，应变显著增加 的现象。
⑵ 塑性变形 载荷卸除后不能恢复的变形。
s ：屈服极限
⑶ 试件表面磨光，屈服阶段试件表面出现45o 的滑移线。
3.强化阶段 ⑴ 强化 经过屈服阶段后，材料恢复抵抗变 形的能力，应力增大应变增大。
⑵ 强度极限 b
l
·截面收缩率
A A1 100%
A
延伸率和截面收缩率越大表明材料的塑性越好，一
般认为 为5塑%性材料， 为脆性5%材料。
6.卸载定律及冷作硬化
⑴ 卸载定律 在卸载过程中，应力和应变 按直线规律变化。
⑵ 冷作硬化 材料塑性变形后卸载，重新加载，材料的比例极 限提高，塑性变形和伸长率降低的现象。
E
FN
A
l
l
l
FNi li FN ( x)dx Ei Ai l EA( x)
l FNl
EA
胡克定律的另一表达形式 EA为杆件的拉压刚度
二、拉压杆的横向变形与泊松比
1.横向变形 横向线应变 2.泊松比
b b1 b b
b
F Ac 100106 150106 15.0kN
所以载荷F 的最大许用值为14.14kN。
§8-7 胡克定律与拉压杆的变形
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
1.轴向（纵向）变形： l l1 l
轴向（纵向）线应变： l
l 2.胡克定律
当 P 时， 与 成正比关系。
解：螺栓的轴向正应变