第九章三向应力状态678
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破坏条件 强度条件
σb b E
几种常用的强度理论(3)
2 3
3. 最大剪应力理论
= s
1
o o s o 1 3 max 2 2
1 3 max 2
破坏条件 强度条件
几种常用的强度理论(4)
4.形状改变比能理论
2 3 = s
1
vf v
1 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2
(a) 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多 发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性 材料多发生塑性屈服，故应采用第三或第四强度理论。 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低温能提高脆 性，高温一般能提高塑性,在低速静载荷作用下保持塑性, 在高速动载荷作用下脆性提高。 (b)无论是塑性材料或脆性材料,在三向拉应力接近 相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大 拉应力理论；
这个理论和许多塑性材料的试验结 果相符，用此判断碳素钢的屈服失效是 比较准确的。
几种常用的强度理论(1)
1. 第一强度理论
2
3
= b
1
max
1 ( 1 0)
o max
b
强度条件
几种常用的强度理论(2)
2. 第二强度理论 2 3 = b
1
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 1 1 v 11 2 2 3 3 2 2 2 1
1 2 2 2 v [ 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E 1 2 2 2 v [ x y z 2 ( x y y z z x )] 2E 1 2 2 2 ( xy yz xz ) 2G
拉伸许用应力 []+=30MPa。试校核该点的强度。
解：首先根据材料和应力状态确 定破坏形式，选择强度理论。
脆性断裂，最大拉应力理论
max= 1 [] 其次确定主应力
1 10Байду номын сангаас 23 29.28 10 23 2 2 [ ] (11) MPa 2 3.72 2 2
m
m
3 m
1 m
m 1 2 3
3 3(1 2 ) ( 1 2 3 ) m E 3 K
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
] 1 E [ 1 （ 2 3） 1 ] 2 [ 2 （ 3 1） E 3 1 [ 3 （ 1 2） ] E
变形比能=体积改变比能+形状改变比能
2
v vV vd
m
2 m
1 3
[ ] 由此得： 2 剪切强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ]
[ ] 0.5[ ]
按第三强度理论可求得：
（2）第四强度理论的相当应力：
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2
3(1 2 ) 2 1 2 vV m ( 1 2 3 ) 2 6E 2E 1 2 2 2 vd ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E m
2 m
vd v vV
2
1 3
1 ( 2 3 ) b [ ] n 第二强度条件： ( ) [ ] 1 2 3
b
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，
如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向 发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的 方向，这与第二强度理论的结果相近。
3.最大剪应力理论（第三强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何，只 要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸屈服 剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形 或屈服。 屈服破坏条件是： max s
作业：7-15，16，18
§9-7 强度理论及其相当应力
一.单参数强度条件的局限性
1.单参数强度条件
max [ ]
max [ ]
2.单参数强度条件的局限性
（1）破坏形式与应力状态有关 铸铁的拉压破坏说明同种材料不同的 受力方式破坏形式不同；
（2）材料的破坏方式与材料性能有关。 铸铁和低碳钢的扭转破坏说明相同的受力方式材料不 同破坏方式不同。 2. 材料破坏的形式 材料破坏的形式主要有两类： 断裂面为主应力作用面的正断-- 脆性破坏 断裂面为主切应力作用面的剪断-- 塑性破坏
允许应力由简单拉伸实验得到。
三.几种常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何，只 要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时的 极限应力σu，材料即破坏。 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ]
b
n
第一强度强度条件： 1 [ ]
3＝0
max= 1< [] = 30MPa 结论：强度是安全的。
[例9-12]在纯剪切应力状态下：用第三强度理论和第 四强度理论得出塑性材料的许用剪应力与许用拉应力 之比。
解：（1）纯剪切应力状态下三个主应力分别为
1 , 2 0, 3
第三强度理论的强度条件为：
数情况下远比此为小。
4.形状改变比能理论(第四强度理论)
假设：复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单 向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会 发生屈服。
屈服破坏条件是：
简单拉伸时： 1 s , 2 3 0
1 2 2 2 vf ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
二. 强度理论的概念
1.对强度理论的要求： （1）能够解释破坏；
（2）能够预言破坏；
（3）形式简单使用方便。
2.建立强度理论的原则：
（1）考虑材料性质；
（2）考虑应力状态的影响；
（3）获得材料性能较容易。
F ( 1 , 1 , 1 , 1, 2 , 23 , 31 ) [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、
陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，
这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉
应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏， 也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都 与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考 虑其它两个主应力的影响。
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
第四强度理论强度条件
3 [ ]
[ ] 由此得： 3
剪切强度条件为：
[ ]
[ ] 0.578 [ ]
按第四强度理论可求得：
[例9-13] 圆轴直径为d，材料的弹性模量为 E，泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ 之值，但只有一枚电阻片。
(1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应变 为 0，则外力偶ｍ＝？
p
(1)筒壁应力
p
pD 2t pD 4t
pD 1 2t pD 2 4t 3 0
（2）焊缝上的应力：
1 sin 2 2 cos 2 ( 1 2 ) sin cos
(3)强度条件
D
b
1 [ ] 0.8[ ]
例如解释冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂。 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂， 其原因是冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态。
[例9-10]圆筒形包扎型薄壁压力容器，内径为 D、 壁厚为 t（t/D∠0.1)，承受内力p作用。若钢带 焊缝的允许应力为钢带允许应力的80%，求钢带 的许可宽度。
s max , s 2 用应力表示的屈服破坏条件： 1 3 s s [ ]
第三强度条件：
1 3 2
1 3 [ ]
n
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结
果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多
d E 0 m 16(1 )
（c）在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起
塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。
（d）在两向拉伸的脆性材料，常采用第二强度理论。 对于拉压性能不同的材料，在一个方向拉而另一个方向压 时采用摩尔理论。 这些强度理论的应用条件也不是绝对的，一方面要视 具体工程上的要求，另一方面，脆性破坏和塑性破坏 会因不同条件而发生转化
假设：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点 的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变的极
限值 εu，材料即破坏。
所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu
若材料直到断裂前全在线弹性范围内工作，则 u b 1 u 1 1 （ 2 3） E E E 由此导出失效条件的应力表达式为：
0 f
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) [ ] 2
5.四个强度理论的相当应力
r 称为相当应力 r1 1
r [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) r3 1 3
m
m
纯剪切应力状态:
(0, )
(0, )
解：(1)将应变片贴于与母线成45°角的外表面上 (2) 1 , 2 0, 3
1 1 1 ( 2 3 ) E
max
min
1 1 m 0 3 E E d / 16
m m
3 m
1 m
[9-10]求证 E 2(1 )G 证明： max min
(0, )
max
min
1 , 2 0, 3
E 2(1 )G
(0, )
1 2 1 1 2 2 2 v ( 1 3 2 1 3 ) 2G 2E E
1 2 vu 2 s 6E
v f vu
屈服破坏条件是：
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) s 2
第四强度理论：
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) [ ] 2
1 1 dW 1dydz 1dx dxdz dy 2 2 2 2 1 3dxdy 3dz 2 1 11 2 2 3 3 dxdydz 2
3、微元体应变比能
dW 1 v 11 2 2 3 3 dxdydz / dxdydz dV 2 1 1 1 2 2 3 3 2
2 2
1
1 sin 2 cos 0.8 1
（4）确定宽度
pD b 2 pD (D) 2 b 2 pD 0.8 2 2 t (D) 2t (D) t
2
b 2 0.6(D) 2 , b 2.43D
[例9-11]已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁
σb b E
几种常用的强度理论(3)
2 3
3. 最大剪应力理论
= s
1
o o s o 1 3 max 2 2
1 3 max 2
破坏条件 强度条件
几种常用的强度理论(4)
4.形状改变比能理论
2 3 = s
1
vf v
1 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2
(a) 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多 发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性 材料多发生塑性屈服，故应采用第三或第四强度理论。 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低温能提高脆 性，高温一般能提高塑性,在低速静载荷作用下保持塑性, 在高速动载荷作用下脆性提高。 (b)无论是塑性材料或脆性材料,在三向拉应力接近 相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大 拉应力理论；
这个理论和许多塑性材料的试验结 果相符，用此判断碳素钢的屈服失效是 比较准确的。
几种常用的强度理论(1)
1. 第一强度理论
2
3
= b
1
max
1 ( 1 0)
o max
b
强度条件
几种常用的强度理论(2)
2. 第二强度理论 2 3 = b
1
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1 1 1 v 11 2 2 3 3 2 2 2 1
1 2 2 2 v [ 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E 1 2 2 2 v [ x y z 2 ( x y y z z x )] 2E 1 2 2 2 ( xy yz xz ) 2G
拉伸许用应力 []+=30MPa。试校核该点的强度。
解：首先根据材料和应力状态确 定破坏形式，选择强度理论。
脆性断裂，最大拉应力理论
max= 1 [] 其次确定主应力
1 10Байду номын сангаас 23 29.28 10 23 2 2 [ ] (11) MPa 2 3.72 2 2
m
m
3 m
1 m
m 1 2 3
3 3(1 2 ) ( 1 2 3 ) m E 3 K
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
] 1 E [ 1 （ 2 3） 1 ] 2 [ 2 （ 3 1） E 3 1 [ 3 （ 1 2） ] E
变形比能=体积改变比能+形状改变比能
2
v vV vd
m
2 m
1 3
[ ] 由此得： 2 剪切强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ]
[ ] 0.5[ ]
按第三强度理论可求得：
（2）第四强度理论的相当应力：
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2
3(1 2 ) 2 1 2 vV m ( 1 2 3 ) 2 6E 2E 1 2 2 2 vd ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E m
2 m
vd v vV
2
1 3
1 ( 2 3 ) b [ ] n 第二强度条件： ( ) [ ] 1 2 3
b
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，
如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向 发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的 方向，这与第二强度理论的结果相近。
3.最大剪应力理论（第三强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何，只 要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸屈服 剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形 或屈服。 屈服破坏条件是： max s
作业：7-15，16，18
§9-7 强度理论及其相当应力
一.单参数强度条件的局限性
1.单参数强度条件
max [ ]
max [ ]
2.单参数强度条件的局限性
（1）破坏形式与应力状态有关 铸铁的拉压破坏说明同种材料不同的 受力方式破坏形式不同；
（2）材料的破坏方式与材料性能有关。 铸铁和低碳钢的扭转破坏说明相同的受力方式材料不 同破坏方式不同。 2. 材料破坏的形式 材料破坏的形式主要有两类： 断裂面为主应力作用面的正断-- 脆性破坏 断裂面为主切应力作用面的剪断-- 塑性破坏
允许应力由简单拉伸实验得到。
三.几种常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何，只 要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时的 极限应力σu，材料即破坏。 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ]
b
n
第一强度强度条件： 1 [ ]
3＝0
max= 1< [] = 30MPa 结论：强度是安全的。
[例9-12]在纯剪切应力状态下：用第三强度理论和第 四强度理论得出塑性材料的许用剪应力与许用拉应力 之比。
解：（1）纯剪切应力状态下三个主应力分别为
1 , 2 0, 3
第三强度理论的强度条件为：
数情况下远比此为小。
4.形状改变比能理论(第四强度理论)
假设：复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单 向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会 发生屈服。
屈服破坏条件是：
简单拉伸时： 1 s , 2 3 0
1 2 2 2 vf ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
二. 强度理论的概念
1.对强度理论的要求： （1）能够解释破坏；
（2）能够预言破坏；
（3）形式简单使用方便。
2.建立强度理论的原则：
（1）考虑材料性质；
（2）考虑应力状态的影响；
（3）获得材料性能较容易。
F ( 1 , 1 , 1 , 1, 2 , 23 , 31 ) [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、
陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，
这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉
应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏， 也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都 与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考 虑其它两个主应力的影响。
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
第四强度理论强度条件
3 [ ]
[ ] 由此得： 3
剪切强度条件为：
[ ]
[ ] 0.578 [ ]
按第四强度理论可求得：
[例9-13] 圆轴直径为d，材料的弹性模量为 E，泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ 之值，但只有一枚电阻片。
(1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应变 为 0，则外力偶ｍ＝？
p
(1)筒壁应力
p
pD 2t pD 4t
pD 1 2t pD 2 4t 3 0
（2）焊缝上的应力：
1 sin 2 2 cos 2 ( 1 2 ) sin cos
(3)强度条件
D
b
1 [ ] 0.8[ ]
例如解释冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂。 冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂， 其原因是冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态。
[例9-10]圆筒形包扎型薄壁压力容器，内径为 D、 壁厚为 t（t/D∠0.1)，承受内力p作用。若钢带 焊缝的允许应力为钢带允许应力的80%，求钢带 的许可宽度。
s max , s 2 用应力表示的屈服破坏条件： 1 3 s s [ ]
第三强度条件：
1 3 2
1 3 [ ]
n
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结
果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多
d E 0 m 16(1 )
（c）在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起
塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。
（d）在两向拉伸的脆性材料，常采用第二强度理论。 对于拉压性能不同的材料，在一个方向拉而另一个方向压 时采用摩尔理论。 这些强度理论的应用条件也不是绝对的，一方面要视 具体工程上的要求，另一方面，脆性破坏和塑性破坏 会因不同条件而发生转化
假设：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点 的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变的极
限值 εu，材料即破坏。
所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu
若材料直到断裂前全在线弹性范围内工作，则 u b 1 u 1 1 （ 2 3） E E E 由此导出失效条件的应力表达式为：
0 f
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) [ ] 2
5.四个强度理论的相当应力
r 称为相当应力 r1 1
r [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) r3 1 3
m
m
纯剪切应力状态:
(0, )
(0, )
解：(1)将应变片贴于与母线成45°角的外表面上 (2) 1 , 2 0, 3
1 1 1 ( 2 3 ) E
max
min
1 1 m 0 3 E E d / 16
m m
3 m
1 m
[9-10]求证 E 2(1 )G 证明： max min
(0, )
max
min
1 , 2 0, 3
E 2(1 )G
(0, )
1 2 1 1 2 2 2 v ( 1 3 2 1 3 ) 2G 2E E
1 2 vu 2 s 6E
v f vu
屈服破坏条件是：
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) s 2
第四强度理论：
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) [ ] 2
1 1 dW 1dydz 1dx dxdz dy 2 2 2 2 1 3dxdy 3dz 2 1 11 2 2 3 3 dxdydz 2
3、微元体应变比能
dW 1 v 11 2 2 3 3 dxdydz / dxdydz dV 2 1 1 1 2 2 3 3 2
2 2
1
1 sin 2 cos 0.8 1
（4）确定宽度
pD b 2 pD (D) 2 b 2 pD 0.8 2 2 t (D) 2t (D) t
2
b 2 0.6(D) 2 , b 2.43D
[例9-11]已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁