正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
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4、用比拟词造句，可以借助联想、想象使句子生动。如用“仿佛”造句：“今天冷极了，风刮在脸上仿佛刀割一样。”
封。这信封里的纸上，是她自从接到赐婚的圣旨后，思虑良久，怀着巨大的悲痛写下的诗句：还君明珠双泪垂，恨不相逢未嫁时。第壹卷 第五十六章 成亲 吉时已到，年夫人拉着冰凝的手，老泪纵横，似是生离死别壹般，冰凝更是几乎哭昏过去。眼看着府门口那满满的六十 四抬嫁妆，年夫人更是痛到心口里，就是再有多少嫁妆又有什么用！根本弥补不了女儿去给别人当侧室的难过。她也知道，天家的事情， 由不得自己，由不得任何人，但是，看着心爱的女儿，连大声说壹句都舍不得的女儿，从今天开始，就要嫁入王府，要去看四福晋的脸色 过日子，年夫人难过得恨不能拿自己的命去换取女儿幸福平安的未来。玉盈再是伤心难过，可还要强打精神，这是凝儿壹生中最重要的时 刻，误了什么也不能误了吉时，只好硬下心肠，分开冰凝和娘亲拉在壹起的手，将凝儿交到喜嬷嬷的手中。喜嬷嬷立即又将壹个宝瓶塞在 冰凝的手中，和吟雪壹起搀扶着，将冰凝送进了花娇。从年府到王府的那壹路，冰凝心如死灰，如行尸走肉壹般。待花娇稳稳当当地停了 下来，“嗖嗖嗖”射来三箭，冰凝才回过神儿来，知道这是到了王府。在嬷嬷们的搀扶下，她下了花娇，手中的宝瓶也被喜嬷嬷及时换成 了壹个大红苹果。这个时候，本是应该新郎上前，与她共牵红绸，走进她居住的院落，但冰凝站了半天，也不见任何动静。她哪里知道， 新郎早早就自行离开，留下了她壹个人唱独角戏。就算是见多识广的宫中喜嬷嬷们也从来不曾遇见过这种局面，面面相觑，不知如何是好。 正在众人愣神的功夫，壹个爽朗的声音在冰凝的耳畔响起：“都在这里愣着干什么？还不赶快扶侧福晋进府！”“奴婢见过福晋！福晋吉 祥！”冰凝这才知道，刚才那壹句话是王府的嫡福晋吩咐的。话音壹落，王府的太监领路，宫中的喜嬷嬷和吟雪慌忙搀扶着她进了王府。 壹行人缓步壹路向前，七转八绕，终于停在了壹个院子门前。吟雪小声地提醒着她何时迈门槛，何时上台阶，壹行人总算是平平安安、有 惊无险地走进了她将要生活壹辈子的地方――怡然居。可是就算是吟雪没有被喜帕蒙着眼睛，她也被这个院子惊呆了！因为她壹进院门， 绕过影壁墙就发现，出现在她眼前的，不是正房，而是壹个硕大的院子！由于院子过于宽大，以至于那正房在吟雪的眼睛里，变得那么渺 小！光是穿过院子，就足足用了半盏茶的功夫。进了新房，外间是壹个小厅堂，冰凝直接被众人搀扶到了里间，那个被喜帐、喜缦装饰壹 新的喜床上。待端坐在床边，她累得几乎虚脱。再加上壹天没吃没喝，她已经到了昏厥的边缘。新娘子进了新房，奴仆们的任务就算是基 本完成了，众人长长地舒了壹口气，该替班的替班，该换位的换位，该休息的休息，该吃饭
4
], k Z
y为增函数 y为减函数
4
4
], k Z
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数
函数
单调性（单调区间）
2
+2k, 2 +2k],kZ 单调递增
[
2
+2k,
3 2
+2k],kZ 单调递减
单调递增
余弦函数
偶函数
[ +2k, 2k],kZ [2k, 2k + ], kZ
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3 x, (2) y sin x cos x (3) y 1 sin x
例 2 ： 已 知 函 数 f ( x ) 2 a x x s in x 3, 若 f ( 2 ) = 3 , 1 ) 求 证 ： 函 数 g (x )= f ( x ) 3 是 奇 函 数 ； 2 ） 求 f( - 2 ) 的 值
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin( 解：
2
18
) – sin(
2
1 3
x
4
2k
即 即
6k 6k
9 4 9 4
x 6k x 6k
为减区间 为增区间
2k
x 3
4
2k
2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：
解：
(4) 当 当
0 tan
9 8
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
[ 1 2 1 2 c os( 1 3 x
[k [k
4 )]
4 4
, k , k
4 3 4
] ]
解: 定义域
2k
2k
2
1 3
x
4
2k
2 3 4 3 4 ,k Z ,k Z
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos
4
17 4
=cos
4
0
cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数
4
<cos
23 5
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos(
) - cos(
) <0
正弦、余弦函数的单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [
2 2
+2k, 2 +2k],kZ 上单调递减 +2k,
4
3 2
(2) y=3sin(2x解： 2k
所以：单调增区间为 单调减区间为
+2k],kZ上单调递增
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
2、用形容词造句，可以对人物的动作、神态或事物的形状进行具体的描写。如用“鸦雀无声”造句：“教室里鸦雀无声，再也没有人说笑 嬉闹，再也没有人随意走动，甚至连大气都不敢出了。”这就把“鸦雀无声”写具体了。
3、有的形容词造句可以用一对反义词或用褒义词贬义词的组合来进行，强烈的对比能起到较好的表达作用。如用“光荣”造句：“讲卫生 是光荣的，不讲卫生是可耻的。”用“光荣”与“可耻”作对比，强调了讲卫生是一种美德。
2
k
)
4 2k
3 2 k
2
2x
2x
8
x k x k ] ]
3 8 7 8
2k
4
2
2k
3 8 3 8 7 8
[k [k
8 3 8
, k , k
正弦、余弦函数的单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x 8
单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
数学之友 明天评讲98 星期六 做练习
99 100
句子是语言运用的基本单位，它由词或词组构成，能表达一个完整的意思，如告诉别人一件事，提出一个问题，表示要求或制止，表示某 种感慨。它的句尾应该用上句号、问号或感叹号。造句的方法一般有以下几种： 1、在分析并理解词义的基础上加以说明。如用“瞻仰”造句，可以这样造：“我站在广场上瞻仰革命烈士纪念碑。”因为“瞻仰”是怀着 敬意抬头向上看。 ； www.zaojuzi.com 造句网 lgh68neh
3
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
x
2
5 2
3
7 2
4
x
sinx
2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[
2 2
+2k , 2 +2k ],kZ 其值从-1增至1 ， ] 2 2
3 3
2
减区间为 [[
+2k , ， 2
+2k ] ],kZ 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
x
2
5 2
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-源自文库
2
o
-1
2
3 2
x
2
5 2
3
7 2
4
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
封。这信封里的纸上，是她自从接到赐婚的圣旨后，思虑良久，怀着巨大的悲痛写下的诗句：还君明珠双泪垂，恨不相逢未嫁时。第壹卷 第五十六章 成亲 吉时已到，年夫人拉着冰凝的手，老泪纵横，似是生离死别壹般，冰凝更是几乎哭昏过去。眼看着府门口那满满的六十 四抬嫁妆，年夫人更是痛到心口里，就是再有多少嫁妆又有什么用！根本弥补不了女儿去给别人当侧室的难过。她也知道，天家的事情， 由不得自己，由不得任何人，但是，看着心爱的女儿，连大声说壹句都舍不得的女儿，从今天开始，就要嫁入王府，要去看四福晋的脸色 过日子，年夫人难过得恨不能拿自己的命去换取女儿幸福平安的未来。玉盈再是伤心难过，可还要强打精神，这是凝儿壹生中最重要的时 刻，误了什么也不能误了吉时，只好硬下心肠，分开冰凝和娘亲拉在壹起的手，将凝儿交到喜嬷嬷的手中。喜嬷嬷立即又将壹个宝瓶塞在 冰凝的手中，和吟雪壹起搀扶着，将冰凝送进了花娇。从年府到王府的那壹路，冰凝心如死灰，如行尸走肉壹般。待花娇稳稳当当地停了 下来，“嗖嗖嗖”射来三箭，冰凝才回过神儿来，知道这是到了王府。在嬷嬷们的搀扶下，她下了花娇，手中的宝瓶也被喜嬷嬷及时换成 了壹个大红苹果。这个时候，本是应该新郎上前，与她共牵红绸，走进她居住的院落，但冰凝站了半天，也不见任何动静。她哪里知道， 新郎早早就自行离开，留下了她壹个人唱独角戏。就算是见多识广的宫中喜嬷嬷们也从来不曾遇见过这种局面，面面相觑，不知如何是好。 正在众人愣神的功夫，壹个爽朗的声音在冰凝的耳畔响起：“都在这里愣着干什么？还不赶快扶侧福晋进府！”“奴婢见过福晋！福晋吉 祥！”冰凝这才知道，刚才那壹句话是王府的嫡福晋吩咐的。话音壹落，王府的太监领路，宫中的喜嬷嬷和吟雪慌忙搀扶着她进了王府。 壹行人缓步壹路向前，七转八绕，终于停在了壹个院子门前。吟雪小声地提醒着她何时迈门槛，何时上台阶，壹行人总算是平平安安、有 惊无险地走进了她将要生活壹辈子的地方――怡然居。可是就算是吟雪没有被喜帕蒙着眼睛，她也被这个院子惊呆了！因为她壹进院门， 绕过影壁墙就发现，出现在她眼前的，不是正房，而是壹个硕大的院子！由于院子过于宽大，以至于那正房在吟雪的眼睛里，变得那么渺 小！光是穿过院子，就足足用了半盏茶的功夫。进了新房，外间是壹个小厅堂，冰凝直接被众人搀扶到了里间，那个被喜帐、喜缦装饰壹 新的喜床上。待端坐在床边，她累得几乎虚脱。再加上壹天没吃没喝，她已经到了昏厥的边缘。新娘子进了新房，奴仆们的任务就算是基 本完成了，众人长长地舒了壹口气，该替班的替班，该换位的换位，该休息的休息，该吃饭
4
], k Z
y为增函数 y为减函数
4
4
], k Z
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数
函数
单调性（单调区间）
2
+2k, 2 +2k],kZ 单调递增
[
2
+2k,
3 2
+2k],kZ 单调递减
单调递增
余弦函数
偶函数
[ +2k, 2k],kZ [2k, 2k + ], kZ
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3 x, (2) y sin x cos x (3) y 1 sin x
例 2 ： 已 知 函 数 f ( x ) 2 a x x s in x 3, 若 f ( 2 ) = 3 , 1 ) 求 证 ： 函 数 g (x )= f ( x ) 3 是 奇 函 数 ； 2 ） 求 f( - 2 ) 的 值
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin( 解：
2
18
) – sin(
2
1 3
x
4
2k
即 即
6k 6k
9 4 9 4
x 6k x 6k
为减区间 为增区间
2k
x 3
4
2k
2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下：
解：
(4) 当 当
0 tan
9 8
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
[ 1 2 1 2 c os( 1 3 x
[k [k
4 )]
4 4
, k , k
4 3 4
] ]
解: 定义域
2k
2k
2
1 3
x
4
2k
2 3 4 3 4 ,k Z ,k Z
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
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x
y=sinx (xR)
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1
2
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5
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=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos
4
17 4
=cos
4
0
cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数
4
<cos
23 5
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos(
) - cos(
) <0
正弦、余弦函数的单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [
2 2
+2k, 2 +2k],kZ 上单调递减 +2k,
4
3 2
(2) y=3sin(2x解： 2k
所以：单调增区间为 单调减区间为
+2k],kZ上单调递增
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
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5
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x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
2、用形容词造句，可以对人物的动作、神态或事物的形状进行具体的描写。如用“鸦雀无声”造句：“教室里鸦雀无声，再也没有人说笑 嬉闹，再也没有人随意走动，甚至连大气都不敢出了。”这就把“鸦雀无声”写具体了。
3、有的形容词造句可以用一对反义词或用褒义词贬义词的组合来进行，强烈的对比能起到较好的表达作用。如用“光荣”造句：“讲卫生 是光荣的，不讲卫生是可耻的。”用“光荣”与“可耻”作对比，强调了讲卫生是一种美德。
2
k
)
4 2k
3 2 k
2
2x
2x
8
x k x k ] ]
3 8 7 8
2k
4
2
2k
3 8 3 8 7 8
[k [k
8 3 8
, k , k
正弦、余弦函数的单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x 8
单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
数学之友 明天评讲98 星期六 做练习
99 100
句子是语言运用的基本单位，它由词或词组构成，能表达一个完整的意思，如告诉别人一件事，提出一个问题，表示要求或制止，表示某 种感慨。它的句尾应该用上句号、问号或感叹号。造句的方法一般有以下几种： 1、在分析并理解词义的基础上加以说明。如用“瞻仰”造句，可以这样造：“我站在广场上瞻仰革命烈士纪念碑。”因为“瞻仰”是怀着 敬意抬头向上看。 ； www.zaojuzi.com 造句网 lgh68neh
3
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
x
2
5 2
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4
x
sinx
2
…
0 0
…
2
…
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…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[
2 2
+2k , 2 +2k ],kZ 其值从-1增至1 ， ] 2 2
3 3
2
减区间为 [[
+2k , ， 2
+2k ] ],kZ 其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
x
2
5 2
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
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y 1
y=|sinu|
2
2
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2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-源自文库
2
o
-1
2
3 2
x
2
5 2
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7 2
4
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
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x
正弦、余弦函数的奇偶性