第31讲-对称图形(折叠)分析
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2016年中考总复习
第31讲
对称图形(折叠)
学习目标:(1分钟) 1.掌握轴对称、折叠的性质; 2.能熟练运用轴对称的性质解题; 3.能熟练运用折叠的性质解决折叠题型.
知识点梳理1:对称的基本概念及性质 1.轴对称
(1)轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果 它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.两 个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫 对称点. (2)轴对称图形:如果一个图形沿某条直线对折,对折的 两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图 形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线. (3)轴对称图形变换的特征: 不改变图形的 形状 和 大小 ,只改变图形的 位置 . 新旧图形具有对称性.
M
3.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(-1,0), B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴 的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是 平行四边形,求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将 △CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在 点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P 的坐标;若不存在,说明理由.
4.如图,∠AOB=45°,角内有点P,PO=10, 在角的两边上有两点Q、R(均不同于O点), 则△PQR的周长的最小值为 .
5.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组 成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如 图所示.若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大 的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点, 则OP•OQ= .
2.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、 Q 分别线段 BC,CD 上的中点,K为线段BD上的任 Q 分别线段 BC,CD 上的任意一点 意一点,则PK+QK的最小值为 .
3.如图,AB是☉O的直径,AB=2,OC是☉O 的半 径,OC⊥AB,点D在弧AC上,弧AD=2弧CD,点P 是半径OC上一个动点, 那么AP+PD的最小值 是 .
5.(2014•新疆)如图,四边形ABCD中,AD∥BC, ∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕 将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在 CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是 .
6.如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好 落在BC边上的点F处,已知CE=3cm,AB=8cm, 则图中阴影部分的面积为________ cm2.
2.中心对称、中心对称图形 (1)中心对称:把一个图形绕着某一点旋转 180° , 如果它能与另一个图形 重合 ,那么,这两个图形 成中心对称,该点叫做对称中心. 180° (2)中心对称图形:一个图形绕着某一点旋转 , 后能与自身 重合 ,这种图形叫中心对称图形, 该点叫对称中心.
考点1:对称的基本概念及性质 1.(2014•贺州)下列图形中既是轴对称图形,又 是中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.正方形 D.正五边形 2.(2014•泰安)下列四个图形:
图③
1.若AB=4,AD=8,求BF的长.
2.联结BE,判断四边形BEDF的形状.
3.求折痕EF的长度.
2011深圳中考
大本P146第1题
2012广东揭阳中考第22题
(1)求证:△ABG≌△C ′DG ; (2)求tan∠ABG的值; (3)求EF的长.
变式训练: 1.(2014•枣庄)如图,将矩形ABCD沿CE向上 2 折叠,使点B落在AD边上的点F处.若AE= BE, 3 则长AD与宽AB的比值是 .
其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的 个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2014•自贡)下面的图形中,既是轴对称图形又 是中心对称图形的是( C )
4.(2014•宁波)用矩形纸片折出直角的平分线, 下列折法正确的是( )
A
B
C
D
5.如图,若△ABC与△A1B1C1关于E点成 中心对称,则对称中心E点的坐标是 (3,-1).
变式:如图,点C在以AB为直径的半圆弧 上,∠ABC=30°,沿直线CB将半圆折叠,直径AB 和弧BC交于点D,已知AB=6,则图中阴影部分的 面积等于 .
常见的翻折图形
图① 来自百度文库②
1.若AB=4,AD=8, 求BE的长.
2.联结AC,证明:AC∥BD
1.AB=3,AD=5, 求EF的长. 2.tan∠ECF= .
2.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片 折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与 AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点O. (1)如图1,求证:四边形AGEF是菱形； (2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时， 求证:点N是线段BC的中点; (3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.
4.如图,抛物线y=-(x-1)2+4的顶点为A,与x轴相交于B、 C两点,直线y=-2x+6经过A、C两点,且点C的坐标为 (3,0),连接OA. (1)求出点B的坐标和直线OA的解析式． (2)直线y=m(0＜m＜4)分别与AO、AC交于点E和F, 若将△AEF沿EF折叠,设折叠后的△A'EF与△AOC重 叠部分的面积为S. ①用含m的代数式表示线段EF的长. ②求S与m的函数关系式. 且当m为何值时,S有最大值?
3.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边DC落在 对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线D′处. 若AB=3,AD=4,则ED的长为 .
4.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分 别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、AF 折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1, 则EF的长为 .
知识点梳理3:翻折对称(折叠)的性质及其应用
1.折叠前后的两个图形是全等图形;
2.折叠前后对应边相等.对应角相等;
3.折痕的性质: ① ②
; .
考点3:翻折对称(折叠)的性质及其应用 1.把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后， 再如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是( )
A
B
C
D
2.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°， ∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折 叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′= .
5.如图,点A、B、C的坐标分别为 (2,4),(5,2),(3,-1).若以点A、B、C、D为顶点 的四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形, 则点D的坐标为 (0,1) .
D
1.如图,正方形ABCD的边长为3，E在BC上, 且BE=2,P在BD上,则PE+PC的最小值 。
考点2:利用轴对称求最值(10分钟)
第31讲
对称图形(折叠)
学习目标:(1分钟) 1.掌握轴对称、折叠的性质; 2.能熟练运用轴对称的性质解题; 3.能熟练运用折叠的性质解决折叠题型.
知识点梳理1:对称的基本概念及性质 1.轴对称
(1)轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果 它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.两 个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫 对称点. (2)轴对称图形:如果一个图形沿某条直线对折,对折的 两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图 形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线. (3)轴对称图形变换的特征: 不改变图形的 形状 和 大小 ,只改变图形的 位置 . 新旧图形具有对称性.
M
3.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(-1,0), B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴 的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是 平行四边形,求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将 △CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在 点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P 的坐标;若不存在,说明理由.
4.如图,∠AOB=45°,角内有点P,PO=10, 在角的两边上有两点Q、R(均不同于O点), 则△PQR的周长的最小值为 .
5.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组 成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如 图所示.若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大 的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点, 则OP•OQ= .
2.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、 Q 分别线段 BC,CD 上的中点,K为线段BD上的任 Q 分别线段 BC,CD 上的任意一点 意一点,则PK+QK的最小值为 .
3.如图,AB是☉O的直径,AB=2,OC是☉O 的半 径,OC⊥AB,点D在弧AC上,弧AD=2弧CD,点P 是半径OC上一个动点, 那么AP+PD的最小值 是 .
5.(2014•新疆)如图,四边形ABCD中,AD∥BC, ∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕 将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在 CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是 .
6.如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好 落在BC边上的点F处,已知CE=3cm,AB=8cm, 则图中阴影部分的面积为________ cm2.
2.中心对称、中心对称图形 (1)中心对称:把一个图形绕着某一点旋转 180° , 如果它能与另一个图形 重合 ,那么,这两个图形 成中心对称,该点叫做对称中心. 180° (2)中心对称图形:一个图形绕着某一点旋转 , 后能与自身 重合 ,这种图形叫中心对称图形, 该点叫对称中心.
考点1:对称的基本概念及性质 1.(2014•贺州)下列图形中既是轴对称图形,又 是中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.正方形 D.正五边形 2.(2014•泰安)下列四个图形:
图③
1.若AB=4,AD=8,求BF的长.
2.联结BE,判断四边形BEDF的形状.
3.求折痕EF的长度.
2011深圳中考
大本P146第1题
2012广东揭阳中考第22题
(1)求证:△ABG≌△C ′DG ; (2)求tan∠ABG的值; (3)求EF的长.
变式训练: 1.(2014•枣庄)如图,将矩形ABCD沿CE向上 2 折叠,使点B落在AD边上的点F处.若AE= BE, 3 则长AD与宽AB的比值是 .
其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的 个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2014•自贡)下面的图形中,既是轴对称图形又 是中心对称图形的是( C )
4.(2014•宁波)用矩形纸片折出直角的平分线, 下列折法正确的是( )
A
B
C
D
5.如图,若△ABC与△A1B1C1关于E点成 中心对称,则对称中心E点的坐标是 (3,-1).
变式:如图,点C在以AB为直径的半圆弧 上,∠ABC=30°,沿直线CB将半圆折叠,直径AB 和弧BC交于点D,已知AB=6,则图中阴影部分的 面积等于 .
常见的翻折图形
图① 来自百度文库②
1.若AB=4,AD=8, 求BE的长.
2.联结AC,证明:AC∥BD
1.AB=3,AD=5, 求EF的长. 2.tan∠ECF= .
2.如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片 折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与 AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点O. (1)如图1,求证:四边形AGEF是菱形； (2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时， 求证:点N是线段BC的中点; (3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.
4.如图,抛物线y=-(x-1)2+4的顶点为A,与x轴相交于B、 C两点,直线y=-2x+6经过A、C两点,且点C的坐标为 (3,0),连接OA. (1)求出点B的坐标和直线OA的解析式． (2)直线y=m(0＜m＜4)分别与AO、AC交于点E和F, 若将△AEF沿EF折叠,设折叠后的△A'EF与△AOC重 叠部分的面积为S. ①用含m的代数式表示线段EF的长. ②求S与m的函数关系式. 且当m为何值时,S有最大值?
3.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边DC落在 对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线D′处. 若AB=3,AD=4,则ED的长为 .
4.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分 别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、AF 折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1, 则EF的长为 .
知识点梳理3:翻折对称(折叠)的性质及其应用
1.折叠前后的两个图形是全等图形;
2.折叠前后对应边相等.对应角相等;
3.折痕的性质: ① ②
; .
考点3:翻折对称(折叠)的性质及其应用 1.把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后， 再如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是( )
A
B
C
D
2.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°， ∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折 叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′= .
5.如图,点A、B、C的坐标分别为 (2,4),(5,2),(3,-1).若以点A、B、C、D为顶点 的四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形, 则点D的坐标为 (0,1) .
D
1.如图,正方形ABCD的边长为3，E在BC上, 且BE=2,P在BD上,则PE+PC的最小值 。
考点2:利用轴对称求最值(10分钟)