1.1 正弦和余弦 课件(湘教版九年级上)

结论证明
EF E F 求证： DF DF
证明：
已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'， ∠D =∠D ' =65º ，∠E =∠E'= 90º F' D
D'
∵ ∠E =∠E ' = 90º ， ∠D =∠D ' =65º ， ∴ △DEF ∽ △D'E'F ' ． ∴ E F
C
30°
A
又∠B=90°－30°=60°， ∠B的对边是AC ．根据勾股定理得
3 1 AC AB BC AB AB AB 2 . 4 2 AC 3 3 ． AC AB． sin 60 于是 AB 2 2
2 2
2
３．求
例 题
sin 45
的值．
弦，记作:
sin
即:
角的对边 sin . 斜边
例 题
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=3，AB=5． （１）求∠A的正弦 sin A ； （２）求∠B的正弦 sin B ． （１） ∠A的对边BC=3，斜边 AB=5．于是 B 3 C 5 A
解
3 sin A . 5
做一做
每位同学画一个直角三角形，其中一个锐 角为65º ，量出65º 角的对边长度和斜边长 度，计算：
65角的对边 斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？ 结论：在有一个锐角为65º 的直角三角形中， 65º 角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
E'
EF DF E F DF
于是E F · D' F '＝ E F · D' F '．
∴
EF E F DF D F
因此在有一个锐角为65º 的所有直角三角形中， 65º百度文库角的 对边与斜边的比值是一个常数． 现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距 离约等于多少米的问题．
解
在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， ∠A =45°． 于是 ∠B =45°． B
从而
AC=BC．
根据勾股定理，得
C
45°
A
AB2 AC 2 BC 2 BC 2 BC 2 2BC 2．
于是
因此
AB 2BC． BC 1 1 2 2 sin 45 ． AB 2 2 2 2
探 究 一艘帆船从西向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向， 帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时 灯塔A在船的北偏西65º 的方向．试问：C处和灯塔A的 北 距离约等于多少米？（精确到1m） 东 分析 A 由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90º ，∠A= 65º ， ∠A所对的边BC=2000m，求 65º 斜边AC=？ B C 上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º 的锐角和这个锐 角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角 形中， 65º 角的对边与斜边的比值有什么规律？
13
A
2．小刚说：对于任意锐角α，都有 0＜
sin
＜1
你认为他说得对吗？为什么？
例 题
２．分别求
sin 30
和
sin 60
的值．
解 在直角三角形ABC中， ∠C= B 90º ， ∠A =30°．于是∠A 的对边
因此
1 BC AB. 2 BC 1 sin 30 . AB 2
2 2
（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得
AC 2 AB 2 BC 2 52 32 16.
于是 因此 AC=4．
4 sin B . 5
练 习
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=5， AB=13． B （１）求 （２）求
sin A sin B
的值； 的值．
5 C
在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边 有什么关系？ 说一说
小结
在直角三角形中，
角的对边 sin . 斜边
解 在直角三角形ABC中，BC=2000m ， ∠A= 65º ，
2000 0.91 ． AC
解得
2000 AC 2200(m)． 0.91
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正