研-统计3抽样误差t分布参数估计
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•
标准误的应用
1、用来衡量抽样误差的大小: 标准误越小，样本均数与总体均数越接近， 样本均数的可信度越高；
2、结合标准正态分布与 t 分布曲线下的面积规 律，估计总体均数的置信区间。
3、用于假设检验。
•
抽样分布
• 假定2003年汕头市15岁女学生的身高服从均 数155.4cm、标准差5.3cm的正态分布。用计 算机做抽样模拟试验，从N(155.4, 5.32)的总体 中，每次抽出10个数字（样本含量为10）， 组成一个样本，求出样本均数 、样本标 准差 S。 再求得此100个样本均数的均数、样 本均数的标准差。
准正态分布，此时，u=t
•
t分布曲线
• t分布是一簇对称于0的单峰分布曲线。 • 自由度越小（相当于标准差大），曲线的中间越
低，两边越高；随自由度增大， t分布曲线逐渐 逼近于标准正态分布曲线。 • 当自由度无穷大时， t分布就是标准正态分布曲 线。 • 每一条t分布曲线，都对应于相应的自由度。 • t分布模拟试验
态的参数分别为:0, 1 • （4）正态分布的面积分布有一定规律。
•
•正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律
正态分布
标准正态分布 面积 (或概率)
μ -1σ__μ +1 σ
-1__+1
68.27%
μ–1.96σ__μ+1.96σ -1.96__+1.96 95.00%
μ –2.58σ__μ+2.58σ -2.58__+2.58 99.00%
•
•双侧概率
•（-1，1），68.27%
•（-1.96，1.96），95%
•（-2.58，2.58），99%
•
•单侧概率
•
请思考：
• 抽样？ • 统计量？ • 抽样分布？
•
一、均数的抽样误差和标准误
均数的抽样误差sampling error of mean 由于总体中存在个体变异，抽样研究中
•正态总体中抽 样（样本量10）
•正态总体中抽 样（样本量30）
•抽样时样本量 大小决定了样 本均数分布的 形状，当样本 量足够大时， 均数分布趋向 正态分布。
•
二、t 分布（t-distribution)
•
还记得吗？
•
• u转换将正态分布转换为标准正态, N(0, 1)。 • 同理：将样本均数的分布也可以转换为标准正态
•
• 标准正态分布: • 为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u
变换. 所得到的新变量u的分布即为标准正态 分布。
• u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差 的倍数。
•
•标准正态分布的概率密度函数：
•
• 正态分布的特征和分布规律： • （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ
时，曲线位于最高点。 f(u=0)=0.3989 • （2）曲线关于直线x=μ左右对称。 • （3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正
•
• 样本均数的标准差是什么？…….. •标准误
•
• 100个样本均数构成一个新的分布，也是正态分 布。
• 即使原分布为偏态分布，当样本含量足够大时， 新分布也近似正态分布）。新分布的集中趋势用 均数的均数来表示，离散趋势用标准误表示N( , )。
• 各样本均数的均数等于总体均数。
•
•正态总体中抽 样（样本量5）
分布 。 • 即：
•
• 实际工作中，总体标准差往往未知，常用S代替σ 计算 标准误，因此：为了和u分布区别，就变为：
•
均数的分布也是这样
• 如果我们采用另一个正态变量: • 于是，均数的分布变成了标准正态分布:
•
但是，条件发生了变化
• 我们通常用
代替
• 然而， 随着样本量的变化而变化，所以，我 们称之为 t-分布，虽然它是正态分布，但只有 当样本量（自由度）无穷大的时候，它才是标
所抽取的样本，只包含总体中一部分个体， 因而样本均数（或率）往往不等于总体均数 （或率），样本均数之间也互不相等，这种 由抽样引起的差异称为均数的抽样误差的体 现。 即：
•
• 如何估计抽样误差？
• 标准误 standard error，SE • 以样本均数为例：
• SE 越大，均数的抽样误差越大，样本均数与 总体均数间的差异越大。
•
• 当样本例数一定时，样本均数的标准误与原 始数据的标准差成正比；当标准差一定时， 标准误与样本含量 n 的平方根成反比。增加 样本含量可以减小抽样误差。
• 与标准差的区别： • 标准差：表示一般个体值的离散程度； • 标准误：特别说明统计量的离散程度。
•
再思考一个问题：
• 其它的统计量有抽样误差吗？ • 它们的计算公式怎样？
研-统计3抽样误差t分布 参数估计
2020年6月5日星期五
主要内容
• 均数的抽样误差 • t分布 • 参数估计
•
•回顾：正态分布(normal distribution)
• 概念： 频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称 ，靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少 ，形成一个中间多，两侧逐渐减少的对称分布。
• 是一种连续型分布。又称高斯分布.
•
• 正态分布用N(µ, )表示，其位置与均数有关， 形状与标准差有关。
• 医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布：如 正常人的生理，生化指标变量，等
•
•
• 正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标 准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即 2.71828。以上均为常数，仅x为变量。
•
t分布曲线下的面积规律 • 与标准正态曲线下的面积规律相似：
• 在某一个自由度下，两侧外部总面积为5%的界 限的t值称为t0.05/2(υ),把两侧外部总面积为1% 的界限的t值称为t0.01/2(υ)。
• 因此，中部占95%面积的t值范围： • t0.05/2(υ)-- t0.05/2(υ), • 中部占99%面积的t值范围： - t0.01/2(υ)-- t0.01/2(υ)。
•
•来自百度文库
• 当自由度确定时，占一定面积的t界限值， 可以查表得出。
• 例如：查当自由度=20，两侧概率之和为 0.05时，对应的t值：
• t0.05/2（20）=±2.086， • 单侧概率为0.05时，对应的t值： • t0.05（20）=1.725，
•
• 一般， t 0.05/2（v）≥1.96 ，t 0.01/2（v） ≥ 2.58 • 自由度越小，曲线越低平，t 比1.96，2.58大
标准误的应用
1、用来衡量抽样误差的大小: 标准误越小，样本均数与总体均数越接近， 样本均数的可信度越高；
2、结合标准正态分布与 t 分布曲线下的面积规 律，估计总体均数的置信区间。
3、用于假设检验。
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抽样分布
• 假定2003年汕头市15岁女学生的身高服从均 数155.4cm、标准差5.3cm的正态分布。用计 算机做抽样模拟试验，从N(155.4, 5.32)的总体 中，每次抽出10个数字（样本含量为10）， 组成一个样本，求出样本均数 、样本标 准差 S。 再求得此100个样本均数的均数、样 本均数的标准差。
准正态分布，此时，u=t
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t分布曲线
• t分布是一簇对称于0的单峰分布曲线。 • 自由度越小（相当于标准差大），曲线的中间越
低，两边越高；随自由度增大， t分布曲线逐渐 逼近于标准正态分布曲线。 • 当自由度无穷大时， t分布就是标准正态分布曲 线。 • 每一条t分布曲线，都对应于相应的自由度。 • t分布模拟试验
态的参数分别为:0, 1 • （4）正态分布的面积分布有一定规律。
•
•正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律
正态分布
标准正态分布 面积 (或概率)
μ -1σ__μ +1 σ
-1__+1
68.27%
μ–1.96σ__μ+1.96σ -1.96__+1.96 95.00%
μ –2.58σ__μ+2.58σ -2.58__+2.58 99.00%
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•双侧概率
•（-1，1），68.27%
•（-1.96，1.96），95%
•（-2.58，2.58），99%
•
•单侧概率
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请思考：
• 抽样？ • 统计量？ • 抽样分布？
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一、均数的抽样误差和标准误
均数的抽样误差sampling error of mean 由于总体中存在个体变异，抽样研究中
•正态总体中抽 样（样本量10）
•正态总体中抽 样（样本量30）
•抽样时样本量 大小决定了样 本均数分布的 形状，当样本 量足够大时， 均数分布趋向 正态分布。
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二、t 分布（t-distribution)
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还记得吗？
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• u转换将正态分布转换为标准正态, N(0, 1)。 • 同理：将样本均数的分布也可以转换为标准正态
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• 标准正态分布: • 为了应用方便，常将式进行变量变换，即：u
变换. 所得到的新变量u的分布即为标准正态 分布。
• u的含义：变量到均数间的距离相当于标准差 的倍数。
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•标准正态分布的概率密度函数：
•
• 正态分布的特征和分布规律： • （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交，当x=μ
时，曲线位于最高点。 f(u=0)=0.3989 • （2）曲线关于直线x=μ左右对称。 • （3）正态分布有两个参数:均数,标准差;标准正
•
• 样本均数的标准差是什么？…….. •标准误
•
• 100个样本均数构成一个新的分布，也是正态分 布。
• 即使原分布为偏态分布，当样本含量足够大时， 新分布也近似正态分布）。新分布的集中趋势用 均数的均数来表示，离散趋势用标准误表示N( , )。
• 各样本均数的均数等于总体均数。
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•正态总体中抽 样（样本量5）
分布 。 • 即：
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• 实际工作中，总体标准差往往未知，常用S代替σ 计算 标准误，因此：为了和u分布区别，就变为：
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均数的分布也是这样
• 如果我们采用另一个正态变量: • 于是，均数的分布变成了标准正态分布:
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但是，条件发生了变化
• 我们通常用
代替
• 然而， 随着样本量的变化而变化，所以，我 们称之为 t-分布，虽然它是正态分布，但只有 当样本量（自由度）无穷大的时候，它才是标
所抽取的样本，只包含总体中一部分个体， 因而样本均数（或率）往往不等于总体均数 （或率），样本均数之间也互不相等，这种 由抽样引起的差异称为均数的抽样误差的体 现。 即：
•
• 如何估计抽样误差？
• 标准误 standard error，SE • 以样本均数为例：
• SE 越大，均数的抽样误差越大，样本均数与 总体均数间的差异越大。
•
• 当样本例数一定时，样本均数的标准误与原 始数据的标准差成正比；当标准差一定时， 标准误与样本含量 n 的平方根成反比。增加 样本含量可以减小抽样误差。
• 与标准差的区别： • 标准差：表示一般个体值的离散程度； • 标准误：特别说明统计量的离散程度。
•
再思考一个问题：
• 其它的统计量有抽样误差吗？ • 它们的计算公式怎样？
研-统计3抽样误差t分布 参数估计
2020年6月5日星期五
主要内容
• 均数的抽样误差 • t分布 • 参数估计
•
•回顾：正态分布(normal distribution)
• 概念： 频数分布以均数为中心，左右两侧基本对称 ，靠近均数两侧频数较多，离均数愈远，频数愈少 ，形成一个中间多，两侧逐渐减少的对称分布。
• 是一种连续型分布。又称高斯分布.
•
• 正态分布用N(µ, )表示，其位置与均数有关， 形状与标准差有关。
• 医学现象许多呈正态分布，或近似正态分布：如 正常人的生理，生化指标变量，等
•
•
• 正态分布的密度函数：式中μ为均数；σ为标 准差；π为圆周率；е为自然对数的底，即 2.71828。以上均为常数，仅x为变量。
•
t分布曲线下的面积规律 • 与标准正态曲线下的面积规律相似：
• 在某一个自由度下，两侧外部总面积为5%的界 限的t值称为t0.05/2(υ),把两侧外部总面积为1% 的界限的t值称为t0.01/2(υ)。
• 因此，中部占95%面积的t值范围： • t0.05/2(υ)-- t0.05/2(υ), • 中部占99%面积的t值范围： - t0.01/2(υ)-- t0.01/2(υ)。
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•来自百度文库
• 当自由度确定时，占一定面积的t界限值， 可以查表得出。
• 例如：查当自由度=20，两侧概率之和为 0.05时，对应的t值：
• t0.05/2（20）=±2.086， • 单侧概率为0.05时，对应的t值： • t0.05（20）=1.725，
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• 一般， t 0.05/2（v）≥1.96 ，t 0.01/2（v） ≥ 2.58 • 自由度越小，曲线越低平，t 比1.96，2.58大