工程力学_第11章_弯曲应力

i 1
16
简单截面惯性矩
矩形截面惯性矩
Iz
A
y2dA
h/2 y2bdy
-h/2
bh3
bh3 12
Wz
Iz ymax
12 h
bh2 6
2
圆形截面惯性矩
Ip A 2dA A ( y2 z2 )dA
Ip Iz I y Ip 2Iz
Iz
Ip 2
d 4 64
Wz
d 4 64
2 d
d 3 32
弯曲假设 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设 ❖ 各纵向“纤维”仅承受轴向拉应力或压应力－单向受力假设
8
推论 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面的交线－中性轴
❖对称弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面。 因此，中性轴垂直于横截面纵向对称轴
9
对称弯曲正应力公式
公式的建立
(a)(c)
E y2dA M
A
Iz
y2dA－惯性矩
A
1 M
EI z
(d)
EI －截面弯曲刚度 z
(d)(a)
s ( y) My
Iz
s
max
Mymax Iz
Wz
Iz ymax
－抗弯截面系数
s
max
M Wz
11
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
s ( y) E ( y)
Ai yCi
yC i1 A
19
yC
A1 yC1 A1
A2 yC 2 A2
bd
d
2
dbd
bd db
b 2
0.045 m
3. 惯性矩计算
Iz Iz1 Iz2
I
z1
bd 3
12
bd
yC
d
2
2
3.0210-6
m4
I
z2
db 3
12
dbd
b2
yC
2
5.8210-6
m4
I z I z1 I z2 8.84106 m4
4. 最大弯曲正应力
s
t,max
M B yC Iz
30.5
MPa
s
c,max
M
B
(
bd
Iz
yC
)
64.5
MPa
20
例 3-2 已知：宽 b = 6mm，厚 d = 2mm的钢带环绕在直径
D=1400mm的带轮上，钢带的弹性模量E=200GPa。试求：
钢带内的最大弯曲正应力 smax 与钢带承受的弯矩 M
例 2-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
试计算：最大弯曲正应力smax ，梁轴曲率半径
解：1. 工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
Iz 1.66 105 m4 Wz 1.85 104 m3
13
解：1. 问题分析 已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力
应力～变形关系：
s E y
s max
E
ymax
❖ 内力～变形关系：
1 M
EIz
M
EIz
21
带厚 d=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm,
二者平行
18
例题
例 3-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
解：1. 弯矩计算
MB Fl 6000 N m
2. 形心位置计算 由矩形 1 与矩形 2 组成的组合截面
n
n
Sz Ai yCi AyC i 1
15
静矩与惯性矩
静矩
Sz
ydA AyC
A
[L]3
－截面对z轴的静矩
n
n
Sz Sz i Ai yCi
i 1
i 1
n
Sy
zdA
A
AzC
Sy
Ai zCi
i 1
惯性矩
Iz A y2dA [L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
n
Iz Izi
i 1
n
I y
z 2dA
A
Iy Iyi
本章主要内容
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 弯曲强度计算与合理强度设计 双对称截面梁非对称弯曲 弯拉（压）组合应力与强度
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§11.2 对称弯曲正应力
弯曲试验与假设 对称弯曲正应力公式 例题
6
弯曲试验与假设
弯 曲 试 验
7
试验现象 横线为直线，仍与纵线正交 ❖ 纵线变为弧线，靠顶部纵线缩短, 靠底部纵线伸长 纵线伸长区，梁宽度减小；纵线缩 短区，梁宽度增大
sdA0 A
ysdA M A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EI z － 截面弯曲刚度）
正应力公式： s ( y) My
Iz
s
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： s max s p , 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
12
例题
3
弯曲应力与对称弯曲 弯曲应力
弯曲正应力
梁弯曲时横截面上的s
弯曲切应力
梁弯曲时横截面上的t
对称弯曲
对称截面梁，外力作用在该对称面内，梁的变形对称于纵 向对称面－对称弯曲
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变形形式与本章内容
变形形式 基本变形形式－轴向拉压，扭转，弯曲 组合变形形式－两种或三种不同基本变形形式的组合
弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合
Iz 1.66 105 m4 Wz 1.85 104 m3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 smax 与
2. 应力计算
M Me 20.0 kN m
3. 变形计算
1 M
EIz
s
max
M Wz
108.1
MPa
EI z 166 m
M
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§11.3 惯性矩与平行轴定理
静矩与惯性矩 简单截面惯性矩 平行轴定理 例题
1
主要内容
§ 11.1 引言 § 11.2 对称弯曲正应力 § 11.3 惯性矩与平行轴定理 § 11.4 对称弯曲切应力 § 11.5 梁的强度条件 § 11.6 梁的合理强度设计 § 11.7 双对称截面梁的非对称弯曲 § 11.8 弯拉(压)组合
2
§11.1 引言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
几何方面:
( y)( y)d d d
y
物理方面:
s ( y) E ( y)
s
(
y)
E
y
(a)
静力学方面:
Fx 0,
sdA0
A
(b)
Mz 0,
ysdA M
A
(c)
10
s E y (a)
sdA0 (b) A
ysdA M (c) A
(a)(b)
ydA0 A
ydA
yC
A
A
0
中性轴通过横截面形心
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平行轴定理
平行轴定理
建立 Iz 与 Iz0 的关系
Iz A y2dA Iz A y0 a2dA
Iz A y02dA 2aA y0dA Aa2
Iz0 A y02dA
A y0dA 0
I z I z0 Aa2
同理得： I y I y0 Ab2
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系