流体力学第5章不可压缩流体的一维层流流动详解
流体力学第5章不可压缩流体的一维层流流动
微元体上z方向的各力之和为：
p
rz
dz
r β g
p
u
p z
dz
u
40
① 切应力方程
将上述各式代入（5-1）并整理得关于切 应力的微分方程
( rz r ) p p r ( g cos ) r r z z
*
其中，p*=p-ρgzcosβ，әp*/әz可用-Δp*/L代替， 说明流动过程为压降过程 其中
ω
kR R
33
解：此题为狭缝剪切流。由于间隙远 小于筒体半径，可近似认为水平狭缝中的 剪切流。由狭缝流动的剪切应力分布公式：
yx
1 p U (b 2 y ) 2 x b
*
其中外筒壁面的速度U=R ω，狭缝宽度 b=(1-k)R，对于水平剪切流，әp*/әx=0,于是 可得切应力分布为：
y x
β g
25
5.2.3 水平狭缝压差流动的流动阻力
对于水平狭缝，由于β=π/2，故有әp*/әx= әp/әx=const 。则可用-△p/L代替，其中△p是 流动方向上长度为L的流道的进出口压力之差， △p=p0-pL,称为压力降。由于是压差流，则两 平壁固定，则有U=0,得水平狭缝压差流的平 均速度为：
5
若切应力所在平面的外法线与y轴正向相反， 规定指向x轴负方向的切应力为正，反之为负。
y x z z y
x
yx 0
yx 0
第三步.将式（5-2）代入式（5-1），则 得关于流体速度的微分方程——流体微分方 程。
6
5.1.2
常见边界条件
常见工程问题的流场边界条件可分为三类： （1）固壁—流体边界：由于流体具有粘滞性，
* 2
流体力学-不可压缩流体的一维层流流动
（5-19）
体积流量
qV
R 2um
p * R 4 L 8
（5-20）
阻力系数
p*
L b
2
um2
2
Re umb /
64
umb /
64
Re
（5-21）
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应用条件 （1）方程（5-13）、（5-14）对圆管和圆形套管均适用； （2）方程（5-13）对牛顿流体和非牛顿流体均适用，（5-14） 为速度方程，适用于牛顿流体； （3）方程（5-16）～（5-16）是牛顿流体在管内作充分发展 层流流动的结果。即介质为牛顿流体，管道为L/D＞＞1的圆管， 雷诺数小于2000。
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5.3 管内流动分析 5.3.1 圆管内的层流流动
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采用住坐标； 一维不可压缩稳态流动，即
在z 方向
u x 0
输入微元体的动量流量 输出微元体的动量流量
u2 2rdr
微元体的受力在z方向投影
微元体在z方向 的诸力之和
rz 2rdr
布，速度分布以及流动条件。
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解 园管内层流运动时切应力的一般方程为
rz
P * L
r 2
C1 r
当 r=0 时切应力不可能为无穷大，故上式中的积分常数为
C1 0
切应力分布为
rz
P * L
r 2
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p *
8
1
k
2
1 k2
ln1/ k
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流体力学 第5章 圆管流动..
第5章圆管流动一.学习目的和任务1.本章学习目的（1）掌握流体流动的两种状态与雷诺数之间的关系；（2）切实掌握计算阻力损失的知识，为管路计算打基础。
2.本章学习任务了解雷诺实验过程及层流、紊流的流态特点，熟练掌握流态判别标准；掌握圆管层流基本规律，了解紊流的机理和脉动、时均化以及混合长度理论；了解尼古拉兹实验和莫迪图的使用，掌握阻力系数的确定方法；理解流动阻力的两种形式，掌握管路沿程损失和局部损失的计算；了解边界层概念、边界层分离和绕流阻力。
二.重点、难点重点：雷诺数及流态判别，圆管层流运动规律，沿程阻力系数的确定，沿程损失和局部损失计算。
难点：紊流流速分布和紊流阻力分析。
由于实际流体存在黏性，流体在圆管中流动会受到阻力的作用，从而引起流体能量的损失。
本章将主要讨论实际流体在圆管内流动的情况和能量损失的计算。
5.1 雷诺(Osborne Reynolds)实验和流态判据5.1.1 雷诺实验1883年，英国科学家雷诺通过实验发现，流体在流动时存在两种不同的状态，对应的流体微团运动呈现完全不同的规律。
这就是著名的雷诺实验，它是流体力学中最重要实验之一。
105如图5－1所示为雷诺实验的装置。
其中的阀门T1保持水箱A 内的水位不变，使流动处在恒定流状态；水管B 上相距为l 处分别装有一根测压管，用来测量两处的沿程损失f h ，管末端装有一个调节流量的阀门T3，容器C 用来计量流量；容器D 盛有颜色液体，T2控制其流量。
进行实验时，先微开阀门T3，使水管中保持小速度稳定水流，然后打开颜色液体阀门T2放出连续的细流，可以观察到水管内颜色液体成一条直的流线，如图5－2（a ）所示；从这一现象可以看出，在管中流速较小时，它与水流不相混和，管中的液体质点均保持直线运动，水流层与层间互不干扰，这种流动称为层流（Laminar flow ）。
比如，实际中黏性较大的液体在极缓慢流动时，属层流运动。
随后，逐渐开大阀门T3，增大管中液体流速，流速达到一定速度时，管内颜色液体开始抖动，具有波形轮廓，如图5－2（b ）所示。
流体力学-不可压缩流体的一维层流流动教学文稿
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例5-3 非牛顿流体在垂直圆管内的流动 某非牛顿流体在垂直圆管内向小流动，如图所示。该流体切
应力与速度梯度符合下述模型
r z 00d/u dr
，
其中，常数 0 0 ，0 0 。设流
体密度为ρ，管道z方向长度为L，进口
压力为 ，出口压力为 ，为充
分发展的层流流动，试确定其切应力分
rz
p*r L2
uL p*4R2 1R r2
最大速度
umax
p*R2
L 4
（5-16） （5-17）
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平均速度
um R 12R 0u.2rd rL p*8 R 2um 2ax （5-19）
体积流量
qVR2umL p*8R 4 （5-20）
阻力系数
p* R eb L um 2 b/2 um 2 um 6b/4 R 6（ 4e5-21）
边界条件
u y0
0， uybU
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切应力与速度分布
YX 1 2 p x *b2yb U
u2 b 2 px*b yb y2Ub y
平均速度和流量
umb 10 bud y1b2 2 p x*U 2
（5-8）
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qV1 bud b ym u1 b32 p x*U 2 b（5-9）
z
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切应力微分方程
rrz r p g co s r p *（5-13a）
r z
z
式中
p*pgczos
Z方向的充分发展流动
p * / z co n p * s /L t
流体力学
狭缝流动分析
定义：两块足够大的平行平板（板间距 远小于板宽）之间的流动。
忽略端部效应，将流动视为充分发展。 狭缝水力直径很小，而化工介质粘度较大， 雷诺数较小，流动处于层流。 产生流动的原因：
压差流：由进出口两端的压力差产生。 剪切流：两壁间的相对流动产生。 复合流：两种因素同时存在。
1 b
um
p L
12
Ub 2
特殊情况：
平壁压差流： U 0 平壁剪切流： p L g cos 水平流动： 2 垂直向下或者向上的流动：
0
or
狭缝流动分析
水平狭缝压差流的流动阻力
2 , p
um b
2
0;
yx
y
du dy
y
0
降膜流动分析
切应力与速度分布
C 2 0 , C 1 g cos
yx
y g cos 1
2
y y 2 g cos u 2 2
2
最大速度
u max u
r0
p L
R
2
4
管内流动分析
平均速度
um 1
R
2
R
u 2 rdr
p L
R
2
0
8
u max 2
体积流量
qV R u m
2
p R L
define
流体流动的一维流分析
流体流动的一维流分析引言流体流动的研究是流体力学中的重要内容之一。
流体流动可以分为一维流和多维流两种情况。
在一维流动中，流体在一个方向上的速度变化可以忽略不计，因此可以简化为一维问题进行分析。
本文将对流体流动的一维流进行分析，包括基本概念、数学模型、基本方程、解析方法及其应用等方面进行阐述。
一维流的基本概念一维流是指流体在一个方向上的速度变化可以忽略不计的流动。
在实际情况中，一维流动可以近似地描述一些特定的流体流动现象，如河流、管道流动等。
一维流动的速度场和压力场只与流动方向有关，与流动方向垂直的任意截面上的速度和压力分布均相等。
一维流动可以看作是通过管道或河道等局部的流动现象，对于整个系统来说，仍然是三维空间中的流动。
一维流的数学模型一维流动可以通过一维流动方程进行描述。
一维流动方程包括质量守恒方程和动量守恒方程两个基本方程。
质量守恒方程描述了单位时间内单位截面积内的流体质量守恒，动量守恒方程描述了单位时间内单位截面积内的动量守恒。
在一维流动中，流体的密度通常是恒定的，因此可以简化为不可压缩流动的数学模型。
质量守恒方程质量守恒方程可以写成以下形式：$$\\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} + \\frac{\\partial (\\rho u)}{\\partial x} = 0$$其中，$\\rho$是流体密度，t是时间，x是坐标轴方向，u是流体速度。
动量守恒方程动量守恒方程可以写成以下形式：$$\\frac{\\partial (\\rho u)}{\\partial t} + \\frac{\\partial (\\rhou^2)}{\\partial x} = - \\frac{\\partial P}{\\partial x} + \\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\mu\\frac{\\partial u}{\\partial x}\\right)$$其中，P是压力，$\\mu$是动力粘度。
第5章不可压缩流体的一维层流流动.ppt
液膜厚度： 3 3qV g cos
最大速度、平均速度、体积 流量：
umax
u y
g 2 cos 2
um
1
udy g 2 cos
0
3
qV
um
g 3 cos 3
降膜流动
降膜流动应用说明：
实验表明，随着平均速度和降膜厚度的增加以及动力粘度的减 小，降膜流动会出现三种状态： 1. 直线型的层流流动； 2. 呈波纹状起伏的层流流动； 3. 湍流流动
y2 2
C1
y
C2
应用条件： 只适用牛顿流体
5.2.2 狭缝流动的切应力与速度分布
狭缝流动
边界条件： u y0 0,
u U yb
切应力与速度分布：
将边界条件代入方程有：
yx
1 2
p (b x
2y)
U
b
剪切流＋压差流＝复合流
U
u
b2 2
p x
y b
y b
2
U
y b
压差引起 的流动
剪切产生 的流动
u b
y x
0
狭缝流速度分布图
狭缝流动
平均速度：
1 um b
b
1
udy
0
b
b 0
b2
2
p x
y b
y b
2
U
y b
dy
5.2 狭缝流动分析
狭缝流动
河海大学流体力学第5章层流、紊流及能量损失
计算两个断面间的水头损失时，如果两断面间有若干段均匀 流或渐变流及若干段急变流，水头损失为各段的沿程损失和 局部损失之和，即
hw hf h j
5-1 层流与紊流的概述
5.1.1雷诺试验（O.Reynolds1883年）
阀门微微开启时，流量很小，流速较小，红 色液体形成一条直线。
r 2
du r 联立求解： g J dr 2
du 分离变量并整理得：
gJ r dr 2
当r r0时， u 0, 得C gJ 2 r0 4
对上式积分可得u
gJ 2 2 u ( r0 r ) 4
gJ 2 r C 4
u max
gJ 2 r0 4
v C Ri
广泛应用的形式v C RJ
Q vA CA RJ
v2 Q2 hf 2 l 2 2 l C R C A R
常用的谢才系数 C的经验公式为曼宁（ R。Manning) 公式
C
1 1 R6 n
l v2 8g 谢才公式与h f 的关系C 4R 2 g
5-6 流动的局部损失
亦可取反对数hf kvm
线段AB，层流，m 1(1 45 ); hf ~ v1
线段DE,紊流，m 1.75 ~ 2.0, hf ~ v1.75~2
5.1.2流态的判别-雷诺数
' vc (vc ) f (d , )
Re
vd
' c
, 是一纯数，称为雷诺数。
对于圆管，下临界雷诺数比较稳定，为2000
过水断面面积 A与湿周的比值，称为水力半径 R
对于圆管R A
A
d / 4 d r0 d 4 2
工程流体力学第五章 思考题、练习题 - 副本
第五章 不可压缩流体一维层流流动思考题建立流体流动微分方程依据的是什么基本原理?有哪几个基本步骤导致流体流动的常见因素有哪些?流体流动有哪几种常见的边界条件?如何确定这些边界条件? 对缝隙流动、管内流动或降膜流动，关于切应力和速度的微分方程对牛顿流体和非牛顿流体均适用吗？为什么一、选择题1、圆管层流过流断面的流速分布为A 均匀分布；B 对数曲线分布；C 二次抛物线分布；D 三次抛物线分布。
2、两根相同直径的圆管，以同样的速度输送水和空气，不会出现____情况。
A 水管内为层流状态，气管内为湍流状态；B 水管、气管内都为层流状态；C 水管内为湍流状态，气管内为层流状态；D 水管、气管内都为湍流状态。
3、变直径管流，细断面直径为d 1，粗断面直径为d 2，122d d 粗断面雷诺数Re 2与细断面雷诺数Re 1的关系是：A Re 1=0.5Re 2B Re 1=Re 2C Re 1=1.5Re 2D Re 1=2Re 24、圆管层流，实测管轴线上的流速为4m/s,则断面平均流速为：A 4m/sB 3.2m/sC 2m/sD 2.5m/s5 圆管流动中过流断面上的切应力分布如图 中的哪一种？A 在过流断面上是常数B 管轴处是零，且与半径成正比C 管壁处为零 ，向管轴线性增大D 抛物线分布9．下列压强分布图中哪个是错误的？B10．粘性流体总水头线沿程的变化是( A ) 。
A. 沿程下降B. 沿程上升C. 保持水平D. 前三种情况都有可能。
1．液体粘度随温度的升高而___，气体粘度随温度的升高而___( A )。
A.减小，增大；B.增大，减小；C.减小，不变；D.减小，减小四、计算题(50分)30.(6分)飞机在10000m 高空(T=223.15K,p=0.264bar)以速度800km/h 飞行，燃烧室的进口扩压通道朝向前方，设空气在扩压通道中可逆压缩，试确定相对于扩压通道的来流马赫数和出口压力。
(空气的比热容为C p =1006J/(kg ·K)，等熵指数为k=1.4，空气的气体常数R 为287J/(kg ·K))T 0=T ∞+v C p ∞=+⨯⨯23222231580010360021006/.()/() =247.69K M ∞=v a ∞∞=⨯⨯⨯=(/)...80010360014287223150743 P 0=p ∞11221+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥∞-k M kk =0.26411412074038214141+-⨯⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-.....bar31.(6分)一截面为圆形风道，风量为10000m 3/h ，最大允许平均流速为20m/s ，求：(1)此时风道内径为多少?(2)若设计内径应取50mm 的整倍数，这时设计内径为多少?(3)核算在设计内径时平均风速为多少?依连续方程（ρ=C ）v 1A 1=v 2A 2=q v(1)v 1π412d q v = d 1=100004360020⨯⨯π=0.42m=420mm (2)设计内径应取450mm 为50mm 的9倍，且风速低于允许的20m/s(3) 在设计内径450mm 时，风速为 v q d m s v 2222441000036000451746==⨯⨯=ππ../ 32.(7分)离心式风机可采用如图所示的集流器来测量流量，已知风机入口侧管道直径d=400mm,U 形管读数h=100mmH 2O ，水与空气的密度分别为ρ水=1000kg/m 3，ρ空=1.2kg/m 3，忽略流动的能量损失，求空气的体积流量q v 。
第5章 不可压缩流体的一维层流流动
5.3 圆管中的层流流动
流体微元如左图， 受力分析:(z方向） 表面切应力： rz 流动截面上的压力：p 单位质量的重力g的分量：
g cos
5.3 圆管中的层流流动
一维不可压缩稳态流 动（充分发展的流动）， 即 u
z
0
故在z 方向有
输入微元体动量流量：
（ u u 2 rdr )
就简为力平衡方程，即
5.2 狭缝流动分析
yx 微元体上x方 p yx dx yx dy dx pdy p dx dy 向的诸力之和 y x
g cos dxdy
yx p g cos dxdy 0 y x
Ⅱ yx
pL p0 y CⅡ 1 L
边界条件：①对于流体Ⅰ有 ②对于流体Ⅱ 有
u y -b 0
Ⅰ
u y b 0
Ⅱ
5.2 狭缝流动分析
③由液-液边界的连续性
u y 0 u y 0 ,
Ⅰ Ⅱ
yxⅠ y 0 yxⅡy 0 。
将上述边界条件带入方程得积分常数为
(0≤y≤b)
两层流体切应力和速度见图。可见两层流体的切应 力服从同一分布。对于速度分布，两种流体的黏度相 等时怎样？请同学们考虑。
5.2 狭缝流动分析
5.3 圆管中的层流流动
以倾斜角为 的圆截面直管道的不可压缩粘性流体 的定常层流流动为例。
采用柱坐标，参数 如图，一维流动，
ur u 0
2 b p y y y u U 2 x b b b 2
(4-7)
由上式可知，压差引起的流动和剪切产生的流动是线 性叠加关系:前者呈抛物线分布，后者呈线性分布.如 下图所示。
第五章 不可压缩流体的一维层流流动(1)
5 不可压缩流体的一维层流流动
主要 建立流动微分方程的基本方法
内容
狭缝流动分析 管内流动分析 降膜流动分析
2
要描述流场参数如速度、压力、切应力等的 详细分布，必须着眼于流场中的点（微元体）建 立流体流动的微分方程。它不仅能揭示宏观流动 现象的内在机理，也是确定最大速度、流动阻 力、壁面切应力等工程实用参数所必需的。本章 将以典型的一维流动为对象，阐述动量守恒方程 与牛顿剪切定理应用于流场微元体从而建立流动 微分方程的基本方法和过程。
钱学森
钱学森（1911－2009）浙江省杭州市 人， 他在火箭、导弹、航天器的总 体、动力、制导、气动力、结构、 材料、计算机、质量控制和科技管 理等领域的丰富知识，为中国火箭 导弹和航天事业的创建与发展作出 了杰出的贡献。1957年获中国科学 院自然科学一等奖，1979年获美国 加州理工学院杰出校友奖，1985年 获国家科技进步奖特等奖。1989年 获小罗克维尔奖章和世界级科学与 工程名人称号，1991年被国务院、中 央军委授予“国家杰出贡献科学家” 荣誉称号和一级英模奖章。
3
5.1 概述
5.1.1 建立流动微分方程的基本方法
建立流动微分方程应用的是动量守恒定律与 牛顿剪切定律。其具体步骤为：
第一步.根据动量守恒定律建立微元体的动 量守恒方程。对于稳态流动，微元体的动量方 程表达式为：
输入微元体 的动量流量
—
输出微元体 作用于微元 的动量流量 + 体诸力之和
=
0 （5-1）
几点说明： ①一方面由于板间距大大小于板的横向尺寸 （长或宽），故可忽略端部效应即流体进出的 影响，流动可视为充分发展。 ②另一方面，由于狭缝的水利直径很小，且 化工流体往往有较大的粘度，故雷诺数小 （Re=ρumb/μ），流动常处于层流范围。
黏性不可压缩流体的一维流动
6.1 黏性流体运动的两种流态——层流 和湍流
• 但是人们对这个说法仍存在争议，有人认为这种大尺度结构不属于湍 流的范畴，而有人则认为这是湍流的一种表现形式。目前大多数人的 观点是：湍流场由各种大小和涡量不同的涡旋叠加而成，其中最大涡 尺度与流动环境密切相关，最小涡尺度由黏性确定；流体在运动过程 中，涡旋不断破碎、合并，流体质点轨迹不断变化；在某些情况下， 流场做完全随机的运动；在另一些情况下，流场随机运动和拟序运动 并存。
6.2 圆管中的充分发展层流与湍流
• 又因为速度u 的分布是轴对称的，所以 为
，则式（6−18）就变
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6.2 圆管中的充分发展层流与湍流
• 式中，积分常数C1 和C2 可由边界条件确定：在管轴处，即当r=0，u 为有限值时，C1=0；在管壁处，即当 由此得
• 这就是圆管层流的速度分布规律。由式（6−20）可知，圆管截面上 的速度分布为对称于管轴的抛物体。
• 进一步的实验还表明，如果管径d 或流体运动黏度ν 改变，则上、下 临界流速也会随之改变。但是无论d、ν、V′c （或Vc）怎样变化，量 纲为1 的数V′c d/ν 或Vcd/ν 都是一定的。从层流变到湍流时的量纲为 1 的数V′c d/ν 称为上临界雷诺数，以Re′ c 表示；从湍流变到层流时 的量纲为1 的数Vcd/ν称为下临界雷诺数，以Rec 表示。
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6.1 黏性流体运动的两种流态——层流 和湍流
• 这说明管中的水流都是稳定地沿轴向运动，管中的流线之间层次分明， 互不掺混，流体质点没有垂直于主流方向的横向运动，所以染色液体 和周围的水没有混杂，我们称这样的流动为层流。
• 如果把A 阀缓慢逐渐开大，管中水流速度V 也将逐渐增大。在流速达 到某个数值之后，玻璃管内的流体质点不再保持稳定而开始发生脉动， 有色流束开始弯曲颤动［如图6-2（b）所示］，但流线之间仍然层次 分明，互不掺混。如果阀门A继续开大，脉动加剧，染色液体就会完 全与周围液体混杂而不再维持流束状态，如图6-2（c）所示。此时除 进口段外，流体将做复杂的、无规则的、随机的不定常运动，我们称 这种流动为湍流。
流体力学第5章管内不可压缩流体运动
p 32vl 32 0.285 6 50 273600N / m2
d2
0.12
• （3）管路中的最大速度： • （4）壁面处的最大切应力：
umax 2v 2 6 12m / s
max
p 2l
r0
273600 0.05 2 50
136.8N
/ m2
5.2 湍流流动及沿程摩擦阻力计算
Re数越大——粘性底层的厚度越薄；流速越低，
第5章 管内不可压缩流体运动
5.1 管内层流流动及粘性摩擦损失
• 【内容提要】 本节主要讨论流动阻力产生的原因及分类 ，同时讨论两种流态及转化标准
并且在此基础上讨论圆管层流状态下流速分布、流量计算、切应力分布、沿 程水头损失计算等规律。
5.1.0概述（阻力产生的原因）
1、阻力产生的原因 （1）外因 • ①断面面积及几何形状 • ② 管路长度 L：水流阻力与管长成正比。 • ③管壁粗糙度：一般而言，管路越粗糙，水流阻力越大。
• 【内容提要】 • 本节简要介绍紊流理论及湍流沿程阻力系数的计算
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理论
• 湍流的产生
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理论
• 湍流的产生 • ① 层流在外界环境干扰的作用下产生涡体（湍流产生的先决条件）。 • ② 雷诺数大于临界雷诺数（湍流产生的必要条件）。
5.2.1 湍流漩涡粘度与混合长度理 论
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别：
（3）雷诺数
（无量纲数）
Re dv dv 式中，ρ—流体密度；v—管内流速；d—管径；μ—动力粘性系数；—运动粘性系
数
5.1.1 层流与湍流流动
2、流态的判别： （3）雷诺数 • ① 雷诺数Re是一个综合反映流动流体的速度、流
流体力学层流紊流ppt课件
和
R0
r0 2
圆管均匀流断面上的切应力
' 0
在半径
r
是线性分布
的，在管轴中心 r=0 处为零。在边壁 r=r0 处最大。 18
§5-2层流紊流及能量损失：均匀流沿程损失
二、沿程损失的通用公式
根据均匀流基本方程，总流的 hf 取决于边壁上的平均摩擦切应力 τ0。若能确定τ0 的大小，则易得到 hf 的变化规律。
R A
A
dH 4R 4
湿周
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§5-1层流紊流及能量损失：层流及紊流
5、非圆管雷诺数ReH
Re H
VdH
12
§5-1层流紊流及能量损失：层流及紊流
三、紊流的成因
发生条件：
1、有初始扰动
层流：粘性力起主导作用
2、粘性对质点运动的束缚降低 紊流：惯性力起主导作用
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§5-1层流紊流及能量损失：层流及紊流
3、圆管流态判断
Re Vd
Re Rec 2000 层流 Re Rec 2000 过渡流或紊流
4、非圆管流态判断
（1）特征量——描述运动的某一属性、相对独立的量。 例如管流的平均流速和管径、缝隙流里的平均流速和 缝隙高度。
（2）湿周——断面上固体边界与流体接触的周长，
（3）水力半径 （4）当量直径
根据实验，圆管均匀流边壁上的摩擦切应力τ0 与五个因素有关： 断面平均流速 V 水力直径 d
流体密度ρ 流体的动力粘度μ
壁面的粗糙高度 ks
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§5-2层流紊流及能量损失：均匀流沿程损失
达西公式
由量纲和谐原理得
0
8
V
2
f Re, ks
d
hf
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2
5.1
概述
5.1.1 建立流动微分方程的基本方法
建立流动微分方程应用的是动量守恒定律 与牛顿剪切定律。其具体步骤为： 第一步.根据动量守恒定律建立微元体的 动量守恒方程。对于稳态流动，微元体的动量 方程表达式为：
输入微元体 的动量流量
—
输出微元体 作用于微元 的动量流量 + 体诸力之和 = 0 （5-1）
17
yx
p y c1 x
*
（5-3b）
下面推导速度方程，对于牛顿流体，将一 维流动条件的牛顿剪切定理τyx=μdu/dy代入上 式，可得狭缝流动的速度微分方程：
du 1 p ( y c1 ) dy x
*
18
积分后可得速度分布方程：
1 p y 1 u c1 y c2 x 2
9
层流:指的是平行流动的流体层之间 只有分子作用，而不相互混杂，只有在层 流条件下牛顿剪切定律才成立. 充分发展流动:流体速度沿着流动方 向没有变化的流动，例如当流体以速度u 沿x方向流动时，如果说流动是充分发展 的，则必有әu/әx=0。由此，不可压缩流 体的一维稳态流动必然属于充分发展的流 动。
y x z z y x
yx 0
yx 0
5
若切应力所在平面的外法线与y轴正向相反， 规定指向x轴负方向的切应力为正，反之为负。
y x z z y
x
yx 0
yx 0
第三步.将式（5-2）代入式（5-1），则 得关于流体速度的微分方程——流体微分方 程。
6
5.1.2
常见边界条件
* 2
（5-4）
适用条件：式（5-3）对牛顿型和非牛
顿型流体均适用；而式（5-4）只适用于牛
顿流体.
19
5.2.2 狭缝流动的剪切力与速度分布
（1）边界条件
最一般的情况：沿流动方向存在压力差，同
时上壁面以速度U相对于下壁面运动。边界条件
为：
u|y=0=0
y x
u|y=b=U
β g
20
1 p y 1 u c1 y c2 x 2
11
③产生流动的动力 一种是进出口两端的压力差产生的流 动，称为压差流。 另一种是由于两壁面的相对运动产生 的流动，称为剪切流。 这两种因素也可能同时存在。 ④ 对于非水平平壁的狭缝流动，还将 受到重力的影响。
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5.2.1狭缝流动的微分方程
如图所示为两平壁间的流动，在平壁间， 密度为ρ的不可压缩流体沿x轴方向作一维层流 流动，流动方向与重力加速度g之间夹角为β。 所取微元体如图所示，垂直于x-y平面的方向 取单位厚度。
常见工程问题的流场边界条件可分为三类： （1）固壁—流体边界：由于流体具有粘滞性，
故在与流体接触的固体壁面上，流体的速度将等于 固体壁面的速度。特别地，在静止的固体壁面上， 流体的速度为零。
7
（2）液体—气体边界：对于非高速流动，
气液界面上的切应力相对于液相内的切应力很
小，故通常认为液相切应力在气液界面上为零， 或液相速度梯度在气液界面上为零。
（3）液体—液体边界：由于穿越液—液界
面的速度分布或切应力分布具有连续性，故
液—液界面两侧的速度或切应力相等。
8
5.1.3 流动条件
本章讨论的是稳态条件下不可压缩流体的 一维层流且充分发展的流动。 稳态：指流动过程与时间无关； 不可压缩流动：即流体密度ρ为常数； 一维流动：流体只在一个坐标方向上流动， 且流体速度的变化（速度分布）也只与一个空 间坐标有关；
yx
x
g
u
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将上述三项代入方程（5-1）可得关于切 应力的微分方程：
yx
p g cos y x ( p gx cos ) p x x
*
（5-3a）
其中p*=p-ρgxcosβ。这里引用一个结论：对于 x方向充分发展的一维流动，ә p */ әx=const，于 是积分上述方程，得到切应力分布方程：
3
第二步.根据所采用的坐标系，写出相 应的牛顿剪切定律表达式作为补充方程。对 于如图所示的速度为u的一维流动。牛顿剪 切定律可表达为：
yx
du dy
y （5-2）
yx
u( y)
x
4
其中切应力τyx 的第一下标y表示切应力所在平面 的法线方向，第二下标x表示切应力的作用方向。切 应力的符号规定，若切应力所在平面的外法线与y轴 正向一致，则指向x轴正向的切应力为正，反之为负；
y x
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β g
y
微元体受力如图
p
u
yx
yx y
β g
x
dy
p p dx x
u
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yx
g
由于流动是充分发展的，即әu/әx=0， 所以流体进入和流出微元体的速度均为u， 因此在x方向有： 输入动量流量=ρu2dy 输出动量流量=ρu2dy 此时动量方程简化 为力的平衡方程。
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5.2
狭缝流动
狭缝流动：通常指的是两块足够大的平行平 板（板间距远远小于板横向尺寸的平行平板） 间的流动. 几点说明： ①由于板间距大大小于板的横向尺寸（长或 宽），故可忽略端部效应即流体进出的影响， 流动可视为充分发展。 ②由于狭缝的水利直径很小，且化工流体往往 有较大的粘度，故雷诺数小（Re=ρumb/μ），流 动常处于层流范围。
5 不可压缩流体的一维层流流动
掌握建立流动微分方程的方法
狭缝流动分析
管内流动分析
主要 内容
降膜流动分析
掌握推导过程
1
以典型的一维流动为对象，阐述动量守恒方 程与牛顿剪切定律应用于流场微元体分析，建立 流动微分方程的基本方法和过程，以确定流场中 速度分布和剪切应力分布，得到最大速度、流动 阻力、壁面剪切应力等工程实用参数。
* 2
(2)切应力与速度分布 将边界条件代入（5-4）可得：
p b c1 , b x 2
*
U
c2 0
则可得有相对运动的平壁间充分发展 的一维不可压缩层流流动的切应力和速度 分布表达式为：
p
u
yx
yx y
dy
p p dx x
yx
g
u
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微元体上x方向的诸力之和
yx dx ( yx
yx y
dy)dx pdy
p (p dx)dy ( g cos )dxdy x yx yx p dy p yx ( y y x p u p dx x g cos )dxdy y