常高斯曲率的曲面

0
x y2
(常数)
由第二式
y y
y 2 y2

x y2
0
y y



x 2 y2

y y


x
0
积分之
y x (常数)
y
除以 x y2 得
dy dx

y x

x y

积分
7、3 罗氏几何
1、罗氏平面上的距离
设 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) 是罗氏平面上的两点，通过保角变换，
它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把
a
sin
t
sin


z

a(ln
tan
t 2

cost)
计算知


ds2

ห้องสมุดไป่ตู้
du2

Gdv 2

du2

a
2
e
2u a
dv
2
因此它的坐标曲线网是一个半测在坐标网，u线是测地线，其高
斯曲率为
K
1 G
2 G u 2


1
(
a e2
2u a
a e2
2u a
)


1 a2
.
所以伪球面为负高斯曲率的曲面。
dx

xdz dx}
a2 x2 x
dx
令 x=asint 并两边积分 得曳物线方程为：
x a sin t
z

a(ln
tan
t 2

cost)
3、伪球面
将 ozx 平面上的曳物线绕oz 由旋转一周所得的旋转面叫伪
球面，它的参数表示为
x a sin t cos

y

这样我们得到：常高斯曲率的曲面有：当K>0 时，曲面与 球面等距，K=0 时与平面等距，K<0 时与伪球面等距。
4、把命它题经：过若保通角过变伪换球映面射的到第平一面基上本，形则式伪球 面 d的s2测地ay22线(d对x2应 d于y2 )
园心在 x 轴上的园。
要证明这个命题，先作保角变换：x
ds2 du2 Gdv2
由假设 v 为曲线的弧长，所以
dv2 ds2 G(0,v)dv2, G(0,v) 1,Gu (0,v) 0.
由第五节习题知，对于半测地坐标网，
K 1 2 G 2 G K G 0.
G u2
u 2
根据初始条件 G(0, v) 1,Gu (0, v) 0. 这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况：
u1 x , u2 y , 111 0 , 112 211 1 y ,
212 0 , 121 1 y , 122 221 0 , 222 1 y ,
代入测地线方程有
K=1时， x ( 1 )( xy xy) 0 x 2xy 0
第七节 常高斯曲率的曲面
7.1 常高斯曲率的曲面 设曲面 S：r = r(u,v) 的高斯曲率为常数，在曲面上任取点 P
和过 P 点的任意测地线(C),把(C)作为坐标曲线u=0,即v线中的一条， 且从P 点起的弧长为v，取与（C）正交的测地线簇为u线，取这簇 测地线的正交轨线（包含（C））为v线，则得到一半测地坐标网， 因此曲面的第一基本形式可写为
以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：
（1）正常数高斯曲率（K>0）的曲面，方程
2 G u2 K G 0.
的通解为 G A(v) cos K u B(v) sin K u 这里A(v),B(v)都是 v 的函数，由初始条件
G(0, v) 1,Gu (0, v) 0. 可得 A(v)=1，,B(v)=0。第一基本形式为
由初始条件得 A(v)=1，,B(v)=0
ds2 du2 cosh2 Kudv2
下一节讨论这种情形。
7.2 伪球面 （负高斯曲率的曲面）
1、定义：设曲线（C）上任一点的切线上介于切点和z 轴之间的 线段始终保持定长a ，此曲线称为曳物线，z 轴称为它的渐近线。
2、曳物线的方程 设它的参数表示为 x=x(t) , z=z(t) ,曲线上一点 P(x,z) 的切线的
y
y
K=2时， y 1 (xx yy) 0 y x2 y 2 0
y 所以测地线方程为
x
2xy y

0,
y
y
x 2
y
y 2
0.
由第一式
x y2

2xy y3
0
x y2

的方向为
{dx dt
,
dz} dt
，故切线上一点的坐标是
{x

dx dt
,
z

dz} dt
如果这点在 oz 轴上，则横坐标为0，即
x dx 0
dt
x dx dt
求得曲线在 P 点的切线与z 由两点间距离公式得
x2 ( xdz dx)2 a2 x2
轴的交点的坐标为 {0, z x2 dz 2 a2 dz
ds2 du2 cos2 Kudv2
例：球心在原点，半径为 R 的球面。
（2）K=0 ，则微方程的通解为 G A(v) B(v)u ，由初始条
件得 G 1, 因此 du2 dv2
与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。
（3）K<0，则微分方程的解为 G A(v) cosh K u B(v) sinh K u

v,
y

eu a
,
ady
dx dv, du
y



ds2

du2

a
2
e
2u a
dv
2

a2
(dx2

dy2 )
y2
与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上
的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：
现在
d 2uk
ds2

i, j
ikj
dui ds
du j ds
0
, k 1,2
1 x2 x 1 y2 (常数)
2
2
整理得
(x c)2 y2 r2
这是 xoy 平面上园心在 x 轴上的园的方程，命题得到证明。
下面考虑 xoy 平面上在 x 轴上方的半平面，我们称之为罗氏 平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在 x 轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平 面上任两点P1 到P2 正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角 变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。