数学分析之十一章反常积分

b
eb
)
1
lim
b
1 eb
1
故
1
e
x
dx收敛，且
1
e x dx
1
(2)
b 1
1 x4
dx
1 3x3
b 1
1 3
1 3
b3
lim (
b
1 3
1 3b3
)
1 1 lim 3 3 b
1 b3
1 3
故
1
1 x4
dx收敛，且
1
1 x4
dx
1 3
(3)
Βιβλιοθήκη Baidu 1
1 dx lim
x
b
b 1
a
a
0 a
(4)
这 极时 限也 不称 存反 在常, 就积称分反ab常f 积(x)分dxab收f (敛x).d如x 发果散上.述
类似地, 设函数 f (x)在区间[a, b)上连续, 而在 点 b 的左邻域内无界, 取 > 0.
如果极限 lim b f (x)dx 存在,则定义 0 a
b
b
f (x)dx lim f (x)dx (5)
0
t p
e
pt
0
1 p2
e pt
0
1 p
lim
t
te
pt
0
1 p2
(0
1)
1 p2
例3 :
证明无穷积分
a
dx xp
(a 0).
当p 1时收敛, 当p 1时发散.
证: 当 p = 1时
a
dx xp
a
dx x
ln
x
a
当 p 1时
a
1 xp
dx
x1 p 1 pa
,
1 dx x
又
b 1
1 dx 2 x
x
b 1
2
b 2
lim (2 b 2)
b
故
1
1 dx发散 x
练习2：计算无穷积分
(1)
0
xe
x2
dx
（2）
1 e
ln x x
dx
解(1):
0
xe
x
2
dx
[
1 2
ex2
]0
1 2
(0 1)
1 2
练习4：求下列无穷积分：
(1)
xe
x2 2
f
(x)在无穷区间(,
b]上无穷积分,
记作
b
f
( x)dx,
即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
(2)
这时也称无穷积分
b
f (x)dx 收敛;
若上述
极限不存在, 就称无穷积分b f (x)dx 发散.
设函数 f (x)在区间(, +)上连续, 如果无穷积分
0
f (x)dx 和
c
b
lim f (x)dx lim f (x)dx
0 a
0 c
(6)
否则, 就称反常积分 b f (x)dx 发散. a
例4 : 计算反常积分 a dx
0 a2 x2 解 :因为 lim 1
xa0 a2 x2
(a 0)
所以, x=a为被积函数的无穷 间断点.
如果极限 lim b f (x)dx 存在, b a
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上
的无穷限反常积分, 记作 f (x)dx,即 a
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
b a
(1)
这时也称无穷积分 f (x)dx 收敛; 若上述极 a
限不存在, 就称无穷积分 f (x)dx 发散, 这时记
号
f
a
( x)dx不再表示数值了。
a
例如：
1 0 1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2
dx
lim arctan
b
xb0
lim arctanb b
y
1
y
1
1 x
2
2
o
b
x
类似地, 设函数 f (x)在区间(, b]上连续, 取a < b,
如果极限
b
lim f (x)dx
a a
存在, 则称此极限为函数
向是开口的，即这时的积
分区间为[1，+∞），
01
故b
1,则A的面积为
b 1
1 x2
dx
[
1 x
]1b
1 1 b
y
1 x2
bx
显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，
故b 时，即lim b
b 1
1 x2
dx
lim (1
b
1) b
1
则所求曲边梯形的面积为1
二、两类反常积分的定义.
定义1: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 取b > a,
a
b
a
( )
22
y
y
1
1 x2
obx
注:
为方便起见,
把
lim F
b
(x)ba
记作F
( x)a .
例2 : 计算无穷积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
解:
te ptdt lim b te ptdt
0
b 0
lim
b
t p
e pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
第十一章反常积分
11.1 反常积分概念 11.2 无穷积分的收敛性质与判别 11.3 瑕积分的性质与收敛判别
11.1 反常积分概念
一、 引例 二、两类反常积分的定义
一. 引入
例：
求曲线y
1 x2
, x轴及直线x 1，右边所围成的“开口
曲边梯形”的面积。
y
解：由于这个图形不是封闭的
曲边梯形,而在x轴的正方
a
0 a
否则,
就称反常积分 b a
f
(
x)dx
发散.
设函数 f (x)在区间[a, b]上除点c (a < c < b)
外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义
积分
c f (x)dx与 b f (x)dx
a
c
都收敛, 则定义
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
ap1 p1,
p 1 p 1
所以无穷积分
dx a xp
当p 1时收敛, 其值为 ap1 p1. 当p 1时发散.
练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.
(1)
e
1
x
dx
(2)
1
1 x4
dx
(3)
1
1 dx x
解：
(1)
1be x dx
e x
b 1
1 eb
lim (1
f (x)dx
0
都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数 f (x)在
区间(, +)上无穷积分.记作 f (x)dx ,即
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
0
0
b
lim f (x)dx lim f (x)dx (3)
a a
b 0
这时, 也称无穷积分 f (x)dx 收敛;
dx
(2)
0
e
x
dx
定义2: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的
右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
b
lim f (x)dx
0 a
存在,
则称此极限为无界函数 f (x)在(a, b]上的反常积分.
仍然记作 b f (x)dx,即
b
b
f (x)dx lim
f (x)dx
否则就称
无穷积分
f
(x)dx
发散.
例1：计算无穷积分
1
dx x
2
.
解：
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
lim a
01 a1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2
dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
b
xb0
lim arctan a lim arctan b