北师大版-数学-八年级上册-《立方根》典型例题
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《立方根》典型例题
例1 求下列各数的立方根:
(1)27,(2)-125,(3)0.064,(4)0,(5).343
8 解 (1)2733= ,∴27的立方根是3,记作.3273=
(2)125)5(3-=- ,∴-125的立方根是-5,记作.51253-=-
(3)064.04.03= ,∴0.064的立方根是0.4,记作4.0064.03=.
(4)003= ,∴0的立方根是0,记作.003=
(5)3438)72
(3= ,∴3438的立方根是72,记作.7
234383= 例2 求下列各式中的x :
(1)012583=+x (2)()343143
=-x ; (3)064252=-x ; (4)02713=+x .
分析:将方程整理转为求立方根或平方根的问题.
解答:(1)∵012583=+x ,∴12583-=x ,
即81253-=x ,∴38125-=x ,即2
5-=x ; (2)∵()343143=-x ,∴334314=-x ,即714=-x ,∴2=x ;
(3)∵064252=-x ,∴64252=x ,∴64
25±=x ,即85±=x ; (4)∵02713=+x ,∴2713
-=x ,∴3271-=x ,即31-=x . 说明:求解过程中注意立方根和平方根的区别,最终结果解的个数不同.
例3 圆柱形水池的深是1.4m ,要使这个水池能蓄水80吨(每立方米水有1吨),池的底面半径应当是多少米?(精确到0.1米).
分析 圆柱的体积h r V ⋅=2
π,由于蓄水80吨,每吨水的体积是1立方米,因此水池的体积至少应为80立方米.
解 4.1,80,2==⋅=h V h r V π,
∴3.4,4.114.3802≈⋅⋅=r r (米)(负值舍去).
答:水池底面半径为4.3米.
例4 阅读下面语句:
①1-的k 3次方(k 是整数)的立方根是1-.
②如果一个数的立方根等于它本身,那么这个数或者是1,或者是0.
③如果0≠a ,那么a 的立方根的符号与a 的符号相同.
④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数.
⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数.
在上面语句中,正确的有( )
A .1句
B .2句
C .3句
D .4句
分析:当1=k 时,3331)1(-=-k ,而当2=k 时,11)1()1(33633==-=-k ,可见①不正确;1)1(3-=-,这说明一个数的立方根等于它本身时,这个数有可能等于1-,所以②不正确;当0>a 时,3a 是正数,当0=,这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数,3001.0的情况与此相同;课本中写到:“如果0>a ,那么33a a -=-”,这个关系式对 0 解答 B 说明 考查立方根的定义及性质. 例5 设8 27- =x ,则2x ,3x ,32x 分别等于( ) A .8 9,23,827-- B .89,23,827- C .49,23,827- D .49,23,827-- 分析 64 729)827(2=-, ∵,64 729)827(2= ∴ 827)827(2=-. ∵ 8 27)2 3(2-=,∴233-=x . ∵647292=x ,64729)49(3=,∴4932=x . 解答 C 说明 考查平方根、立方根的求法. 例6 有下列命题:①负数没有立方根;②一个实数的立方根不是正数就是负数;③一个正数或负数的立方根和这个数同号,0的立方根是0;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数必是1和0. 其中错误的是 A .①②③ B .①②④ C .②③④ D .①③④ 分析 一个正数的立方根是一个正数,一个负数的立方根是一个负数;0的立方根是0.立方根等于本身的数有0,1和1-.所以①、②、④都是错的,只有③正确. 解答 B 说明 立方根性质与平方根性质既有联系又有区别,不能混淆. 例7 下列语句正确的是( ) A .64的立方根是2 B .-3是27的负立方根 C .216125的立方根是6 5± D .2)1(-的立方根是1- 分析 A 中64=8,它的立方根是2,对;B 中27只有一个正的立方根,没有负的立方根,错;C 中正数的立方根应只有一个,错;D 中2 )1(-=1,它的立方根是1,而不是1-. 解答 A 说明 注意立方根意义 例8 下列语句对不对?为什么? (1)0.027的立方根是0.3. (2)3a 不可能是负数. (3)如果a 是b 的立方根,那么0≥ab . (4)一个数的平方根与其立方根相同,则这个数是1. 分析 立方根的定义是解题的基础,一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立 方根.因为开立方与立方互为逆运算,我们知道正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是零.也就是说,一个数的立方根是惟一的,这是与平方根的最主要的区别.从这些出发考虑问题,上述题不难解答. 解答 (1)正确.因为027.0)3.0(3 =,所以0.027的立方根是0.3. (2)不正确.当a 是负数时,就有一个负的立方根,即3a 就是负数. (3)正确.如果b 是正数,它的立方根a 也是正数;如果b 是负数,它的立方根a 也是负数;如果b 是零,它的立方根是零,所以0≥ab . (4)不正确.一个正数的平方根均有两个,而立方根只有一个,通常不可能相等.而平方根只有一个的数是0,0的立方根也恰是零.因此一个数的平方根与立方根相同,这个数只能是零. 说明 立方根与平方根有相似之处,但也有区别,主要是:一个数的立方根是惟一的,而正数的平方根有两个,它们互为相反数,不注意这一点,往往容易出错. 例9 一种形状为正方体的玩具名为“魔方”,它是由三层完全相同的小正方体组成的,体积为216立方厘米,求组成它的每个小正方体的棱长. 分析 立方体的体积等于棱长的立方,所以这是一个求立方根的问题. 解答1:∵21663=,∴62163=,即这种玩具的棱长为6厘米,所以每个小正方体的棱长为236=÷(厘米) 解答2:设小正方体的棱长为a 厘米,则玩具的棱长为a 3厘米,由题意得 216)3(3 =a ,∴216273=a ,83=a ,2=a (厘米). 解答3:设小正方体的棱长为a 厘米.则玩具的棱长为a 3厘米,由题意得216)3(3=a ,∴621633==a ,∴2=a (厘米).