三角恒等变换知识总结

三角恒等变换知识点总结

2014/10/24

一、基本容串讲

1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±= 对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan ααα

=-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表

达形式，且要善于变形， 2

2cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝

⎭

()sin cos a x b x x ρ+=+.

4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

5.常用知识点：

（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,

tan cos ααααα

+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的围）；

（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；

（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =， 1212a b x x y y =+，12120a b x x y y ⊥⇔+=1221//0a b x y x y ⇔-=；

二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）

2、若tan 3α=，4tan 3β=

，则tan()αβ-等于（ ） 3、若3,4

παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)

(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=_______________. 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

5、cos 5

πcos 52π的值等于（ ） (提示:构造分子分母) 6、cos 20cos 40cos60cos80=（ ）

7、 已知322A ππ<<，且3cos 5

A =，那么sin 2A 等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

8、已知,41)4tan(,52)tan(=-=

+πββα则)4

tan(πα+的值等于（ ） 9、已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（） 10、函数22()cos ()sin ()11212f x x x π

π

=-++-是（ ）

（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数

（C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数

4、常见题型及解题技巧（另外总结）

（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.

其中

cos ϕϕ==）

如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值围是____________.

2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.

7．若2tan(

),45

π

α+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值

[例1] 1.00

00cos15sin15cos15sin15

-+；

2.00sin 50(1);

3. 求tan 70tan 503tan 70tan 50+-值;

4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ••=++

（三）三角函数给值求值问题 1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6

)的值是_____________; 2. 已知54cos(),cos ,,135

αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。 3.33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<

<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．

（四） 三角函数给值求角问题

1.若

且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 2.已知,(,)22

ππαβ∈-，且tan ,

tan αβ是方程240x ++=的两个根，求αβ+． 3.已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6 Ｂ．π4

Ｃ．π3 Ｄ．5π4

4.已知1tan 7α=,1tan 3

β=,并且,αβ均为锐角，求2αβ+的值. （五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等） 1.(2010·)已知函数2()2cos 2sin f x x x =+.

(1)求()3

f π

的值；(2)求()f x 的最大值和最小值． 2.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.

(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62

ππ-

上的最大值和最小值；（3）求函数在(,)ππ-的单调区间。

三、解题方法分析

1．熟悉三角函数公式，从公式的在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的在联系，做到真正的