高等数学 数列的极限

x 1 ,x 2 , ,x n , 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
例1
介绍几个数列
( 1 ){ 2 n } :2 ,4 ,8 , ,2 n ,
通:项 xn2n.
x1 x2 … xn …
••••• ••••••••••
x
0 2 4 … 2n …
1
(5 )
n n 1 :
1 ,2 ,3 , , n, 234 n 1
通项 : xnnn1.
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n
n
1
…
1
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xnf(n).
练习P36-5，6，7，8
三、数列极限的性质
1.有界性
定 义 : 对 数 列 xn, 若 存 在 正 数 M, 使 得 一 切 自 然 数 n, 恒 有 xnM成 立 , 则 称 数 列xn有 界 ,
否 则 , 称 为 无 界 .
例如, 数列 xnnn1;有界 数x 列 n2n.无界 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn都 落 在 闭 区 间 [M ,M ]上 .
1 1 , 10000
给定 0, 只要 nN([1 ]时 ) , 有 xn1成.立
预先任意给定一个正数 > 0, 不论它的值多么小,
0
当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始,
N0, 以后的所有项
当 nN 时 ,
都落在 U(1, ) 中.（在 U(1, ) 外面只有有限项）
若 0q1, xn0qn, nln qln ,
n ln , ln q
取N [ln], lnq
则n当 N 时 ,
就q有 n0, lim qn0. n
作为公式用
例5 (P36-6) 设xn0,且ln i m xna0, 求证 ln i mxn a.
证 任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,有
0,若 N0,使当 nN时,
| xn a|
成 ,则 立 a 为 称 { x n 数 } 数 当 n 列 时,的
记为 nl im xna, 或 x n a(n ).
此时, 也称数列{ xn } 是收敛的.
若{ xn }当 n 时没有极限, 则称{ xn }发散.
极限描述的是变量的变化趋势
1.3数列的极限
一、概念的引入 二、数列的定义
三、数列极限的性质
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 An
A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n ,S
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0, 0有xn
1 1 , 1000
给定 1 , 10000
只要 n100时 0, 0 有xn
xn C CC 0成立, 所以, ln i m xnC.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定0,寻找N,但不必要求最小的N.
例4
证 li明 q m n0 ,其 q 中 1 .
n
证 任给 0, 若q0, 则 liq m nli0 m 0 ; n n
二、数列的极限
由前面我当 们 n无 看 限 到 时 增 ,： 大
1 2n
0
1(1)n n
0
n
n
1
1
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
播放
问题: 当 n无限增大时, x n是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1 大 (1 n )n 时 1无限1 接 . 近
教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列 极限的性质，深刻理解x无限增大时函数极限的定义。
知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x无限增大 时函数极限的定义。
重点：两个定义及数列极限的性质
难点：x无限增大时函数极限的定义 教学方式：多媒体，讲授
教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的 定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限 增大”，“无限接近”这些直观的描述，再由数列极限 的定义推广到x无限增大时函数的极限.
x2n
–1
0
所有的偶数项
x 2 n 1 x
1
所有的奇数项
(4 ) 1 ( n 1 )n :0 ,1 ,0 ,1 2 ,0 ,1 3 , ,1 ( n 1 )n , 通项 xn ： 1(n 1)n.
x 2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M 所有奇数项
x2 x
Fra Baidu bibliotek 8
22
此 li时 sm 2 ik n ( ) li1 m 1 .
从而 xn 有 a
xna xna
xn
a a
1 a
故 ln im xna.
说明: -N语言的应用有以下两个方面:
1.-N语言证明 1 . 0
ln im xn a
2 .要使 | x n a | 成立 3 .推出 n ( ) (关键:技巧是适当地放大不等式)
4 .取 N [ ( )]
5 .再用 N 语言叙述证明 :
xn
1
n(1)n1
n
1
1 n
任给 0,
要 xn1,
只要1 n
,
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则n当 N 时 ,
就有 n(1)n11
n
即 lim n(1)n11. n n
例3
设 x n C ( C 为 )证 常 , l n ix n 明 m 数 C .
证 任给 0,对于一切自然数n,
而 n l x i 2 n 1 m n l 1 i 1 , m n l x i 2 n n l m ( i 1 ) m 1 ,
故lim (1)n1不存 . 在 n
例7 判{ 别 xn}{sinn 8 }的敛. 散性
解 利用函数的周期性, 在{ xn }中取两个子数列:
n > N 描述 n .
由 N 存在与否判断数列的极限是否存在.
一般地, 如果数列{xn} 当 n 时, xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 列{xn} 当 n 时以 a 为极限, 记为
nl im xna. 此时, 也称数列是收敛的.
数列极限的定义：
数列的项不一定取到 它的极限值.
|
xn1|
(1(1)n-1)1
n
lim1(1)n1 1:
n
n
0
其中,
0是描述点 xn 与点 0 无限接近的
度量标准, 它是预先任意给定的, 与{xn}的 极限存在与否无关.
N0,
N是否 , 取 存决 在{于 xn}本 数 . 身 列
数列 ,则 有 N 存 极 ;数 在 限 列 ,则 无 N 极
当 nN 时 , 不存在.
常 由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .
数
3. 唯一性定理的推论
nl im xna
充分必要条件
何 谓
子 数列
？
{ x n } 的任何一个子数列都收敛,
且均以 a 为极限 .
子数列的概念
在数列 {xn}: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各 项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷 多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数 列, 记为 {xnk }.
(1)令 n8k,kN,得子数列：
{ sn i} n {k s } :s in i ,s n 2 i, n ,sk i, n 8
由 s k i 0 ,k 于 n N , 所 ls i k m i 以 ln 0 i 0 . m
n n
(2)令 n1k6 4, k N , 得子数列： { sn i} n { sk i n ) } :( s5 2 i , n , s2 k i n ) ( ,
定理1 收敛的数列必定有界.
证 设 ln i m xna, 由定义, 取1,
则 N ,使 n 得 N 时 当 x n 恒 a 1 ,不有 真该, 定即理有的界逆数命列题不
即 a 1 有 x n a 1 .
一定收敛. 例如, { (－1) n }.
记 M m x 1 , , x N , a a 1 , a x 1 }{ ,
于 , 是 0 ,
N 1 0 , 当 n N 1 时 , | x n a | ;
N 2 0 , 当 n N 2 时 , | x n b | ;
任 意 性
取 N m N 1 ,N a 2 } 则 x ,n N { 时 , 当 | a b | | a x n x n b | | x n a | | x n b | 2
则对一切 n,皆 自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
注意：有界性是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.
推论 无界数列必定发散.
2.唯一性
定理2 若数列{ xn }收敛, 则其极限值必唯一.
证 运用反证法
设数列{ xn }收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：
n l i x n m a ,n l i x n m b ,a b .
1+ (1)N-11
n
如N 果 存,在 则其不 , 所唯 有一 N大
的正整数均可 N. 并 取且 作 N与 为 有关 ,
可 N 记 N ()一 ,为,般 值 , 说 则 越
N的值越. 大
不等式
(1 (1)n1) 1 称为目标不等式.
n
通过目标不等式来寻找 N > 0 , N = N().
对 0， 取 N [ ( )], 当 n N 时 ,
有 | xn a | 成立 ,
lim
n
xn
a.
练习P36-3及作业 的填空题（练Ｎ的 选取）
2.用“-N”语言, 由一个已知极限存 在的数列, 证明另一个数列的极限.
方法: 对已知极限存在的数列应用“-N”语言,
再从中变形成所要证明的数列极限的“-N” 语言形式.(如例4)
唯一性定理的推论往往用来证明或判断 数列极限不存在．
例6
解
求lim (1)n1. n xn(1)n1,
{ x n } :1 , 1 ,1 , 1 , ,( 1 ) n 1 , . 取子数列：
{ x 2 n 1 } :1 1 1 , ,( , 1 ) ( n 1 2 ) 1 , { x 2 n } : 1 1 , 1 ,,( , 1 ) 2 n 1 ,
注意：
1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定有 的关 正 . 数
N定义 : ln i x m n a 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n 有 a .
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或存 . 在
几何解释:
a 2 a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn 121n
1
二、数列的定义
1. 定义
数列也称为序列
设f(n)是以正整 Z＋为 数定 集义域. 的函
将 f 的 f ( Z ) 值 { x n |x n f ( n 域 ) ,n N } 中的元 xn, 按 素自变 n增量 大的次序排列 得到的一串数：
当 nN 时 ,所有 xn 都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 )只 落 个有 在 . 其外
因此：数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关， 改变数列的前有限项，不改变其收敛性和极限
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例2
证l明 im n(1)n11. n n
证
(2) 2 1 n : 1 2,1 4,8 1,,2 1 n, 通项 : xn21n.
… xn … x3
x2
••••• •••••
1
1
01
2n
8
4
2
1
x1 x
( 3 ) { ( 1 ) n 1 } : 1 , 1 , 1 , 1 , , ( 1 ) n 1 , 通 : x 项 n ( 1 )n 1 .