3-3泰勒公式98788
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x0 1.
解 fx f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 )
f2 (! x 0 )(x x 0 )2 f3 (! x 0 )(x x 0 )3 R 3 (x ).
Rn(x)f(n (n 1)1()!)(xx0)n1.
f(x)x33x22x4.三次多项式
0
R3(x)f(44)!()(xx0)4 0 .
f(x )P nx R n (x )
称为按 (xx0)的幂展开的n阶泰勒公式.
其 中 P n f((x x )0 ) kn f0(fx (0 k ) k )( (!x x 0)x (0 x ) x f0 2 )( k ! x 0 )(x x 0 )2
f(nn)(!x0)(xx0)n
称为按(xx0)的幂展开的n次近似多项式.
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
cx o 1 sx 2 x 4 x 6 ( 1 )nx 2 n o (x 2 n )
2 ! 4 ! 6 !
(2 n )!
1 1 x x 2 x n o (x n )
(1 1 x x)m1m xm (m 1)x2
2!
m (m 1 ) (m n1 )xno(xn)
o( x2n)
yx
y
x
x3 3!
x5 5!
ysinx
6
4
2
0
2
4
6
2
4
泰勒多项式逼近函数s in x
s i n x x 3 1 ! x 3 5 1 ! x 5 7 1 ! x 7 9 1 ! x 9 ( ( 2 n 1 ) n 1 ) 1 ! x 2 n 1
y
x
x3 3!
x5 5!
选做：9.
合作愉快
例2 求 f( x ) e x 的 n 阶 麦 克 劳 林 公 式 .
解 f ( x ) f ( x ) f ( n ) ( x ) e x ,
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n ) ( 0 ) 1
注意到
an(x)
f (n)(0) xn, n!
泰麦勒克公劳式林:(Maclaurin)公式
f(x ) f(x 0 0 ) f(x 0 0 ) (x 0x 0 ) f2(!x0 0)(x0x0)2 f(nn)(!x0 0)(xx0 0)n
fn(n1)1((!x)) (xx0 0)n1
令令x0 0,则f( x ) f( 0 ) f( 0 ) x
f (x)
f
( x 0 ) f(x0)(xx0)
f
(
2!
)
(x
x0
)2
可见 f ( x) f ( x 0 ) f(x0)(xx0)(在 x0与 x之 间 )
余项 R 1xf2 (!)(xx0)2o (x 在 x x 0 0 与 x之 d 间 f )
例1 将 f(x)x33x22x4
展开为 x 1 的多项式. 分析: xx0 x1 x(1),
当 x 0 0 时为麦克劳林公式 :
f(x ) f(0 ) f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n f(n 1 )(x )x n 1
2 !
n ! (n 1 )!
(0 1)
2. 常用函数的麦克劳林公式
ex1xx2 xnex xn 1 ，
2! n ! (n1)!
sx i n x x 3 x 5 ( 1 )nx 2 n 1 o (x 2 n 2 )
f(n1)(x)ex
代入公式,得
ex1xx2
xn ex
xn 1 ，
2! n ! (n1)!
(01).
ex1xx2
xn ex
xn 1 ，
2! n ! (n1)!
由公式可知 ex1xx2 xn
估计误差 (设x0) 2!
n!
R n(x)(n e x 1)!xn 1(n e x 1)!xn 1(01).
o(x3),
sin x x c o 3s !x x x 3 o (x 3 ) x 2 !x 3 o (x 3 ),
x3
3 ! o( x3 ).
2 !
3
sinxxcosxx3o(x3). 3!
sin3x~x3(x 0),
sinxxcosx
lim x0
sin3 x
lim
x0
x3 3
o( x3) x3
称为带皮亚诺型余项的泰勒公式.
特f例(x)P nxfn (n 1)1 (!)(x( x 在 0)x n 0 与 1x之 间 )
(1)当n0时,泰勒公式变成Lagrange公式: f ( x ) f ( x 0 ) f ( ) ( x x 0 )( 在 x 0 与 x 之 间 )
(2)当n = 1时, 泰勒公式变为
f(x )P nx R n (x ) n阶泰勒公式
n次泰勒多项式 余项
an ?
设 P n(x)a0a 1(xx0)a2(xx0)2
求an ?
an(xx0)n
(1 )
假设 P n ( k ) ( x 0 ) f ( k ) ( x 0 ) , k 0 , 1 , 2 ,n ( 2 )
对(1)求各阶导数,再分别将(2)式代入,得 P n ( x a ) 0 ,f af( n( x x 0 ) 0 n) 1,!a f 1 f( (nx )0 (f) x( (0x x ) 0)x ,a 0 ) 2 f 2 1 ! 2 ( ! x f0 ) (( x x 0 ),x 0 ) 2
f(x)x33x22x4,f (1) 4,
f(x)3x26x2, f(1)1,
f(x)6x6,
f(1)0,
f(x)6,
f(x)6,
故得 f(x)4( 1 )(x1 )
f(x ) f(x 0 ) f 0( (x x20 ) !( 1x )2 x 60 ()x3!1)3 f2 (! x 0 )(x x 0 ) 2 4 f(3 ( x ! x 0 )1 ()x (x x 0 ) 3 1)R 33 .(x ).
于是， 当 x很 小 时 ， 有 近 似 公 式 ：
ex1x y
ln 1 (x)x
y
y e x y1x
yx
yln(1x)
o
x
o
x
不足: 1、近似公式精确度不高；
2、误差不能估计.
不足: 1、近似公式精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 如何寻求更好的近似函数Px;
且 误 差 R ( x ) f ( x ) P ( x ) 要 可 以 估 计 ?
x7 7!
x9
x11
9! 11!
4
2
y
x
x3 3!
x5 5!Biblioteka Baidu
x 7
x9
7! 9!
o( x2n )
ysinx
6
4
2
0
2
4
6
2
4
2.利用泰勒公式求极限
例4 利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林
公式，求极限 lim sin xxcoxs.
x0
si3nx
解 由三阶麦克劳林公式，得
x3 sixnx
o(x3),xcosxxx3
2!
9!
例3 写 出 sinx 的 麦 克 劳 林 公 式 .
解 f(k)(x)sin(xk )
2
f (k)(0)sink
2
0,
(1)m
1
,
k2m(m1,2, k2m1
)
sin x x
x3
x5
x2m1
(1)m1
3! 5!
(2m1)!
其中R2m(x)Rs2(m(1i()x2mn )mcx os (1()2 !xm 2)1
R n (x )f n (n 1 )1 (!)(x x 0)n 1(在 x 0 与 x 之 间 )
称为拉格朗日形式的余项. 注 意 到 R n (x ) o [(x x 0 )n ]
称为皮亚诺形式的余项
在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式 可写为
f(x)kn 0f(k k )(!x0)(xx0)ko [(xx0)n]
取 x1, e111 1
其误差
Rn 1
2!e
(n 1)!
n!3 . (n 1)!
e11 1 1 2! n!
其误差
Rn
1
e (n 1)!
(n
3. 1)!
要 使 误 差 106， 即
3
R n (1 ) ( n 1 ) ! 106
由计算可知当 n = 9 时上式成立, 因此
e11 1 1 2.718281
n !
3.泰勒公式的应用
（1）近似计算（函数逼近） f( x ) f( x 0 ) f( x 0 ) ( x x 0 ) f2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2
f(nn)(!x0)(xx0)n
（2）利用泰勒公式求极限
n
f(x)
f(k)(0)xko(xn)
k1 k!
课后作业：
习题3-3 2， 3， 4，6, 10. 阅读《学习指导书》第三章的例7和例8.
f( x ) f( 0 ) f f (nn( )0 !(0) )x x n f(nn1)(1x! ) xn1
三、简单应用
麦克劳林(Maclaurin)公式
f(x ) f(0 ) f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n f(n 1 )(x )x n 1
2 !
n ! (n 1 )!
)x 2
m
1
o( x 2m
(0
)
1)
s in x 的泰勒多项式逼近
s i n x x 3 1 ! x 3 5 1 ! x 5 7 1 ! x 7 9 1 ! x 9 ( ( 2 n 1 ) n 1 ) 1 ! x 2 n 1
yxx33!
x5 5!
x7 7!
y x
x3 3!
4
2
1.近似公式
(0 1)
f ( x) f ( 0 ) f (0)x f ( 0 ) x 2 f ( n ) (0 ) x n
若则f在有(x)公误式f差f(n(n)成x估(!0x)0立计 )(fx的式(x 区x0 0))间nx ( R 上nfx ((0 (nxn) 2)1!f)1()(fn!)2(((1(nx!)x(0M )x在 (x1)x0x ))0 !nx与 10M x)x n2n之 ,! 1 )间
P(x)为多项式函数？
设 P n(x)a0a 1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n
误 差 R n (x ) f(x ) P n (x ) .
二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 x 0 的某个开区间 (a,b)内具有直到 (n1)阶 的导数,则当x在 (a,b)内时 f (x)可以表示为
x3
lim[
x0
3 x3
o( x3 ) x3 ]
1 3
.
小结
1. 泰勒公式
其f中( x余 ) 项 fR (nx(f0x())nn) (!xff(0n()n(( x 1x)10 ())(!)xx (0x) n(xRx0 在0n))(n xx )10 f与o2((x!x (0x之)(x间x0x)0)n))2
f(nn)(!x0)(xx0)n
n阶泰勒公式 f(x )P nx R n (x )
n次泰勒多项式:
P n ( x ) f( x 0 ) f( x 0 ) ( x x 0 ) f 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2
余项:
f(nn)(!x0)(xx0)n
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1(在 x0与 x之 间 )
解 fx f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 )
f2 (! x 0 )(x x 0 )2 f3 (! x 0 )(x x 0 )3 R 3 (x ).
Rn(x)f(n (n 1)1()!)(xx0)n1.
f(x)x33x22x4.三次多项式
0
R3(x)f(44)!()(xx0)4 0 .
f(x )P nx R n (x )
称为按 (xx0)的幂展开的n阶泰勒公式.
其 中 P n f((x x )0 ) kn f0(fx (0 k ) k )( (!x x 0)x (0 x ) x f0 2 )( k ! x 0 )(x x 0 )2
f(nn)(!x0)(xx0)n
称为按(xx0)的幂展开的n次近似多项式.
3 ! 5 !
(2 n 1 )!
cx o 1 sx 2 x 4 x 6 ( 1 )nx 2 n o (x 2 n )
2 ! 4 ! 6 !
(2 n )!
1 1 x x 2 x n o (x n )
(1 1 x x)m1m xm (m 1)x2
2!
m (m 1 ) (m n1 )xno(xn)
o( x2n)
yx
y
x
x3 3!
x5 5!
ysinx
6
4
2
0
2
4
6
2
4
泰勒多项式逼近函数s in x
s i n x x 3 1 ! x 3 5 1 ! x 5 7 1 ! x 7 9 1 ! x 9 ( ( 2 n 1 ) n 1 ) 1 ! x 2 n 1
y
x
x3 3!
x5 5!
选做：9.
合作愉快
例2 求 f( x ) e x 的 n 阶 麦 克 劳 林 公 式 .
解 f ( x ) f ( x ) f ( n ) ( x ) e x ,
f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( n ) ( 0 ) 1
注意到
an(x)
f (n)(0) xn, n!
泰麦勒克公劳式林:(Maclaurin)公式
f(x ) f(x 0 0 ) f(x 0 0 ) (x 0x 0 ) f2(!x0 0)(x0x0)2 f(nn)(!x0 0)(xx0 0)n
fn(n1)1((!x)) (xx0 0)n1
令令x0 0,则f( x ) f( 0 ) f( 0 ) x
f (x)
f
( x 0 ) f(x0)(xx0)
f
(
2!
)
(x
x0
)2
可见 f ( x) f ( x 0 ) f(x0)(xx0)(在 x0与 x之 间 )
余项 R 1xf2 (!)(xx0)2o (x 在 x x 0 0 与 x之 d 间 f )
例1 将 f(x)x33x22x4
展开为 x 1 的多项式. 分析: xx0 x1 x(1),
当 x 0 0 时为麦克劳林公式 :
f(x ) f(0 ) f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n f(n 1 )(x )x n 1
2 !
n ! (n 1 )!
(0 1)
2. 常用函数的麦克劳林公式
ex1xx2 xnex xn 1 ，
2! n ! (n1)!
sx i n x x 3 x 5 ( 1 )nx 2 n 1 o (x 2 n 2 )
f(n1)(x)ex
代入公式,得
ex1xx2
xn ex
xn 1 ，
2! n ! (n1)!
(01).
ex1xx2
xn ex
xn 1 ，
2! n ! (n1)!
由公式可知 ex1xx2 xn
估计误差 (设x0) 2!
n!
R n(x)(n e x 1)!xn 1(n e x 1)!xn 1(01).
o(x3),
sin x x c o 3s !x x x 3 o (x 3 ) x 2 !x 3 o (x 3 ),
x3
3 ! o( x3 ).
2 !
3
sinxxcosxx3o(x3). 3!
sin3x~x3(x 0),
sinxxcosx
lim x0
sin3 x
lim
x0
x3 3
o( x3) x3
称为带皮亚诺型余项的泰勒公式.
特f例(x)P nxfn (n 1)1 (!)(x( x 在 0)x n 0 与 1x之 间 )
(1)当n0时,泰勒公式变成Lagrange公式: f ( x ) f ( x 0 ) f ( ) ( x x 0 )( 在 x 0 与 x 之 间 )
(2)当n = 1时, 泰勒公式变为
f(x )P nx R n (x ) n阶泰勒公式
n次泰勒多项式 余项
an ?
设 P n(x)a0a 1(xx0)a2(xx0)2
求an ?
an(xx0)n
(1 )
假设 P n ( k ) ( x 0 ) f ( k ) ( x 0 ) , k 0 , 1 , 2 ,n ( 2 )
对(1)求各阶导数,再分别将(2)式代入,得 P n ( x a ) 0 ,f af( n( x x 0 ) 0 n) 1,!a f 1 f( (nx )0 (f) x( (0x x ) 0)x ,a 0 ) 2 f 2 1 ! 2 ( ! x f0 ) (( x x 0 ),x 0 ) 2
f(x)x33x22x4,f (1) 4,
f(x)3x26x2, f(1)1,
f(x)6x6,
f(1)0,
f(x)6,
f(x)6,
故得 f(x)4( 1 )(x1 )
f(x ) f(x 0 ) f 0( (x x20 ) !( 1x )2 x 60 ()x3!1)3 f2 (! x 0 )(x x 0 ) 2 4 f(3 ( x ! x 0 )1 ()x (x x 0 ) 3 1)R 33 .(x ).
于是， 当 x很 小 时 ， 有 近 似 公 式 ：
ex1x y
ln 1 (x)x
y
y e x y1x
yx
yln(1x)
o
x
o
x
不足: 1、近似公式精确度不高；
2、误差不能估计.
不足: 1、近似公式精确度不高； 2、误差不能估计.
问题: 如何寻求更好的近似函数Px;
且 误 差 R ( x ) f ( x ) P ( x ) 要 可 以 估 计 ?
x7 7!
x9
x11
9! 11!
4
2
y
x
x3 3!
x5 5!Biblioteka Baidu
x 7
x9
7! 9!
o( x2n )
ysinx
6
4
2
0
2
4
6
2
4
2.利用泰勒公式求极限
例4 利用带有皮亚诺型余项的麦克劳林
公式，求极限 lim sin xxcoxs.
x0
si3nx
解 由三阶麦克劳林公式，得
x3 sixnx
o(x3),xcosxxx3
2!
9!
例3 写 出 sinx 的 麦 克 劳 林 公 式 .
解 f(k)(x)sin(xk )
2
f (k)(0)sink
2
0,
(1)m
1
,
k2m(m1,2, k2m1
)
sin x x
x3
x5
x2m1
(1)m1
3! 5!
(2m1)!
其中R2m(x)Rs2(m(1i()x2mn )mcx os (1()2 !xm 2)1
R n (x )f n (n 1 )1 (!)(x x 0)n 1(在 x 0 与 x 之 间 )
称为拉格朗日形式的余项. 注 意 到 R n (x ) o [(x x 0 )n ]
称为皮亚诺形式的余项
在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式 可写为
f(x)kn 0f(k k )(!x0)(xx0)ko [(xx0)n]
取 x1, e111 1
其误差
Rn 1
2!e
(n 1)!
n!3 . (n 1)!
e11 1 1 2! n!
其误差
Rn
1
e (n 1)!
(n
3. 1)!
要 使 误 差 106， 即
3
R n (1 ) ( n 1 ) ! 106
由计算可知当 n = 9 时上式成立, 因此
e11 1 1 2.718281
n !
3.泰勒公式的应用
（1）近似计算（函数逼近） f( x ) f( x 0 ) f( x 0 ) ( x x 0 ) f2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2
f(nn)(!x0)(xx0)n
（2）利用泰勒公式求极限
n
f(x)
f(k)(0)xko(xn)
k1 k!
课后作业：
习题3-3 2， 3， 4，6, 10. 阅读《学习指导书》第三章的例7和例8.
f( x ) f( 0 ) f f (nn( )0 !(0) )x x n f(nn1)(1x! ) xn1
三、简单应用
麦克劳林(Maclaurin)公式
f(x ) f(0 ) f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n f(n 1 )(x )x n 1
2 !
n ! (n 1 )!
)x 2
m
1
o( x 2m
(0
)
1)
s in x 的泰勒多项式逼近
s i n x x 3 1 ! x 3 5 1 ! x 5 7 1 ! x 7 9 1 ! x 9 ( ( 2 n 1 ) n 1 ) 1 ! x 2 n 1
yxx33!
x5 5!
x7 7!
y x
x3 3!
4
2
1.近似公式
(0 1)
f ( x) f ( 0 ) f (0)x f ( 0 ) x 2 f ( n ) (0 ) x n
若则f在有(x)公误式f差f(n(n)成x估(!0x)0立计 )(fx的式(x 区x0 0))间nx ( R 上nfx ((0 (nxn) 2)1!f)1()(fn!)2(((1(nx!)x(0M )x在 (x1)x0x ))0 !nx与 10M x)x n2n之 ,! 1 )间
P(x)为多项式函数？
设 P n(x)a0a 1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n
误 差 R n (x ) f(x ) P n (x ) .
二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 x 0 的某个开区间 (a,b)内具有直到 (n1)阶 的导数,则当x在 (a,b)内时 f (x)可以表示为
x3
lim[
x0
3 x3
o( x3 ) x3 ]
1 3
.
小结
1. 泰勒公式
其f中( x余 ) 项 fR (nx(f0x())nn) (!xff(0n()n(( x 1x)10 ())(!)xx (0x) n(xRx0 在0n))(n xx )10 f与o2((x!x (0x之)(x间x0x)0)n))2
f(nn)(!x0)(xx0)n
n阶泰勒公式 f(x )P nx R n (x )
n次泰勒多项式:
P n ( x ) f( x 0 ) f( x 0 ) ( x x 0 ) f 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2
余项:
f(nn)(!x0)(xx0)n
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1(在 x0与 x之 间 )