双线性变换法
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8
5.3 脉冲响应不变法
Preserve the shape of the impulse response
The digital filter impulse response looks “similar” to that of
an analog filter
数字滤波 器H(z)的 单位脉冲 响应
i 1 N
Ai s si
1 st H a (s) 1 Ae i
i
1. 从Ha(s)到ha(t) 2. 从ha(t)到h(n) 3. 从h(n)到H(z)
ha (t ) LS t H a (s) LS LS
1 N
N
i 1
si nT h(n) ha (nT ) Ae i i 1
Ai 求得 H ( z ) siT 1 1 e z i 1
N
Ha(s)极点与H(z) 极点的映射关系
条件: 模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式 的阶次高于分子多项式的阶次 注意: 对于同样Ha(s)，采样时间T不同，H(z)不同
11
例5.3.1 ：已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为
13
脉冲响应不变法的s—z映射关系：
Ai H a ( s) i 1 s si
N
的极点si
Ai siT H ( z) 的极点 e siT 1 1 e z i 1
Aspects Shape of the impulse response Shape of step response
System function representation
Transformations Impulse invariance * Step invariance
Bilinear *
0.5012 H a ( s) 2 s 0.6449 s 0.7079
用脉冲响应不变法将 Ha(s) 转换成数字滤波器的系 统函数H(z)。
解 首先将Ha(s)写成部分分式：
H a ( s)
极点为
j 0.3224 j 0.3224 s 0.3224 j 0.7772 s 0.3224 j 0.7772
7
Goal:
Analog to Digital/ S to Z
Design digital filter H(z) for a given analog filter Ha(s) General Principle:
Preserve certain “aspects” of analog and digital filters
H a ( j)
2
1 1 ( )2 N c
Chebyshev：
H a ( j )
2
1
2 1 2C N (
) p
Elliptic：
H a ( j )
2
1
2 1 2U N (
) p
它们的特点是什么？如何确定它们的参数？
4
Using Matlab
Butterworth： buttap, buttord, butter
h(n) ha (t ) |t nT ha (nT )
模拟滤波 器Ha(s)的 单位冲击 响应
采样时间
•h(n)在采样点上等于ha(t) •脉冲响应不变法是一种时域逼近方法
9
Goal: 已知Ha(s)，寻找H(z)，使得h(n) = ha(nT)
How to solve it?
H a ( s)
数字信号处理
by Zaiyue Yang CSE, ZJU, 2016
1
第5章 数字滤波器的设计
5.1 数字滤波器的基本概念
5.2 模拟滤波器的设计
5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
5.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
2
上一堂课学了些什么？
Specifications Butterworth, Chebyshev, Ellipse, Bessel, etc. LP to HP, BP, BS 脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 双线性变换法
Desired IIR
3
How to design analog lowpass filters
Butterworth：
Chebyshev： cheb1ap, cheb1ord, cheby1, cheb2ap, cheb2ord, cheby2
Elliptic： ellipap, ellipord, ellip
5
How to transform LP to HP/BP/BS
Frequency band transformations: • LP to HP: • LP to BP: • LP to BS:
s1 (0.3224 j0.772), s2 (0.3224 j 0.7772)
那么H(z)的极点为
12
z1 e , z2 e
s1T
s2T
经过整理，得到： 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则
0.3276 z 1 H1 ( z ) 1 1.0328 z 1 0.247 z 2 0.0485 z 1 H 2 ( z) 1 1.9307 z 1 0.9375 z 2
H ( z ) h( n) z
n 0
n
Ai e si nT z n
n 0 i 1
N
百度文库
Ai e
i 1 n 0
N
si nT
z
n
Ai siT 1 i 1 1 e z
N
10
结论: N Ai 已知 H a ( s) i 1 s si
' ph
2 0 2 ' Bw
'
Bw 2 0 2
6
Using Matlab
• 仍然调用设计模拟低通滤波器的函数 • 注意通带和阻带的截止频率 • LP: Ωp < Ωs • HP: Ωs < Ωp • BP: Ωsl < Ωpl < Ωpu < Ωsu • BS: Ωpl < Ωsl < Ωsu < Ωpu • 注意加’high’、’stop’
5.3 脉冲响应不变法
Preserve the shape of the impulse response
The digital filter impulse response looks “similar” to that of
an analog filter
数字滤波 器H(z)的 单位脉冲 响应
i 1 N
Ai s si
1 st H a (s) 1 Ae i
i
1. 从Ha(s)到ha(t) 2. 从ha(t)到h(n) 3. 从h(n)到H(z)
ha (t ) LS t H a (s) LS LS
1 N
N
i 1
si nT h(n) ha (nT ) Ae i i 1
Ai 求得 H ( z ) siT 1 1 e z i 1
N
Ha(s)极点与H(z) 极点的映射关系
条件: 模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式 的阶次高于分子多项式的阶次 注意: 对于同样Ha(s)，采样时间T不同，H(z)不同
11
例5.3.1 ：已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为
13
脉冲响应不变法的s—z映射关系：
Ai H a ( s) i 1 s si
N
的极点si
Ai siT H ( z) 的极点 e siT 1 1 e z i 1
Aspects Shape of the impulse response Shape of step response
System function representation
Transformations Impulse invariance * Step invariance
Bilinear *
0.5012 H a ( s) 2 s 0.6449 s 0.7079
用脉冲响应不变法将 Ha(s) 转换成数字滤波器的系 统函数H(z)。
解 首先将Ha(s)写成部分分式：
H a ( s)
极点为
j 0.3224 j 0.3224 s 0.3224 j 0.7772 s 0.3224 j 0.7772
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Goal:
Analog to Digital/ S to Z
Design digital filter H(z) for a given analog filter Ha(s) General Principle:
Preserve certain “aspects” of analog and digital filters
H a ( j)
2
1 1 ( )2 N c
Chebyshev：
H a ( j )
2
1
2 1 2C N (
) p
Elliptic：
H a ( j )
2
1
2 1 2U N (
) p
它们的特点是什么？如何确定它们的参数？
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Using Matlab
Butterworth： buttap, buttord, butter
h(n) ha (t ) |t nT ha (nT )
模拟滤波 器Ha(s)的 单位冲击 响应
采样时间
•h(n)在采样点上等于ha(t) •脉冲响应不变法是一种时域逼近方法
9
Goal: 已知Ha(s)，寻找H(z)，使得h(n) = ha(nT)
How to solve it?
H a ( s)
数字信号处理
by Zaiyue Yang CSE, ZJU, 2016
1
第5章 数字滤波器的设计
5.1 数字滤波器的基本概念
5.2 模拟滤波器的设计
5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
5.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
2
上一堂课学了些什么？
Specifications Butterworth, Chebyshev, Ellipse, Bessel, etc. LP to HP, BP, BS 脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 双线性变换法
Desired IIR
3
How to design analog lowpass filters
Butterworth：
Chebyshev： cheb1ap, cheb1ord, cheby1, cheb2ap, cheb2ord, cheby2
Elliptic： ellipap, ellipord, ellip
5
How to transform LP to HP/BP/BS
Frequency band transformations: • LP to HP: • LP to BP: • LP to BS:
s1 (0.3224 j0.772), s2 (0.3224 j 0.7772)
那么H(z)的极点为
12
z1 e , z2 e
s1T
s2T
经过整理，得到： 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则
0.3276 z 1 H1 ( z ) 1 1.0328 z 1 0.247 z 2 0.0485 z 1 H 2 ( z) 1 1.9307 z 1 0.9375 z 2
H ( z ) h( n) z
n 0
n
Ai e si nT z n
n 0 i 1
N
百度文库
Ai e
i 1 n 0
N
si nT
z
n
Ai siT 1 i 1 1 e z
N
10
结论: N Ai 已知 H a ( s) i 1 s si
' ph
2 0 2 ' Bw
'
Bw 2 0 2
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Using Matlab
• 仍然调用设计模拟低通滤波器的函数 • 注意通带和阻带的截止频率 • LP: Ωp < Ωs • HP: Ωs < Ωp • BP: Ωsl < Ωpl < Ωpu < Ωsu • BS: Ωpl < Ωsl < Ωsu < Ωpu • 注意加’high’、’stop’