有理函数及三角函数有理式的积分

§ 有理函数及三角函数有理式的积分

教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。

重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用

难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用

教学过程：

一、问题的提出

前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如，

⎰⎰⎰⎰+-31,,ln ,sin 2x dx dx e x dx dx x x x ，

被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。

求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”

“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全

平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。

求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧

用上述方法和综合运用上述方法。

二、 有理函数的积分

有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即

=)(x R m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++=----11101110)

()( 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，通常总假定分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b .

当m n <时，称)(x R 为真分式；而当m n ≥时，称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如

111122234-++++=-+x x x x x x x .

多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，而真分式的积分往往是转化为最简分式来计算．鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.

在实数范围内，真分式)()

(x Q x P 总可以分解成最简分式之和，且具有这样的对应关系：

①???????? 如果)(x Q 中有因式k

a x )(-，那么分解后相应有下列k 个最简分式之和

)()()(121a x A a x A a x A k k k -++-+-- ， 其中1A 、2A 、…、k A 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项a x A

-；

②???????? 如果)(x Q 中有因式k q px x )(2++（042<-q p ），那么分解

后相应有下列k 个最简分式之和

q px x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-21222211)()( ，

其中i M 、i N 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项q px x N

Mx +++2.

有理真分式总能分解为若干个部分分式之和的形式（部分分式是指这样一种简单分式，其分母为一次因式或二次质因式）。从而得到，有理真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式的积分：

（1）;dx a x A ⎰

- （2）dx a x A n ⎰-)( （2）)04(22<-+++⎰

q p dx q px x N Mx （3）⎰<-+++为常数、、其中系数N M A q p dx q px x N Mx n ),04()(22

综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。 由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分dx x Q x P m n ⎰

)

()(的步骤书为： 第一步 将)(x Q m 分解为（2）的形式；

第二步 将)()(x Q x P m n 分解为（3）的形式； 第三步 求各部分分式的原函数。

下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤．

例1 把2)1(1

-x x 分解为最简分式之和.

解：根据真分式的性质可设

2)1(1-x x =)1()1(2-+-+x C x B x A

上式两端去分母后，得

)1()

1()1(12-++-=x Cx Bx x A

或

)2()2()(12A

x C B A x C A +-+-++=

因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有 ⎪⎩⎪⎨⎧==-+-=+10

20A C B A C A

从而解得1=A ，1=B ，1-=C . 于是得2)1(1-x x =

)1(1)1(112---+x x x . 注：此题定A 、B 、C 还有另法： 在恒等式⑴中，代入适当的x 值，即可求出待定的常数.

在式⑴中

令1=x ，得1=B ；

令0=x ，得1=A ；

再令2=x ，得1-=C .

于是得

2)1(1-x x =)1(1)1(112---+x x x .

例2 把653

2+-+x x x 分解为最简分式之和．

解：因为)3)(2(652--=+-x x x x 所以，令6532+-+x x x 32-+-=x B x A ，其中A 、B 为待定常数．

上式两端去分母后，得

)3()

2()3(3-+-=+x B x A x 或

)4()23()(3B A x B A x +-+=+ 比较两端系数有

⎩⎨⎧=+-=+3)3(1B A B A

从而解得 5-=A ，6=B .所以

6532+-+x x x 3625-+--=x x

注：此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数．

例3 把

)22)(2(22

+++x x x x 分解为最简分式之和． 解：因为分母中222++x x 为二次质因式，故应分解为 )22)(2(22+++x x x x ++=2x A 222+++x x C Bx

两端去分母得