习题课第2、3章 静电场中的导体和电介质

第2、3章 静电场中的导体和电介质（习题课） 一、 本章内容提要

要求：理解和掌握各种物理量（概念）的定义和物理含义，

掌握各种物理定理（律）的成立条件和基本的运用方法。

1.导体—“微观带电结构”—自由电子q 0

2.导体静电平衡条件和性质

0=内E ，表面表⊥E

，

等势体、等势面，净电荷分布在导体表面上。 3.有导体存在时电场和电势分布的计算 （A ）电场的基本规律（第1章） （B ）导体静电平衡条件和性质 （C ）电荷守恒定律

处理“三种对称性”情况，可得到解析表达式。 4.用电场线概念讨论导体的静电平衡问题 5.有导体时静电场的唯一性定理和电像法

电场空间V ，由若干边界面S i 包围而成， 每个S i 都是导体表面（或S ∞）， 若给定每个导体的：a ）电势U i ，或者b) 总电量Q i ， 则空间V 内的电场E 唯一确定。

电像法处理“点电荷与导体板”和“点电荷与导体球”问题。

6.导体空腔内外的电场与静电屏蔽

腔内电场：由腔内带电体q 1和S 内（-q 1）唯一决定。 腔外电场：由腔外带电体q 3和S 外（q 2=q 0+q 1+q 感-q 感）唯一决定。

接地导体空腔可隔绝空腔内外电场之间的相互影响。 7.电介质—“分子等效电偶极子”—束缚电荷q s 8.电介质的极化

位移极化、取向极化，及伴存现象（电致伸缩，压电效应等）

极化强度

(宏观量)

介质中的极化场:

（P

线：发自于负束缚电荷，终至于正束缚电荷）

9.极化电荷（束缚电荷）

（极化场P

的高斯定理）

Q 3

（n

?：介质表面外法线方向的单位矢量） 电介质极化产生附加电场s E

10.介质的极化规律

各向同性线性电介质

(宏观电场力和微观束缚力相平衡的状态) 电极化率

0>e χ

总场强 s E E E

+=0

各向异性线性电介质

（普遍）,

极化率张量

][e i j χ

非线性电介质 电滞现象 11.电位移矢量定义

电位移矢量场:

（D

线：发自于正自由电荷，终至于负自由电荷）

各向同性线性电介质

E E E E P E D r e εεεχεεε==+=+=0000

相对介电常数（电容率）

11>+=e r χε

介电常数

r εεε0=

12.电位移的高斯定理（普遍）

（积分形式）

（微分形式）

13.有电介质存在时电场和电势分布的计算

s

s s

q P E D S d D σ,Q 0????=???

处理特定问题，如“三种对称性”问题

14.孤立导体的电容 U q

U U q q U q C ??=?+?+==

15.电容器的电容 AB U q C =

三种简单电容器 平行板 d S

C 00ε=，

圆柱形1

200ln 2R R L C πε=，球形R C 04

πε= 极板间充满电介质时

16.电荷在外电场中的静电势能

（W 是指q 与场源电荷∑i Q 之间的相互作用能） 17. 带电体系的静电能

[]()?????

?

????????

??

??外力反抗电场力做功静电能电能带电体远的状态相距无穷分散的W 、 18.电荷的相互作用能（点电荷组）

U i 是q i 所在点的电势（除q i 以外电荷产生的） 19.电荷的固有能（自能） 20.计算带电体系静电能的一般公式

U 是dq 所在点的电势（由所有电荷共同产生的）

●带电面

●带电等势面 ●电容器带电时

21.电场的能量

真空中电场的能量 2

0012

1E E 21E w e εε=?= （单纯电场能量密度） 电介质中电场能量密度

E P E E E D w e

?+?=?=2121210ε

极化分子增加的内能

2

02)1(2

1E P 21E w r e εε-=?= （电介质的极化能密度） 各向同性线性电介质

22.计算电场能量的一般公式

23.静电场的基本方程

0l d =??

E L

, 0=??E

（静电场的环路定理）

dV V

c s

S d D ρ?????=? , c

D ρ=??

（D 的高斯定理） i

c

22

2222ερ-=??+??+??=?z U y U x U U （有介质的泊松方程）

0222222=??+??+??=?z

U

y U x U U （拉普拉斯方程）

24.电介质分界面的边值关系

t t E E 21= ， n n D D 21=

j i U U = ， j j i i )n

U ()n U (??=??εε

25.静电问题的唯一性定理

电场空间V ，划分为若干区域V i ，每个V i 中充满均匀电介质i ε， 若

（1） 给定各个区域V i 内的自由电荷分布； （常见情况是电荷处处为零） （2） 在整个电场空间V 的边界S 上给定： （常见情况是以无限远处为边界）

i ）电势S U ，或者ii) 电势的法向导数 S

n U

??

（3） 有导体时，给定每个导体的：

i ）电势U i ，或者ii) 总电量Q i 。

则各个区域V i 内的电场E i 唯一确定。各个区域V i 内的电势U i 有唯一的解，满足泊松方程或拉普拉斯方程、满足边值关系、满足边界条件。

二、 基本结果

要求：熟练掌握计算方法，能够借用基本结果处理其他问题。

1. 有导体存在时电场和电势分布的计算

（1）两块平行金属板

（2）金属板接地的含义

（3）同心金属球壳、金属圆筒

2. 有电介质存在时电场和电势分布的计算

（1）真空→充满电介质

（2）电介质中均匀带电球面

（3）同心电介质球壳、平行板、圆筒

3.计算电容C

（1）平行板、球形和圆柱形电容器

（2）充满/一半空间充有电介质

（3）同心金属球壳（电容串并联）

4.计算电荷相互作用能、静电能和电场能量

（1）电荷处在外电场中的静电势能

（2）点电荷组的相互作用能

（3）均匀带电球体

（4）均匀带电球面

（5）带电等势面的静电能

（6）电容器带电时的静电能

三、典型问题

例1.有一半径为R 1、带电量为q 的金属导体球，其外是一同心金属导体球壳，内外半径分别为R 2和R 3，带电量为Q ，求：空间电场分布和两导体的电势。另外，如果（1）用导线将内球和外球壳连在一起；（2）将外球壳接地；（3）外球壳离地很远，且将内球接地；在上述三种情况下空间电场分布和两导体的电势又如何？

解：三个均匀带电球面，R 1：q ，R 2：-q ，R 3：q+Q

△金属导体内场强为零，等电势。 内球与外壳之间：

r r q

E ?420

πε= 外壳以外：

r r Q

q E ?420

πε+= 外壳：无限远处为电势零点。

???∞∞∞

+=+==?=3333

020244R R R R Q

q dr r Q q Edr r d E U πεπε 内球：

?

???

+=+=?=∞∞

2

1

3

21

1

2

2

014R R R R R R U dr r

q Edr Edr r d E U πε

3021014)11(4R Q q R R q U πεπε++

-=

（1）三球面，R 1：O ，R 2：O ，R 3：q+Q ，金属导体内、内球与外壳之间，场强都为零，等电势。

（2）三球面，R 1：q ，R 2：-q ，R 3：O ，金属导体内、外壳以外，场强都为零，外壳电势为零。

（3）三球面，R 1：q ，

，R 2：-q ，

，R 3：q ，

+Q ，金属导体内场强为零，内球电势为零，与无穷远处等电势。

04)11(43

02101=+'+-'=R Q q R R q U πεπε

先求出q ，

，再代入前面的公式即可。

例2. 有一半径为R 1、带电量为Q 的金属导体球，球外有一同心电介质球壳，内外半径分别为R 2和R 3，相对介电常数为r ε，求：（1）空间电位移D 和电场E 分布；（2）电介质球壳内、外表面上的极化电荷q s 。

解：（1）三个均匀带电球面，

R 1：Q 自由电荷，

R 2：q s2，束缚电荷,

R 3：q s3，束缚电荷,（=-q s2）

电位移D 和电场E 具有球对称性， 取同心球面计算D 的通量：

2

4r D S d D s

π?=???

金属内球以外：

空气和电介质中: r r Q

D ?42π= 空气中：r r D

E ?4Q

200πεε==

电介质球壳中：r r D E r r ?4Q

200επεεε==

金属内球内: 电位移D 和电场E 都为零。 （2）电介质球壳内表面（r =R 2）

r

R q E r ?42

2

02επε=

，

202)1

(E P r -=εε 22222s P )r (?-=-?=?= P n P σ （方向相反）

Q )1

(42

22s 2s r

r R q εεπσ--=?=

电介质球壳外表面（r =R 3）

r

R q E r ?42

3

03επε=

，

303)1

(E P r -=εε 33333s P r ?=?=?= P n P σ （方向相同，

夹角0度） Q )1

(42

33s 3s r

r R q εεπσ-=?=

例 3. 有一平行板电容器，极板间为真空，使两极板分别带电Q ±，这时极板间电压为U 0，如果保持极板上带电量不变，将极板间一半空间充以各向同性均匀电介质r ε，忽略边缘效应，且极板的线度远大于极板间距，d S ??，求： （1）极板间电压变为多少？

（2）电介质表面极化电荷 面密度。

解：（1）充入电介质前，极板均匀带电Q ±，

S

Q

=0σ， 000εσ=

E ，

d E U 00=

左半边充入电介质后，极板上自由电荷Q ±的分布改变。左、右半边自由电荷按均匀分布处理，设面密度分别为

1σ、2σ。电介质极化后，电介质的上、下表面出现极化电

荷。

左半边：按照无穷大均匀带电平面处理，

取一圆柱面，计算D 的通量，

S

D S d D S d D s

?=?=

?????1介底

由D 的高斯定理： S S D ?=?11σ

11σ=D

r

r D E εεσεε01

011=

= ①

右半边：

22σ=D

02

02

2εσε=

=D E ②

左、右两半边电势差相等：

d E d E 21= ③

电荷守恒：

S S

0212

)(σσσ=+ ④

四个方程联立求解可得：

0011

2σσεεσ>+=r r

， 0021

2σσεσ<+=r

022112E E E r

010121

1

)1(σεεεε?+-=-=r r r E P 上表面： 11s ?P n P -=?=上上

σ （方向相反） 下表面： 11s ?P n P =?=下下 σ （方向相同）

例4. A 是半径为R 1的金属导体球；B 是一同心金属导体球壳，内外半径分别为R 2和R 3；C 是半径为R 4的同心金属导体球面。求（1）A 、C 之间的电容C AC ；（2）如果将半径为R 1的金属导体球接地，C AC 又如何？ 解：（1）由定义式计算

A （R 1）：+Q ；C （R 4）：-Q R 2：-Q ； R 3：+Q 四个均匀带电球面

金属导体内、球面C 以外， 场强都为零。

R 1和R 2之间、R 3和R 4之间

r r

Q E ?42

0πε=

)1

111(44321043

21R R R R Q Edr Edr r d E U R R R R C

A AC -+-=+=?=???πε

[]14

3210)

1111(41--+-==R R R R U Q C AC AC πε

由电容串并联计算

C AC 是两个球形电容器C AB 和C BC 的串联

122

104R R R R C AB

-=πε，344304R R R R C BC -=πε

)1111(411114

3210R R R R C C C BC AB AC -+-=+=πε （2）由定义式计算或电容串并联计算均可。

内球A 接地，内球A 与无穷远处电势都为零。 因此，

A 和无穷远处作为电容一极，C 作为电容另一极。

这时C 与无穷远之间有电场存在，因此有电容∞C C ，

按照孤立导体球的电容计算，

404R C C πε=∞ ，

C AC ，

是C AB 和C BC 串联后再与∞C C 并联，即上一问

中的C AC 与∞C C 并联。

C AC ，

= C AC +∞C C

例 5. 有两个带有等量异号电荷Q ±的同心球面，半径分别为R 1和R 2，求：（1）每个球面看作一个子系统，其自能是多少？（2）两个带电球面之间的 相互作用能；（3） 两个带电球面的 总静电能。

解：（1）子系统的自能，

就是其单独存在时的总静电能或总的电场能量。 方法①

dV E dV w W V e V

2

2

1ε???

???== R 1：

102

2

2

2001844211

R Q dr r r Q W R πεππεε=???? ??=?

∞

R 2：

202

2

2

2002844212

R Q dr r r Q W R πεππεε=???? ??-=?

∞

方法② U d q W V ?=???21， 等势面： i i U Q W ∑=21

R 1：10142121R Q

Q QU W πε==

R 2：2024)(21)(21R Q Q U Q W πε--=-=

自能总大于零。 （2）两种计算方法

方法① i i U q W ∑=21

U i 是除q i 以外电荷产生

2

02

2020211244242)(2121R Q R Q Q R Q Q U Q QU W πεπεπε-=

?-+-?=-+=

方法② 计算外力做功

设先有均匀带电+Q 内球面，再从无穷远将-Q 移到

外球面上，外力做的功为：

04)

()(2

012<-=-==R Q Q U Q A W πε外，

电荷之间互能，同号电荷互能大于零，异号电荷互能小于零。 （3）三种计算方法

方法① 0)11(82

1021221>-=++=R R Q W W W W πε

方法② 计算电场能量

)11(844212

102

2

2

2002

1

R R Q dr r r Q W R R -=???? ??=?

πεππεε 方法③ 计算总静电能

)1

1(42121)(2121212

10,

2,1R R Q Q U

Q U Q QU Udq W V -=?=-+=?=???πε

带电系统的静电能或电场能量总大于零。

四、 小测验

1. 平行板电容器，极板面积为S ，极板间距为d ，极板间充满均匀电介质（相对电容率为r ε），现将电容器接上电源充电，设两个极板间电压为U ，求： （1）电容器的电容； （2）电容器极板上的电量； （3）极板间的电位移D 和场强E ； （4）介质表面的极化电荷面密度； （5）带电电容器的总电能；

（6）切断电源，把电介质从极板间抽出外力所做的功； （7）不切断电源，把电介质从极板间抽出外力所做的功。