函数的奇偶性及对称性

《必修1》函数专题

η『方法点拨及参考答案或提示』☟

函数专题（三）（一）函数奇偶性的概念性质问题

方法要领指点：严格按定义来判断，即考察f(-x)与f(x)关系，熟记复合与合成函数奇偶规律参见『知识与方法梳理知识与方法梳理』4.★判断识真☆1.B.2.B.

【例题1】C .[解析])(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则|f(x)|、|g(x)|都是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数，)(|)(|x g x f 是偶函数，|)(|)(x g x f 是奇函数，|)()(|x g x f 是偶函数，故答案选C

（二）函数解析式奇偶性的判断

方法要领指点：要特别注意函数定义域必须关于原点对称.【例题2】[解析].

(1)与函数定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

(2)令f(x)=1

2-x 2

;其定义域为(-2，2），且f(-x)=f(x)，

f(x)为偶函数；

(3)f(x)=x(2x +1

2(2x -1)),其定义域为{x|x≠0x ∈R}且f(-x)=-x 22-x +12-x -1=x 22x +1

2x -1

,所以f(x)为偶函数;

(5)f(x)定义域为R ，且f(-x)=log 2(-x +x 2+1)=

log 1

x +x 2

+1=-log(x +x 2+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数.

【例题3】

[解析](1)x>0时，f(x)=x 2-2x,且x<0

f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x 2+2x =-f(x).(2)x <0时，f(x)=-x 2-2x,且-x>0.f(-x)=(-x)2-2(-x)=x 2+2x.=-f(x)(3)x =0时，f(-x)=f(x)=f(0)=0，则有f(-x)=-f(x)

综上，对任意x ∈R 都有f(-x)=-f(x)，即

f(x)是奇函数.

※解法辩伪※

〖正解〗当x =0时，f(x)=2≠0,所以f(x)不是奇函数，

又∵f(-1)=(-1)2+2(-1)+3=2f(1)=-12+2-3=-2

f(-

1)≠f(1)∴函数f(x)不是偶函数.即f(x)是非奇非偶函数.

【例题4】

[解析]令()x f x x e =+，则()11f e =+，

()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以

x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、

偶函数、偶函数，故选A.

（三）利用对称点求值

1.

分段函数求值

方法要领指点：注意求值点与其对称点的关系以及分段函数取段问题.

【例题5】[解析]g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2)=-3f (g (－1))＝f(-3)=-f(3)=-(32+6)=-15

2.抽象函数求值

方法要领指点：注意求值点与其对称点的关系抽象函数恒等关

系式的赋值利用.

【例题6】[解析]由f (-1＋2)＝f (-1)＋f (2)得f(1)=-f(1)+f(2)，所以f(2)=2f(1)=1.

则f (5)＝f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+1=f(1)+f(2)+1=

5

2

3.合成复合函数求值

方法要领指点：首先要注意判断函数是否具有奇偶对称性，再考虑求值点与其对称点的关系.★判断识真☆

B 解析]f(x)为偶函数，f(-a )=

f(a ),点(a ，f (a ))是在图像上的点，故选B

【例题7】

[解析]可证g(x)=ln(1+9x 2-3x 是奇函数，

f(lg2)+f(lg

1

2

)=f(lg2)+f(-lg2)=g(lg2)+g(-lg2)+2=2

（四）函数的对称中心和轴

1.

对称轴的判断

方法要领指点：轴对称函数都可以平移转化为偶函数.也可以考虑特殊的点对称排除非轴对称，轴对称函数满足的恒等关系参见『知识与方法梳理』3.x

y O

【例题8】C [解析]由f(12)=f(32

)可排除A 、B.并由此

猜测C 的可能性.

法1：平移利用奇偶性判断.将f(x)向左平移1个单位得函数y =f(x +1)=ln(x +1)+ln(1-x),此为偶函数关于y 轴对称，故y =f(x)关于x =1对称.

法2：验证f(1+x)=f(1-x)成立,由此可知f(x)关于x =1对称.

2.对称中心的判断

方法要领指点：中心对称函数都可以平移转化为奇函数.也可

以考虑特殊的点对称排除非中心对称，中心对称函数满足的恒等关系参见『知识与方法梳理』3.

【例题9】[解析]设f(x)对称中心(h,k).

f(x+h)-k =x 3+3(h -1)x 2

+(3h 2-6h+5)x +h 3-3h 2+5h -1-k.

f(x+h)-k 必为奇函数，所以32

10

3510

h h h h k -=⎧⎨-+--=⎩解得h=1,k =2.即f(x)对称中心为(1,2)（五）函数奇偶性对称性确定的参数问题

方法要领指点：主要三种方法：一是特殊值法，二是恒等式法，三是平移变换法.特殊值法即利用两对称点值关系列等式求解参数，操作简单容易，但结果只是必要条件，不保证充分性,所以这种方法要注意解的合理性，防止增解；恒等式法是利用基本定义中恒等式，考查恒等式成立的条件，从而确定参数值如此解得之解是充要的.平移变换法是通过平移变换将函数化为奇或偶函数再确定参数值.

1.偶函数确定的参数【例题10】[解析]法1：（特殊值法）由f(-1)=f(1)得ln(e

-3

+1)-a =ln(e 3+1)+a,∴2a =ln(e -3+1)-ln(e 3+1)=ln 1+e 3e 3-ln(e 3+1)=ln 1e 3=-3.则a =-32若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数法2：（恒等式法）由f(-x)=f(x)得

ln(e -3x +1)-ax =ln(e 3x +1)+ax

2ax =ln(e -3x +1)-ln(e 3x +1)=ln 1+e 3x e 3x -ln(e 3x +1)=ln 1

e

3x =

-3x.

上式等式恒成立时只有a =-3

2

.

2.奇函数确定的参数

【例题11】[解析](特殊值法）由于f(x)是奇函数f(-1)=

-f(1)=-2，从而有解得c=0,a +1=2b ，

由f(2)<3得1

212

a b c a b c +⎧=-⎪⎪-+⎨+⎪=⎪+⎩

，4a ＋12b <3,∴4(2b -1)＋1

2b <3,则4-32b <3即32b >1，∴0

.又b ∈Z ，则只有b =1,a =1且此时f(x)＝x 2

＋1

x

,可验证f(x)确为奇函数.

3.非奇偶函数确定的参数

【例题12】[解析]（平移变换法）由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，将f(x)向左平移a 个单位得偶函数

f(x +a)=2|x|,偶函数关于y 轴对称，则f(x)关于x =a 对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1．

【例题13】

[解析]（特殊值法）f(-1)=f(1)=0.由对称

性可知，f(-3)=f(-5)=0，即-3,-5是方程x 2＋ax ＋b =0的两根，所以a =8,b =15.f(x)=(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)=-(x 2-1)(x +3)(x +5)=-[(x+2)-3][(x+2)-1][(x+2)+1][(x+2)+3]=-[(x+2)2-9][(x+2)2-1]=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-[(x+2)2-5]2+16

(x+2)2=5即x =-2±5时f(x)取最大值为16为偶函数得