函数的极值及其求法
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
函数极值及求法
2
2
2
1 a b c 所围四面体的体积 V xyz , 6 6 x0 y0 z 0
2 2 2 x0 y0 z 0 在条件 2 2 2 1下求 V 的最小值, a b c
dz 令： dy 6 y 0 ,
得 y=0，z=13; y=±2 时，z=25．
第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M， 最小者为m．故M=25，m=9．
z f ( x , y ) x 2 y(4 x y ) 例5 求二元函数 y x D 在直线 x y 6 ， 轴和 轴所围成的闭区域
又 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，令:
f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 2 0 时具有极值， 当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； （2） AC B 0 时没有极值；
2
例4
求函数 f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2 的极值．
解 fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0， 得驻点（1，1）（-1，-1）（0，0） ， ， 。 判断：求二阶偏导 fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2， 在点（1，1）处， A=fxx(1,1)=10, B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10． 因 B2—AC<0，且 A>0， 故 f(1,1)= -2 为极小值． 类似可得 f(-1,-1)= -2 为极小值．
3.5函数的极值及其求法
上 的 最 值 存 在 . 再 假 定 f ( x ) 除 有 限 个 点 外 处 处
oa
bx
o a
b x
o a
b x
20
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小; 注意:如果定义在区间上的连续（可导）函数 只有一个极值,则这个极值就是最值. 对比：书P159例6上面一段说法（不严格！）
1 1 2 0 x 8 ) S ( 8 x )( 16 x x ) ( 0 ABC 0 0 0 2 2
30
12 令 S ( 3 x 64 x 16 16 ) 0 , 0 0 4 16 16 ( 舍去 ). 解得 x 0 , x 0 3
16 4096 16 . s ( ) 为极大值 . s( ) 8 0 3 217 3
f ( x ) 0 ; 当 x 2 时，
M
f ( x ) 0 . 当 x 2 时，
f( 2 ) 1 为 f( x ) 的极大值 .
6
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
( 1 ) 求导数 f ( x );
( 2 ) 求 所 有 的 临 界 点 （ 驻 点 及 不 可 导 点 ） ； ( 3 ) 检 查 f ( x ) 在 临 界 点 左 右 的 正 负 号 , 判 断 极 值 点 ;
注意: f (x ) 0 时 , f(x ) 在点 x 处不一定取 , 0 0 仍用定理 2 .
13
三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
函数的极值与最大值最小值
lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
函数的极值及其求解方法
函数的极值及其求解方法数学中，函数是一个非常重要的概念。
其中，自变量可以变化，从而影响函数的取值。
函数的极值是指函数曲线上的最高点或最低点所对应的函数值。
这些极值在数学和科学中具有广泛的应用，因此对于解题人而言，了解它们是非常必要的。
一、函数的极值函数的极值包括两种类型：极大值和极小值。
在函数图像上，极大值和极小值处的切线斜率为0。
极大值是指函数值在某个自变量区间中取得最大值。
极小值是指函数值在某个自变量区间中取得最小值。
二、函数极值的求解方法函数极值可以采用三种方法来求解：导数法、微积分法和图像观察法。
1、导数法导数法是求近邻哪里切线斜率为0。
这种方法非常高效，因为它可以使用函数的导数来快速找到极小值和极大值。
这种方法的主要思想是利用导数找到函数图像上切线斜率为零的点。
首先求出函数的导数，然后令导数等于0，求得解析解即可。
如果函数的导数被定义为正，则函数图像在该点上是开口向上的，也就是说，这个点是函数的极小值；反之，如果函数的导数被定义为负，则函数图像在该点上是开口向下的，也就是说，这个点是函数的极大值；如果函数的导数未定义，则该变量在该点上不存在极值。
2、微积分法微积分法与导数法类似，它也是通过计算导数来找到函数的极值。
但微积分法使用更多的技巧来进行计算，比如利用微积分的几何原理来解析确定极值的上界和下界。
微积分法包括常量法和约束最值法。
常量常数法，即固定其他变量，在某个范围内，确定其中一个变量。
约束最大化法是限制函数的自变量，使其满足约束条件，进而确定极值点（根据Lagrange乘子方法求解）。
3、图像观察法图像观察法是最简单的方法。
通过函数的图像观察函数的极值，特别适合于那些图像比较简单的问题。
这种方法的主要思想是直观地观察函数图像上最高点或最低点的位置。
通过这种方法，可以确定函数的大致极值，但无法精确得到极值点的位置。
一般它只适用于小型景观，因为它不需要带有数学式的增量的较高级导数。
总之，函数的极值在数学和科学中的应用非常广泛。
函数的极值与最大值
求函数f(x)=x3－3x的极值. 解 f′(x)=3x2－3,f″(x)=6x.令f′(x)=0,求得驻点x1=－ 1,x2=1. 因f″(1)=6>0,故极小值是f(1)=－2.由于f″(－1)=－ 6<0,故极大值是 f(－1)=2. 如果函数在驻点处的二阶导数为零，则定理3失效，这 种情况必须使用定理2判断.
一、函数的极值及其求法
定理1
必要条件）如果f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么 f′(x0)=0.
证明 不妨设x0是f(x)的极小值点，由极小值的定义可知，f(x) 在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，且对于x0+Δx∈U(x0)，恒有
Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≥0, 于是
因为f(x)在点x0处可导，所以 f′(x0)=f′-(x0)=f′+(x0),
一、函数的极值及其求法
当求出函数的驻点或不可导点后，还要从这些 点中判断哪些是极值点，以及进一步判断极值点是 极大值点还是极小值点.由函数极值的定义和函数单 调性的判定法易知，函数在其极值点的邻近两侧单 调性改变（即函数一阶导数的符号改变），由此可 导出关于函数极值点判定的一个充分条件.
一、函数的极值及其求法
定理2
（第一充分条件）设函数f(x)在点x0处连续，且在 x0的某去心邻域内可导.
（1）若在点x0的左邻域内，f′(x)>0；在点x0的右 邻域内，f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值f(x0).
（2）若在点x0的左邻域内，f′(x)<0；在点x0的右 邻域内，f′(x)>0，则f(x)在x0处取得极小值f(x0).
函数的极值与 最大值
一、函数的极值及其求法
3-5函数的极值与最值
• 一、函数极值及其求法 • 二、最大最小值问题 • 三、小结
一、函数的极值及其求法
1、函数极值的定义
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
证
(1)
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
2、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
思考题1解答
不正确．
例
f
(x)
2
x2(2
sin
1 ), x
x0
2,
x0
当x
0时，f
( x)
f
(0)
x2(2 sin
1 x
)
3.4.2函数的极值及其求法
解： 函数的定义域为[0，2]，
f ( x) cos x sin x, f ( x) sin x cos x,
令f ( x) 0, cos x sin x 0, tan x 0.
得驻点 x1
,
4
x2
5
4
.
因为 f ( ) 2 0,
4
所以x
是 极 大 点,
f( )
2 是极大值.
100
20
100 x
解：设 D 点选在距离 A 点 x 公里处.又设铁路上
每吨公里货运费 为 3k ，公路上每吨公里货运
费为 5k (k为常数) ，原料从 B 点运到 C 点每吨
公里需要的总运费 为 y ，则
y 5kCD 3kBD, 即
y5k 400＋x2 3k(100 x),(0 x100),
所以在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 严格单增,有f ( x) f ( x0 ) .
由于在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 0,
所以在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 严格单减, 有f ( x) f ( x0 ) .
故 f ( x0 ) 为极大值.
2
例 1. 求 函数 f ( x) ( x 1) x 3 的极值点和极值.
↘
极小值 2
↗
f (0)
f( ) 5
故 x 0 为 极 大 点, x 2 为 极 小 点. 5
极大值为f (0) 0, 极小值为f ( 2) 3 3 20. 5 25
定理4 （极值存在的充分条件二）
设 f ( x) 在点 x0 二阶可导，且 f ( x0 )0 ， f ( x0 )0 ，则
设其为 x1, x2 ,, xn . （3）计算 f (a), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b)的值 ;
函数的极值及其求法
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x 得铅直渐近线 x 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )
0
拐点
( 3, 26 ) 9
0
间 断 点
极值点
3
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
邻近的正负号, 判断是否为极值点; (3) 求极值.
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
0
极 大 值
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
函数的极值及其求法
【导语】我们知道，连续函数)(x f 的极值点只可能在0)(='x f 或)(x f '不存在的点中．那如何判断这样的点是不是函数的极值点呢？本节给出了连续函数极值点的常用判别法． 【正文】§4.5 函数的极值及其求法定理8 (极值点的第一充分条件) 设函数()f x 在点0x 的某一邻域00(,)x x δδ-+内连续，在去心邻域0000(,)(,)x x x x δδ-+内可导．（1）若当),(00x x x δ-∈时，()0f x '>；当),(00δ+∈x x x 时，()0f x '<，则0x 是函数()f x 的极大值点；（2）若当00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<；当00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>，则0x 是函数()f x 的极小值点；（3）若当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+时，()f x '保号，则0x 不是函数()f x 的极值点．判别函数极值的一般步骤如下： ① 确定函数()f x 的定义域；② 求()f x '，找出定义域内()0f x '=与()f x '不存在的点，这些点将定义域分成若干区间；③ 列表，由()f x '在上述求得的点的两侧的符号，确定其是否为极值点，是极大值点还是极小值点；④ 求出极值．例1 求函数23()(1)1f x x =-+的极值．解 函数23()(1)1f x x =-+的定义域是(,)-∞+∞，且22()6(1)f x x x '=-．令()0f x '=，得驻点11-=x ，02=x ，13=x ．列表：所以，函数()f x 在0x =处取得极小值0)0(=f ．例2 求函数233()2f x x x =-的单调区间和极值．解 函数233()2f x x x =-的定义域是(,)-∞+∞，且13()1f x x-'=-=．令()0f x '=，得驻点11=x ，()f x '不存在的点为 02=x ．列表：所以，函数()f x 的单调递增区间为)0,(-∞和),1(+∞，单调递减区间为)1,0(；在0=x 处取得极大值0)0(=f ，在1=x 处取得极小值21)1(-=f ．当函数)(x f 在驻点处有不等于零的二阶导数时，我们往往利用二阶导数的符号来判断函数)(x f 的驻点是否为极值点．定理9(极值点的第二充分条件) 设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ．（1）若0)(0>''x f ，则函数)(x f 在0x 处取得极小值； （2）若0)(0<''x f ，则函数)(x f 在0x 处取得极大值． 证 （1）因为0)(0='x f ，且00000()()()()limlim 0x x x x f x f x f x f x x x x x →→'''-''==>--， 所以，根据极限的局部保号性，存在正数δ，使得当00x x δ<-<时，有()0f x x x '>-． 所以当00(,)x x x δ∈-时，()0f x '<；当00(,)x x x δ∈+时，()0f x '>． 故0x 是()f x 的极小值点．（2）当0()0f x ''<时，类似地可以证明0x 是()f x 的极大值点．例3 求函数3()3f x x x =-的极值．解 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，()6f x x ''=． 令0)(='x f ，得驻点11-=x ，12=x ．因为(1)60f ''-=-<，所以函数)(x f 在1-=x 处取得极大值2)1(=-f ；因为(1)60f ''=>，所以函数)(x f 在1=x 处取得极小值2)1(-=f ．例4 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？并求此极值．解 ()c o sc o s 3f x a x x '=+．令π()03f '=，即012=-a ，得2a =．又当2=a 时，()2sin 3sin 3f x x x ''=--，π()03f ''=<，所以()f x 在π3x =处取得极大值π()3f =Remark1：当00()()0f x f x '''==时，0x 是否是函数()f x 的极值点？例如3()f x x =，再如4()f x x =．Remark2：如果函数()f x 在(,)a b 内导数存在，且0()f x 是()f x 的极小值，那么能否得到在0x 的左侧附近()0f x '<，在0x 的右侧附近()0f x '>？不能．例如函数21(2sin ),0,()0,0,x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ 易知(0)f 是其极小值，但11()2(2sin )cos f x x x x'=+-在0x =的左右两侧都不保号。
函数的极值和最值
21
t 0 令 f
3.3 函数的极值最值 在实际问题中，往往根据问题的实际意义 就可断定函数f(x)必有最大值或最小值．如果函 数在定义区间内有只有一个驻点，x0则不必讨论 f(x0)是不是极值，就可断定函数f(x0)是最大值或 最小值．
22
3.3 函数的极值最值
通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现
接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在
概念引入之前老师提出和描述问题所用时间．讲座 开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学 生的注意力开始分散．分析结果表明，学生掌握概 念的能力由下式给出：
2 G x 0 . 1 x 2 . 6 x 43
x是提出概念所用 其中Gx 是接受能力的一种度量，
f x 6 x 6 ,
f x 3 x 1 x 3 0
x 1 1
x2 3
1 12 0 因为 f ， 所以极大值为 f 1 10
3 12 0 因为 f
3 22 所以极小值为 f ．
9
3.3 函数的极值最值 求 y 1 x 2 的极值.
, 定义域为
2 3
例2
解
2 1 3 y 3 x2
x2
使 y 无意义的点
x
y
, 2
+
2
2 ,
_
y
极大值1
10
3.3 函数的极值最值 例3 解
3 2的极值. 求y x 1 x
f x f x 1 2
f x 在点 x 0 4.如果函数 f x 在点 x 0 处取得极值,则曲线 y
函数极值点的求法与步骤简介
函数极值点的求法与步骤简介函数的极值点是通过分析函数的一阶导数（有时还需要二阶导数）来计算的。
以下是一般的步骤：1. 求一阶导数首先，对函数f(x)求一阶导数f′(x)。
这可以通过导数的定义、导数的运算法则（如乘法法则、链式法则等）或利用导数表来完成。
2. 寻找驻点驻点是使得一阶导数等于零的点，即解方程f′(x)=0来找到所有的x值，这些值就是可能的极值点。
需要注意的是，驻点不一定是极值点，但极值点一定是驻点（或在导数不存在的点处取得）。
3. 使用二阶导数（可选）为了确定驻点是否是极值点，并判断是极大值点还是极小值点，可以进一步求二阶导数f′′(x)。
然后，在驻点处计算二阶导数的值：●如果f′′(x)>0，则该驻点是局部极小值点。
●如果f′′(x)<0，则该驻点是局部极大值点。
●如果f′′(x)=0，则二阶导数无法给出明确的判断，此时需要其他方法（如更高阶导数测试、函数单调性分析或比较函数值等）来确定极值点的存在和类型。
4. 检查端点和不可导点（如果适用）对于定义在闭区间上的函数，除了驻点外，还需要检查区间的端点以及导数不存在的点，因为这些点也可能是极值点。
5. 综合判断综合以上信息，确定函数的极值点及其类型（极大值点或极小值点）。
示例考虑函数f(x)=x3−3x。
1.求一阶导数：f′(x)=3x2−3。
2.寻找驻点：解方程3x2−3=0，得到x=±1。
3.使用二阶导数（可选）：f′′(x)=6x。
在x=−1处，f′′(−1)=−6<0，所以x=−1是局部极大值点；在x=1处，f′′(1)=6>0，所以x=1是局部极小值点。
4.由于此函数定义在整个实数域上，没有端点或导数不存在的点需要检查。
5.结论：函数f(x)=x3−3x在x=−1处取得局部极大值，在x=1处取得局部极小值。
函数的极值及其求法重点
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
M
f ( 2) 1为f ( x )的极大值.
例4 证明x 0时,
x 2ax 1 e
2
x
( a 0)
证
记 f ( x ) x 2 2ax 1 e x 则
x f ( x ) 2 x 2a e
（不易判明符号）
x f ( x) 2 e 令 f ( x ) 0 得 x ln 2
x0不是f ( x )的极值点。 (4) f ( x0 ) 4 4 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) o(( x x0 ) ) 4! x0是f ( x )的极值点。
得驻点 xe , x 0时，f ( x ) 1, 无驻点，
当x 0时, f ( x )可能不存在 .但函数f ( x )在该点连续.
1
有两个可疑点： x 0, x e ,
1
1
经判断知， f (0) 1为f ( x )的极大值， f (e )是极小值
例5 设f ( x )有f ( x0 ) f ( x0 ) 0, f ( x0 ) a 0,
f ( x) 0 令 min{ 1 , 2 } 则当 x (a , a )时，有 f (a ) f ( x ) 0
f 2 ( x ) f 2 (a )
函数极值和其求法
x 0时，f (x) 1,无驻点，
当x 0时, f (x)可能不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
有两个可疑点：x 0, x e1,
经判断知，f (0) 1为f (x)的极大值，f (e1 )是极小值
定理4 (判别法的推广)
数,
则且: 1) 当 n为偶数时,
为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 .
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
例7. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 .
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
0
2x3 9x2 12x ,
0
x
5 2
f
(
x)
6x2 6x2
18x 12 18x 12
6(x 1)(x 2) 6(x 1)(x 2),
,
1 4
x
0
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
思考题
下命题正确吗？
如果x0 为 f ( x) 的极小值点，那么必存在 x0的某邻域，在此邻域内， f ( x) 在x0 的左侧 下降，而在x0 的右侧上升.
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求极值.
证 只证(1),(2)与(3)类似证明。
因为在区间 x0 , x0 上 f (x) 0， 所以在区间 x0 , x0 上, f (x) 单调增
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y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是
(a , b )内的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
1 1 f ( x ) 2 x( 2 sin ) cos x x 当 x 0 时， 1 1 2 x ( 2 sin ) 0, cos 在–1和1之间振荡 x x
因而 f ( x ) 在 x 0 的两侧都不单调.
故命题不成立．
练习题
一、填空题： 1、极值反映的是函数的 ________性质.
1 x
练习题答案
2、 f ( x 0 ) 0 ； 3 1 1 e 3、(1,2),无； 4、 , ( ) ,0,1 ; e e 2 4 2 k e 二、1、极大值 y( 2k ) ,极小值 4 2 2 4 ( 2 k 1) y( ( 2k 1) ) e ( k 0,1,2,) ； 4 2 一、1、局部； 2、极大值 y(e ) e ； y (0) 1 3、极小值 ； y(0) 0 4、极小值 .
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
0
极 大 值
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ( 1 ) 证 0, f ( x0 ) lim
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号 x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
所以，函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值. 解
f ( x ) 3 x 2 6 x 24 3( x 4)( x 2)
x2 2.
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4,
思考题解答
不正确．
1 2 2 x ( 2 sin ), x 0 例 f ( x) x x0 2, 1 2 当 x 0 时， f ( x ) f (0) x ( 2 sin ) 0 x
于是 x 0为 f ( x ) 的极小值点
当 x 0 时，
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
3 y x , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , x 处取得极大值. 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) ' f 有 ( x ) 0 ，则 f ( x )在x0 处取得极小值. ' (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
0
y
y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根;
(3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
f ( x ) 6 x 6, f ( 4) 18 0, f ( 2) 18 0,
故极大值 f ( 4) 60, 故极小值 f ( 2) 48.
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 ,
仍用定理2.
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例3 解
求出函数 f ( x ) 1 ( x 2) 的极值.
2 f ( x ) ( x 2 ) 3 3 1
2 3
( x 2)
当x 2时, f ( x )不存在. 但函数f ( x )在该点连续.
当x 2时， f ( x ) 0; 当x 2时， f ( x ) 0.
M
f ( 2) 1为f ( x )的极大值.
三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件; 判别法
第二充分条件;
(注意使用条件)
思考题
下命题正确吗？
如果 x0 为 f ( x ) 的极小值点，那么必存在 x0 的某邻域，在此邻域内， f ( x ) 在x0 的左侧 下降，而在x 0 的右侧上升.
x0 2、若函数 y f ( x ) 在 x x 0 可导，则它在点
处到
得极值的必要条件中为___________. 3、函 数 y 2 ( x 1) 的 极 值 点 为 ________ ；
2 3 1 3
y 3 2( x 1) 的极值为__________. x 3x , x 0 4、已知函数 f ( x ) 当 x _______ 时， x 1, x 0 y ________为极 小 值 ； 当 x ________时 ， y ________为极 大值.
二、求下列函数的极值： 1 、 y e x cos x ； 2、 y x ； x2 y 3 、方程e y 0 所确定的函数y f ( x ) ； x12 4 、 y e , x 0 . 0, x 0 三、证明题： 2 3 2 b 1 、如果 y ax bx cx d 满 足条 3ac 0 ， 则函数无极值. 2、设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ( x ) 0 ， 则 x 0 为 f ( x ) 的极值点.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
1 e