函数极限存在的充要条件
函数极限的判定
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
lim nsin 1 1,
n
n
lim
n
n sin 1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
为更强的形式。如当 x x0 时有：
定理3.9
设函数
f在
x0
的某空心邻域U
0
(
x0
)
内有定义， lim f (x) A xx0
对任何以 x0
为极限的递减数列 xn U0(x0) ，有
lim
n
f
(xn )
A
.
二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述
例1 证明 lim sin 1 不存在.
x0 x
证
取
xn
1 n
,
y sin 1 x
lim
n
xn
0,
且 xn 0;
取
xn
4n
1
1
,
lim
n
xn
0,
且 xn 0;
2
而 lim sin 1 lim sin n
§ 3.3 函数极限存在的条件
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限 lim f (x) 为例
x x0
一 Heine归并原则 —— 函数极限与数列极 限的关系：
ch3-3 函数极限存在的条件
设数列{xn } U ( x0 ; )且 lim xn x0 . n 则由定义知，对上述 0, 存在N 0, 使得当n, m N时有xn , xm U ( x0 ; ),
从而有 f ( xn ) f ( xm ) .
于是, 按数列的柯西收敛准则, 数列{ f ( xn )}的极限存在, 记为A, 即 lim f ( xn ) A.
n
' '' ' 或找到两个都以x0为极限的数列{xn }{xn }, 使 lim f ( xn )与 n '' lim f ( xn )都存在而不相等，则 lim f ( x)不存在. n x x0
归结原则可用来证明函数极限不存在和利用 已知函数的极限求数列极限.
例1
证 明 极 限 i msi n l
对于任给 0, 存在正数 ( ' ), 使得对任何x' , x '' U 0 ( x0 ; ) 都有 | f ( x ' ) f ( x '' ) | .
证 必 要 性 设 l i m f ( x ) A, 则 对 任 给 的 0, 存 在
x x0
正 数( ), 使 得 对 任 何 U ( x0 ; )有 f ( x ) A x
相应于数列极限的单调有界定理，单侧极限也有相应
的定理，以x x0 为例叙述并证明如下：
0 定理3.10(修改) 设f 为定义在U ( x0 )上的递增（减）有下（上）界
函数, 则右极限 lim f ( x)存在.
x x0
证 设f 在U ( x0 )上递增有下界,
xU ( x0 )
3-3函数极限存在的条件
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐§3.3 函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim 0x f xx 为例一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy 准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义{}.)(),(,),(),(,)(.),(),,(2100时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程a x x f x f x f x f x f a x n a x x x x a a x n n n n →→∞→≠→-+ 定理.)(lim ,)()(,)(lim A x f ax x f x f A x f n n n ax =→=∞→→则有当是数列若一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：证Ax f x x =→)(lim 0.)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀∴A x f x x 恒有时使当,lim 00x x x x n n n ≠=∞→且又 .0,,0,00δ<-<>>∃>δ∴x x N n N n 恒有时使当对上述,)(ε<-A x f n 从而有.)(lim A x f n x =∞→故数学分析第3.3节例如,1sin lim 0=→xxx xxy sin =,11sin lim =∞→nn n ,11sin lim =∞→nn n 1sin 1lim22=+∞→n n n 2 函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等Heine 定理，又称归结原则数学分析第3.3节一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：f0x 0()U xTh 3.8 设函数在点的某空心邻域内有定义.)(lim 0x f x x →⇔0()n x U x ∈)(lim ,0n n n x f x x ∞→→则极限存在,对任何且都存在且相等.{}()n f x lim ()n n f x →∞()f x {}()n f x 注１．是数列，是数列的极限。
3.3函数极限存在的条件
xn A,
lim g xn B
n
数列极限的四则运算,对任意数列 xn 且
lim x n x0 , xn x0 , 有 lim n
n
f ( xn ) A g ( xn ) B
再根据海涅定理的充分性,有
首页
×
lim f ( x ) f ( xn ) A x f ( x) x0 lim lim x x0 g( x ) n g( x ) B lim g( x ) n
f ( x0 0) sup
0 xU ( x0 )
f ( x ) ; 若 f 递减,则
f ( x ).
首页
0 xU ( x0 )
×
(2) 设 f 为定义在U 0 ( x0 ) 上的递增函数 则
f ( x0 0) sup f ( x), f ( x0 0) inf f ( x) 0
lim f ( x ) A, lim g( x ) B( B 0)
x x0
证 已知 lim f ( x ) A与 lim g( x ) B 根据海涅定理
xn x0 , xn x0 必要性,对任意数列 xn 且 lim n
x x0 x x0
有 lim f
数列 f ( xn ) 的极限都相等.
首页
×
注7 可以利用柯西准则证明函数极限 lim f ( x )
的不存在:
x x0
x x0
设函数 在U ( x0 ; ')内有定义. lim f ( x ) 不存在
的充要条件是：存在 0 0 ,对任意正数 ( ') , 存在 x ', x U ( x0 ; ) , 有 f ( x ') f ( x) 0 .
数学分析3-3函数极限存在的条件
x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
x 前页 后页 返回
证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。
函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。
如果左右极限不相同、或者不存在。
则函数在该点极限不存在。
即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。
2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。
（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
函数极限存在的条件
0 A + ε > f ( x) ≥ f ( x1 ) > A − ε . 可见, 当 x ∈ U − ( x0 , δ ) 时, f ( x1 ) − A < ε ,
f ( x) 存在且 f ( x0 − 0) = sup 因此 lim −
x → x0
f ( x) f ( x)
0 x∈U − ( x0 )
n→∞ n→∞
下证 A = B . 考虑数列 {z n } : x1 , y1 , x 2 , y 2 , L x n , y n , L ,易见 {z n } ⊂ U ( x 0 ) ,且 lim z n = x0 , 则由题
0
n →∞
设 lim f ( z n ) 存在,于是作为 { f ( z n )} 的两个子列, { f ( x n )} 与 { f ( y n )} 必有相同的极限,因
x → −∞
ε ,总存在某一正数 M ,使得对任何 x ′ < − M , x ′′ < − M ,都有 f ( x ′) − f ( x ′′) < ε
1
(2)设 f ( x) 为定义在 (−∞, a ] 上的函数,若存在正数 ε 0 ,对任给正数 M ,总存在 x1 、 x 2 , 尽管 x1 < − M , x 2 < − M ，而 f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≥ ε 0 ，则称 lim f ( x) 不存在.
0
(2)
f ( xn ) − A ≥ ε 0
,
n = 1,2,3,L ， 由 于
n →∞
0 x0 ∈ U + ( x0 , δ n )
,
故
有
0 < x n − x0 < δ n ≤
3.3函数极限存在的条件华师大版数学分析第三章函数的极限ppt
注： 1、归结原则可简述为：
f(x)=A对任何xn→x0(n→∞)有
f(xn)=A.
注： 2、若有以x0为极限的数列{xn}，使 f(xn)不存在， 或两个以x0为极限的数列{x’n}与{x”n}，使
f(x’n)与 f(x”n)都存在但不相等，则 f(x)也不存在.
1、证明极限
不存在.
证：设x’n= , x”n=
f(x) =A，∀ε>0，有正数δ，
当x0<x<x0+δ时，有|f(x)-A|<ε.设递减数列 {xn}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则对δ，存在N，使当n>N时， 有0<xn-x0<δ，即x0<xn<x0+δ，从而有|f(xn)-A|<ε. ∴ f(xn)=A.
3.9：设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)
(n=1,2,…)，则
x’n→0，x”n→0(n→∞)， 又sin →0，sin →1(n→∞)，
由归结原则可知
不存在.
3.9：设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)
有定义.
f(x)=A的充要条件是：对任何以x0为
极限的递减数列{xn}⊂U⁰+(x0)，有 f(xn) =A.
证： [必要性]若
有|f(x1)-A|≥ε0,对δ2=min{ ,x1-x0},有x2使0<x2-x0<δ2，
有|f(x1)-A|≥ε0, x2< x1，…依此类推…
取δn=min{ ,xn-1-x0}，存在xn，使0<xn-x0<δn，
有|f(xn)-A|≥ε0，xn< xn-1<…< x2< x1，即{xn}满足：
(完整版)§3函数极限存在的条件
§3 函数极限存在的条件【教学目的】函数各类极限的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学重点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学难点】极限)(lim 0x f x x →的Heine 归并原则，Cauchy 准则。
【教学过程】与讨论数列极限存在的条件一样, 我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件。
仍以极限)(lim 0x f x x →为例。
一、Heine 归并原则 — 函数极限与数列极限的关系定理1 设函数f 在点0x 的某空心邻域0(;)U x δ'o内有定义。
则极限)(lim 0x f x x →存在⇔对任何0()n x U x ∈o 且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等.证 （必要性） 设0lim ()x x f x A →=则对任给的0ε>, 存在正数δδ'≤, 使得当00x x δ<-< 时有|()|f x A ε-<.另一方面, 设数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=, 则以上述的0ε>存在0N >, 使得当n N >时有00x x δ<-<, 从而有|()|n f x A ε-<. 这就证明了lim ().n n f x A →∞=（充分性） 设对任何数列0{}(;)n x U x δ'⊂o 且0lim n n x x →∞=，有lim ()n n f x A →∞=,则可用反证法推出0lim ()x x f x A →=。
事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限, 则存在某00ε>, 对任何0δ> (不论多么小), 总存在一点x , 尽管00x x δ<-<，但有0|()|f x A ε-≥ (§1习题2)。
第三节 函数极限存在的条件
∃δ > 0(< δ ′),使得对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ ),有 f ( x′) − f (x′′) < ε . 由于xn → x0 (n → ∞ ),
对上述的δ > 0,∃N > 0 ,使得当n , m > N时有xn , xm ∈ U 0 ( x0 ,δ ),从而有
附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！ 附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！
从而有 f ( x n ) − A < ε,
故 lim f ( x n ) = A.
n→ ∞
10
[充分性] 对任何数列{xn } ⊂ U 0 (x0 ,δ ′)且 lim xn = x0 ,有 lim f (xn ) = A
下面利用反证法推出：lim f ( x ) = A .
x → x0
n →∞
x ∈ U 0 (x0 ,δ )有 f ( x ) − A < ε .于是对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ )有 2
x → x0
f ( x′) − f ( x′′) ≤ f ( x′) − A + f ( x′′) − A < ε + ε = ε . 2 2
2
充分性:
设数列{xn } ⊂ U 0 ( x0 ,δ )且 lim xn = x0 .按假设，对 ∀ε > 0 ,
注2. 若能找到 f ( x )当x → x0时的子列{ f ( xn )}发散，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
注3. 若能找到 f ( x )当x → x0时的两个子列{ f (xn )}、f ( yn )}二者均收敛， {
但极限值不相等，则 lim f ( x )不存在 .
3-3函数极限存在的条件
lim 在这一节中, 我们仍以 x x f ( x) 为代
0
表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其 他类型的极限,也有类似的结论. 一、归结原则 二、单调有界定理 三、柯西收敛准则
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一、归结原则
f ( x ) 定理 3.9 设 f 在 U ( x0 , ) 有定义 . lim 存在 x x
O
x0 x N1 x xN
)
x
又因为 xn x0 x, 所以 N1 ( N ), 使 x N1 x ,
从而 f ( x ) f ( x N1 ) A . 因此
A f ( x) A .
即
x x0
lim f ( x ) A.
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例如, 对于 y sin x , 取 0 1 ,
π x n 2 nπ , y n 2 nπ , 2
但是 sin xn sin yn 1 0 . 这就说明 lim sin x 不
x
存在．
复习思考题
1.定理3.8 中的条件“并且相等”这几个字是否可以 省 略? 可以 3.总结证明函数收敛或发散的常用方法
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1 例1 证明 lim sin , lim cos x 都不存在. x 0 x x 1 解 取 x 1 0, y 0 , 有 n n π 2 nπ 2 nπ 2 1 1 lim sin x 0 1 lim sin y , n n n n 故 lim sin 1 x 不存在. x 0 同理可取 xn 2nπ , yn 2nπ π , 有 2
| f ( x) A | .
函数极限存在的条件(精)
§3 函数极限存在的条件教学目的：通过本次课的学习，使学生掌握函数极限的归结原则和柯西准则并能加以应用解决函数极限的相关问题。
教学方式：讲授。
教学过程：我们首先介绍0x x →这种函数极限的归结原则（也称Heine 定理）。
定理3.8（归结原则）。
A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是：对任何含于);('0δx U o 且以0x 为极限的数列}{n x ，极限)(lim n n x f ∞→都存在且等于A 。
证：[必要性] 由于A x f x x =→)(lim 0，则对任给的0>ε，存在正数)('δδ≤，使得当δ<-<||00x x 时，有。
另一方面，设数列}{n x ⊂);('0δx U o 且以0x 为极限，则对上述的0>δ，存在0>N ，当N n >时有δ<-<||00x x n ，从而有ε<-|)(|A x f 。
这就证明了A x f n n =∞→)(lim 。
[充分性] 设对任何数列}{n x ⊂);('0δx U o 且以0x 为极限，有A x f n n =∞→)(lim 。
现用反证法推出A x f x x =→)(lim 0。
事实上，倘若当0x x →时f 不以A 为极限，则存在某00>ε，对任何0>δ（无论多么小），总存在一点x ，尽管δ<-<||00x x ，但有0|)(|ε≥-A x f 。
现依次取 ,,,,''2'n δδδδ=，则存在相应的点 ,,,,21n x x x ，使得n n x x '||00δ<-<，而 ,2,1,|)(|0=≥-n A x f n ε显然数列}{n x ⊂);('0δx U o 且以0x 为极限，但当∞→n 时)(n x f 不趋于A 。
这与假设相矛盾，故必有A x f x x =→)(lim 0。
数学分析3.3函数极限存在的条件
x>x0
时，有
A-ε<f(x)≢f(x0)<A+ε，∴
lim f(x)=A.
x→+∞
其充分性得证。
3、(1)叙述极限 lim f(x)的柯西准则；
x→−∞
(2)根据柯西准则叙述 lim f(x)不存在的充要条件，并应用它证明 lim sinx不存在.
x→−∞
x→−∞
解：(1)设函数 f 在某 U(-∞)内有定义。 lim f(x)在的充要条件是：任给ε>0，存
1(≢δ
’)，
使当 0<|x-x0|<δ 1 时，|f(x)-A|<ε.
设{xn}⊂U⁰(x0;δ
’)且
lim
n →∞
xn
=x0，则对δ
1，有 N>0，使当 n>N
时，有 0<|xn-x0|<δ
1，
从而有|f(xn)-A|<ε.
∴ lim f
n →∞
xn
=A.
[充分性]若{xn}⊂U⁰(x0;δ ’)且 nli→m∞xn=x0，则对∀δ >0(≢δ ’)，有 N>0，
x →x 0
注：1、事实上，在证明充分性时，∵对任何 x’, x”∈U⁰(x0;δ )有|f(x’)- f(x”)|<ε；
∴所有的 xn∈U⁰(x0;δ )看作数列{xn}，则数列{f(xn)}的极限存在，记为：nli→m∞f xn =A.
则对{xn}中所有当
n→∞以
x0
为极限的子列{x’n}也有
lim f
从而有 A+ε>f(x)>f(x1)>A-ε，即|f(x)-A|<ε，∴f(x0-0)=A= sup f x ；
2.2 函数的极限
x 例8 验证 lim 不存在. x0 x x x 证 lim lim x 0 x x 0 x
lim ( 1) 1
x0
y
1
o
1
x
x x lim 1 1 lim lim x0 x 0 x x 0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
3
y
1 y x2 2
2
1 当x 2时, 函数f ( x ) x 2的值 2 无限接近于3.
O
x 2时,f ( x ) 的变化趋势
2
x
1 x2 2
定义3 设函数f ( x)在点x0的左右近旁有定义(点x0可除外), 如果 当x x0时, 函数f ( x )无限接近于一个确定的常数A, 那么A就叫作 函数f ( x)当x x0时的极限,记作 lim f ( x) A或当x x0时, f ( x )
二、函数极限的性质
1.唯一性
定理 若 lim f ( x )存在,则极限唯一.
2.局部有界性
x x0
几何解释:
sin x lim 0. x x
sin x x
y
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A 0为中心线, 宽为2的带形区域内.
例2：观察反正切函数的图像
y
/2
y=arctanx
O
x
-/2
写出自变量三种变化情况下函数的极限.
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 使当 x X时 , 恒有 f ( x ) A .
函数极限的归结原则(老黄学高数第96讲)
3、证明 cosx不存在. 证：设x’n=2nπ，x”n=nπ+ ， 则x’n→+∞，x”n→+∞ (n→∞)， 而cos x’n=1，cos x”n=0 (n→∞)， ∴ cosx不存在.
使当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε. 设{xn}⊂U⁰(x0;δ’)且 xn=x0，则对δ，有N>0， 使当n>N时，有0<|xn-x0|<δ，从而有|f(xn)-A|<ε. ∴ f(xn)=A.
(归结原则)：设f在U⁰(x0;δ’)内有定义。
f(x)存在的充要条件是：对任何包含于U⁰(x0;δ’)
解：(1)令xn= ，此时f(xn)=0，于是
当n→∞时，便有xn→+∞，且f(xn)→0. (2)令yn=2nπ，此时f(yn)= 2nπ，于是 当n→∞时，便有yn→+∞，且f(yn)→+∞. (3)令zn=(2n-1)π，此时f(zn)= -(2n-1)π，于是 当n→∞时，便有zn→+∞，且f(zn)→-∞.
且以x0为极限的数列{xn}， f(xn)都存且相等.
[充分性]若对任意的{xn}⊂U⁰(x0;δ’)且 xn=x0，有
f(xn)=A，但
f(x)≠A，则存在ε0>0，
对任意δ>0，总有x’∈U⁰(x0;δ)，使|f(x’)-A|≥ε0.
依次取δ=δ’,δ’/2, …δ’/n,…，相应存在x1,x2,…,xn…
函数极限的归结原则老黄学高数第96讲
老黄学高数
第96讲 函数极限的
归结原则
(归结原则)：设f在U⁰(x0;δ’)内有定义。 f(x)存在的充要条件是：对任何包含于U⁰(x0;δ’) 且以x0为极限的数列{xn}， f(xn)都存在且相等. 证： [必要性]若 f(x) =A，∀ε>0，有正数δ(≤δ’)，
如何判断极限是否存在
如何判断极限是否存在
判断方法：分别考虑左右极限。
极限存在的充分必要条件是左右极限都存在，且相等。
极限不存在的条件：当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；左极限与右极限都存在，但是不相等。
极限是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念均由其定义。
它可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。
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函数极限存在的充要条件
函数极限存在的充要条件
在高等数学中，函数极限是一个重要的概念，它是描述函数在某些特定点上的行为情况的工具。
函数极限的存在性是判断函数在某点处是否连续的关键因素。
接下来我们将介绍函数极限存在的充要条件，以及如何利用这些条件来计算函数的极限。
在介绍函数极限存在的充要条件之前，先回顾一下什么是函数极限。
对于给定的函数f(x)，如果当自变量x无限接近一个给定的实数a时，相应的函数值f(x)也无限接近于一个实数L，那么我们称L为f(x)在x=a处的极限，记作f(x)——>L（x——>a）。
数学符号表示为：当x——>a时，f(x)——>L
接下来是函数极限存在的充要条件：
充要条件1：局部有界性
如果函数f(x)在x=a点的某个小邻域内有界，即存在正实数M，使得对于所有x∈(a-δ,a+δ)（δ>0），都有|f(x)|≤M，那么函数f(x)在x=a处的极限存在。
这个定理的意义在于，如果函数在x=a附近不会变得太大或太小，我们可以认为它在a点处的极限存在，而不必考虑它的确切值。
此外，这个定理也叫做Bellman定
理，是一种非常有用的工具，可以用来推导出其他更复杂的定理和性质。
充要条件2：逐点有界性
如果函数f(x)在整个定义域X内都是有界的，即存在正实数M，使得对于所有x∈X，都有|f(x)|≤M，那么函数f(x)在x=a处的极限存在。
这个定理的作用在于，它给出了函数极限存在的一个非常强的条件，可以帮助我们快速判断函数是否具有极限。
注意，这里的定义域X可以是有限或无限的，但是函数必须在这个定义域内都有定义才能使用这个定理。
充要条件3：局部单调性
如果函数f(x)在x=a点的某个小邻域内是单调的，并且这个邻域内有一个确界，那么函数f(x)在x=a处的极限存在。
此外，如果在这个邻域内，函数的单调性和确界性质可以保持，则极限值等于函数的确界或小于它。
这个定理的思想是比较显然的：如果函数在x=a的某个邻域内单调，那么它在这个邻域中的行为应该是比较稳定的，不会跳跃或震荡。
因此，我们可以推断出函数在x=a 处的极限存在，并且是唯一的。
充要条件4：单调有界性
如果函数 f(x)在整个定义域 X 内是单调有界的，那么函数 f(x)在 x=a 处的极限存在。
此外，如果函数的单
调性和有界性质可以保持，则极限值等于函数的确界或小于它。
这个定理的用途是类似前面的定理，但更强。
如果我们知道函数在整个定义域内都是单调和有界的，那么我们可以断言函数在x=a处的极限存在，这是因为函数在所有其他点处的行为都比较可预测。
最后是极限的计算，计算函数的极限通常分为以下两种情况：
情况1：当函数的极限存在时，计算它的值。
这种情况下，我们可以使用函数极限的基本定义，通过合理变换得到更容易计算的形式。
通常需要用到常用极限的公式和知识，例如三角函数的限制、乘法原理、柯西-施瓦茨不等式等。
情况2：当函数的极限不存在时，说明它在该点的行为十分复杂或不规则，这是需要分类讨论或利用函数的性质和图像进行判断。
例如，当函数在x=a的左右两侧极限值不一致时，我们说函数在x=a处的极限不存在。
对于这种情况，我们需要通过函数的计算和图像来获得精确的答案，而不是依靠简单的公式或规则。
总之，函数极限是高等数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的应用。
在判断函数是否连续，求解一些有关极值和最优化问题时，函数极限都有着不可替代的作用。
因此，理解函数极限存在的充要条件以及如何计算函数极限对于学习高等数学来说都是非常重要的。