高等数学数试题(含解答)

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08-09-3

高数A （期中）试卷参考答案

09.4.17

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．交换积分次序

20242

42

2

d (,)d d (,)d d (,)d y x x y f x y x y f x y x x f x y y +---+=⎰

⎰

⎰⎰⎰

；

2．

设e 10z -=，则Re ln 2z =，Im 2,0,1,2,3

z k k π

π=-

+=±± ；

3．设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分

21

d d d 1212f xyf z x y xzf xzf '-=

+''

++；

4．设C 为由x y π+=与x 轴,y 轴围成的三角形的边界,e

d x y

C

s +=⎰

e 2)2π+-

5．设(,)f x y 连续，{

}2

(,)01,0D x y x y x

=≤≤≤≤，且(,)(,)d d D

f x y x y f x y x y

=+⎰⎰

则

1

(,)d d 8

D

f x y x y =

⎰⎰

． 二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

6．函数22

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy

x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩

在点(0,0)处 [ C ]

(A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在

(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在

7设{

}

22

(,)1D x y x y =+≤,1D 为D 在第一象限部分,则下列各式中不成立的是[ B ] （A

）

1

d 4d D

D x y x y = （B ）1

d d 4d d D

D xy x y xy x y =⎰⎰⎰⎰

（C ）

32()d d 0D

x x y x y +=⎰⎰ （D ）2332

d d d d D

D

x y x y x y x y =⎰⎰⎰⎰ 8设()[0,)f t C ∈+∞,2222

222()()d x y z R I R f x y z v ++≤=

++⎰⎰⎰

,则当0R +→时,()I R [ D ]

（A ）是R 的一阶无穷小 （B ）是R 的二阶无穷小

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（C ）是R 的三阶无穷小 （D ）至少是R 的三阶无穷小 9．设(,)f x y 在原点的某邻域内连续，且2200

(,)(0,0)

lim

01sin cos x y f x y f a x x y y →→-=>+--，则 [ B]

（A ）(,)f x y 在原点处取得极大值 （B ）(,)f x y 在原点处取得极小值 （C ）不能断定(,)f x y 在原点处是否取得极值 （D ）原点一定不是(,)f x y 的极值点 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．计算二重积分

2223d D

x y x y σ++⎰⎰，其中{}

22

(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥. 解 12122220cos sin 23555d d d (cos sin )d 5224D

D x y x y x y x y πσσϕϕϕρπ+++==+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11．计算曲面积分()d z y A ∑

+⎰⎰

，其中∑是由0,1z z ==与2

221z x y +=+所围成的立体

的表面.

解 2211:0x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，2222:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，22231:01x y z z ⎧+=+∑⎨≤≤⎩，2212

:0

x y D z ⎧≤+≤⎨=⎩

1

2

3

()d d d d d 2d D

z y A z A z A z A z A x y π∑

∑

∑∑∑+==++=+⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

522d 3ππρπ⎫=+=⎪⎭

12．求

2222

d d d d x y z y z x x y z

∑

∧+∧++⎰⎰

，其中∑为圆柱体222

y z R +≤， (0)x R R ≤>的表面，取外侧.

解 2221:y z R x R ⎧+≤∑⎨=-⎩取后侧，2222:y z R x R ⎧+≤∑⎨=⎩取前侧，2223:y z R

x R

⎧+=⎪∑⎨≤⎪⎩取外侧，

{}

(,),zx D z x z R x R =≤≤，

123

22222222222222d d d d d d d d d d x y z y z x R y z R y z y z x

x y z R y z R y z x R ∑

∑∑∑∧+∧∧∧∧=+++++++++⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰