弹簧问题(能量)

联立①④⑤⑥,得 WF=9.64×10-2J
⑥
题目
例5、2005年全国卷Ⅰ/24. 24．(19分) 如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧 与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲 度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长 的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻 挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一 段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体 C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但 不继续上升。若将C换成另一个质 量为(m1+m2)的物体D，仍从上述 初始位置由静止状态释放，则这次 A m1 B刚离地时D的速度的大小是多少？ 已知重力加速度为g. k
3、弹簧的非平衡问题
这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起 的力、加速度、速度、功能和合外力等其它物理量发 生变化的情况。 4、 弹力做功与动量、能量的综合问题 在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能 量联系，一般以综合题出现。有机地将动量守恒、机 械能守恒、功能关系和能量转化结合在一起。分析解 决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动 能定理和功能关系等知识解题。
B A l2
l1
P
解： 设A、B质量均为m, A刚接触B时速度为v1（碰前）, 1 1 2 2 由功能关系， 1 mv0 mv1 mgl1 2 2 碰撞过程中动量守恒,令碰后A、B共同运动的速度为v2 m v1 =2m v2 ( 2) 碰后A、B先一起向左运动,接着A、B一起被弹回,在弹 簧恢复到原长时,设A、B的共同速度为v3, 在这过程中, 弹簧势能始末两态都为零，由功能关系，有 1 1 2 2 3 ( 2m )v 2 ( 2m )v 3 ( 2m ) g( 2l 2 ) 2 2 后A、B开始分离，A单独向右滑到P点停下， 1 2 4 mv3 mgl1 由功能关系有 2 B A 由以上各式，解得
v0 g( 10l1 16l2 )
l2
l1
P
07年1月苏州市教学调研测试17 17 ．如图所示，质量均为 m 的 A 、 B 两球间有压缩的 轻短弹簧处于锁定状态，放置在水平面上竖直光滑 的发射管内（两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略， 它们整体视为质点），解除锁定时，A球能上升的最 大高度为H．现让两球包括锁定的弹簧从水平面出发， 沿光滑的半径为R的半圆槽从左侧由静止开始下滑， 滑至最低点时，瞬间解除锁定．求： A （1）两球运动到最低点弹簧锁定 B 解除前所受轨道的弹力； R （2）A球离开圆槽后能上升的最大高度 A B
2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需 要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变. 因此， 在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变, 即弹簧 的弹力不能突变.
3. 在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化, 可 以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可根据 动能定理和功能关系及能量转化和守恒定律求解.同 时要注意弹力做功的特点： Wk = -（1/2 kx22 - 1/2 kx12）， 弹力的功等于弹性势能增量的负值. 弹性势能的公式Ep= 1/2 kx2，高考不作定量要求， 可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改 变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.
B m2
解： 开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有 kx1=m1g ① 挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离 地时弹簧伸长量为x2，有 kx2=m2g ② B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其 最低点。由机械能守恒，与初始状态 相比，弹簧性势能的增加量为
△E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2) ③
专 题 复 习 — 弹 簧 类 问 题
专题复习—弹簧类问题 复习精要 弹簧问题的处理办法 例1、 2001年上海 例2、2005年全国理综III 卷 例 3、 例4 例5、 2005年全国卷Ⅰ/24 例6、2004年广西卷17 例7、07年1月苏州市教学调研测试17 例8、06年广东汕头市二模17 例 9、 例10 例11、03年江苏20 练习1 练习2 练习3 练习4 练习5、05年广东卷6 练习6 练习7 练习8 练习9 练习10
(二)弹簧问题的处理办法
1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当 题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要 与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分 析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变 量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对 应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态 的可能变化.
解： （1）A、B系统由水平位置滑到轨道最低点时 速度为v0，根据机械守恒定律 1 2 2mgR 2mv0 ① 2 设轨道对小球的弹力为F，根据牛顿第二定律 2 v0 F 2mg 2m ② R 得 F＝6mg ③ (2) 解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A、B的 机械能，则弹性势能为 EP＝mgH ④ 解除锁定后A、B的速度分别为vA、 vB，解除锁定 过程中动量守恒 2mv0 =mvA+mvB ⑤
系统机械能守恒 1 1 1 2 2 2 2mv0 E P mv A mvB 2 2 2 联立上述各式得 v A 2 gR gH 正号舍去
⑥
⑦ ⑧
v A 2 gR gH
1 2 mg( h R ) mv A 2 H h 2 RH 2
设球A上升的高度为h，球A上升过程机械能守恒
（2）若将图A中的细线 l1改为长度相同、质量不计的 轻弹簧，如图（B）所示，其他条件不变，求解的步骤 与（1）完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确 吗?请说明理由. （2）答： 结果正确。 因为l2被剪断的瞬间、弹簧l1的 长度不能发生突变、T1的大小 和方向都不变. l2 图B
l1
θ
例1、 2001年上海 如图（A）所示，一质量为m的 物体系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂 在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，物体处 于平衡状态.现将l2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度. （1）下面是某同学对该题的一种解法： 解：设l1线上拉力为T1，l2线上拉力为T2，重力为mg， 物体在三力作用下保持平衡： T1cosθ=mg, T1sinθ=T2, T2=mgtanθ 剪断线的瞬间,T2突然消失,物体即在T2反方向获得加速 度.因为mgtanθ=ma,所以加速度a=gtanθ,方向在T2反方向 .你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理 由. l1 θ （1）答： 结果不正确. 因为l2被剪断的瞬间， l2 l1上张力的大小发生了突变，此瞬间 图A T1=mg cosθ, ∴ a=g sinθ
复习精要
轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体, 设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡， 牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重 点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见,，在高考复 习中应引起足够重视. (一)弹簧类问题的分类 1、弹簧的瞬时问题 弹簧的两端都有其他物体或力的约束时, 使其发生形 变时,弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值. 2、弹簧的平衡问题 这类题常以单一的问题出现，涉及到的知识是胡克 定律，一般用 f=kx 或 △f=k△x 来求解。
2
B
x1 A
F
30°
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t=0时，F最小，对AB整体 Fmin = (m1 + m2) a = 60N
t=0.2s 时，F最大，对A物块： Fmax - m1g sinα = m1a
Fmax = m1g sinα + m1a = 100N
F B A
30°
例4、 A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示， 已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲 度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的 力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀 加速运动（g=10 m/s2）.
A
m1 k m2
C
m3
B
C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次 相同，由能量关系得 1 1 2 ( m3 m1 )v m1v 2 2 2 ( m3 m1 ) g( x1 x2 ) m1 g( x1 x2 ) E ④ 由③④式得
1 ( 2m1 m3 )v 2 m1 g( x1 x 2 ) 2 ⑤
k
例3、 如图示, 倾角30°的光滑斜面上,并排放着质量 分别是mA=10kg和mB=2kg的A、B两物块，一个劲度系 数k=400N/m的轻弹簧一端与物块B相连，另一端与固定 挡板相连，整个系统处于静止状态，现对A施加一沿斜 面向上的力F，使物块A沿斜面向上作匀加速运动，已 知力 F在前0.2s内为变力，0.2s后为恒力，g取10m/s2 , 求F的最大值和最小值。 F 解： 开始静止时弹簧压缩 x1 A B x1=(m1 +m2)g sinα/ k = 0.15m x 0.2s 末A、B即将分离, A、B间 无作用力，对B物块： kx2-m2g sinα = m2a ⑴ x1-x2=1/2at2 ⑵ 解得 x2=0.05m a=5 m/s2
A B
(2) 当N=0时，A、B开始分离,
由③式知此时,弹簧压缩量 kx' =mB(a+g)， x' =mB(a+g)/ k AB共同速度 v2=2a ( x' - x) ④ ⑤
由题知，此过程弹性势能减少了 EP=0.248 J ′ 设F力功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理
WF+EP-(mA+mB)g (x' -x) =1/2(mA+mB) v2
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中,力F的最大值
（2）若木块由静止开始做匀加速运动， 直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性 势能减少了0.248 J，求这一过程F 对 木块做的功. A B
解:
(1)当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有 x=(mA+mB)g/k
例2、2005年全国理综III卷 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧 相连接的物块A、B，它们的质量分别为 mA、mB，弹 簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处一静止状态， 现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动， 求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时 物块A的位移d，重力加速度为g。 A 解： 令x1表示未加F时弹簧的压缩量， C 由胡克定律和牛顿定律可知 B θ mgsinθ=kx1 ① 令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时A的 加速度，由胡克定律和牛顿定律可知： kx2=mBgsinθ ② F ( m A m B ) g sin 得 a F-mAgsinθ-kx2=mAa ③ mA 由题意 d=x1+x2 ⑤ ( m m ) g sin A B d 由①②⑤式可得
N A
kx=(mA+mB)g ,
①
F
B N m Bg kx′
对A施加F力，分析A、B受力如图 对A F+N-mAg=mAa 对B k x' -N-mBg=mBa' ② ③
mAg
可知，当N≠0时，AB有共同加速度 a=a' ， 由②式知欲使A匀加速运动，随N减小, F 增大. 当N=0时，F取得了最大值Fm, 即Fm=mA（g+a）=4.41 N
A m1 k
2
D
(m1+m2)
由①②⑤式得
v
2m1 ( m1 m 2 ) g ( 2m1 m 3 )k
⑥
B
m2
题目
例6、2004年广西卷17、 图中，轻弹簧的一端固
定，另一端与滑块 B 相连， B 静止在水平导轨 上，弹簧处在原长状态。另一质量与 B相同的 滑块A，从导轨上的P点以某一初速度向B滑行， 当A滑过距离l1时，与B相碰，碰撞时间极短， 碰后 A 、 B 紧贴在一起运动，但互不粘连。已 知最后 A恰好返回出发点 P并停止。滑块A和B 与导轨的滑动摩擦因数都为 μ，运动过程中弹 簧最大形变量为l2 ，重力加速度为g，求A从P 出发时的初速度v0。