坐标系与参数方程复习教案(教师版)

数学选修4-4 坐标系与参数方程（教师版）

主干知识

一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） ① 设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。其中ρ称为极径，θ称为极角。

约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。

4．直角坐标与极坐标的互化

以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则

x = 2ρ=

y = tan θ=

二、曲线的极坐标方程

1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

sin()sin()ρθ-α=ρθ-α

几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2

M b π且平行于极轴 图：

方程：

2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：

2220002cos()0r ρρρθθρ--+-=

几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,

)2

M r π

图：

方程：

3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用： x = 2

ρ=

y = tan θ=

三、参数方程

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()

()x f t y f t =⎧⎨=⎩

，该方程叫曲线C 的参数方程，

变量t 是参变数，简称参数 2．参数方程与普通方程的互化 （1）参数方程化为普通方程

常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

⑴cos sin x a y b ϕ

ϕ=⎧⎨=⎩

（ϕ为参数）； ⑵00(x x at t y y bt =+⎧⎨=+⎩为参数）

（3）2

sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩[0,2)θπ∈ （4）1

()21()

2

a x t t

b y t t

⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

（t 为参数） （5）cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩

（ϕ为参数）

☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！

常见化普通方程为参数方程，

1、圆2

2

2

()()x a y b r -+-=的参数方程。 2、经过点P 00()x y θ，倾斜角为的参数方程。

3、椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程。

4、抛物线2

2(0)y px p =>

普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。 二、考点阐述

考点1、极坐标与直角坐标互化 例题1、在极坐标中，求两点)4

,2(),4,2(π

π

-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。

练习

1.1、已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，

π4cos 002

ρθρθ⎛⎫

=< ⎪⎝

⎭

，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．

【解析】我们通过联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩解得23

6

ρπθ⎧=⎪

⎨=

⎪⎩

,即两曲线的交点为(23,

)6

π

。

1．2. （宁夏09）已知圆C ：22

(1)(3)1x y ++=，则圆心C 的极坐标为

_______(0,02)ρθπ>≤< 答案：（2(2,)3

π

）

练习1.2（2009丹东）（1）已知点c 极坐标为(2,)3

π

，求出以C 为圆心，半径r=2的圆的极

坐标方程（写出解题过程）；

（2）P 是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M 是PQ 中点，当点P 在圆

上运动时，求点M 的轨迹的参数方程。

解：

1M M ρθ（）如图所示，设为圆上一点， (,), 2MOC 44cos()43

33

π

π

π

θθρρθ∠=-

-+--=则或

，由余弦定理得

4cos()3π

ρθ∴-极坐标方程为=。

（2）依题意x 2cos o M x y P 2cos ,2sin ).y=2sin θ

θθθ=⎧⎨

⎩

e 的参数方程为设（,),点（

M PQ Q 60M ∴Q 为中点，（，），的参数方程为 62sin x x 3cos 2

2sin y=sin y 2

θθθθ+⎧

=⎪=+⎧⎪⎨⎨

⎩⎪=⎪⎩即 考点2、极坐标与直角坐标方程互化 例题2、福建省龙岩市20XX 年