球的表面积和体积PPT课件

二、探究新知
1、球的体积
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小圆 片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似 于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此求球的 体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
A
步骤： 第一步：分割 如图：把半球垂直于底面的半径OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于
底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，
R “小圆片”厚度近似为 n
O
，底面是“小圆
片”的底面。
ri
R ( i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri
R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2, n n n n
四、巩固深化
3 ___ 3 ，表面积 1、正方体的内切球和外接球队体积比为1: ___ 之比为1：3。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别 2 2 为49 cm 和400 cm ，求球的表面积。 答案：2500 cm 2
3、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍. ___ 4、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来 的__4_倍.
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S1，S2，S3 ,, Sn
则球的表面积： O
S S1 S2 S3 Sn
设“小锥体”的体积为 Vi
则球的体积为：
Si
O
Vi
V V1 V2 V3 Vn
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用
教学难点
球的表面积公式的推导
球的体积公式的推导
分割 求近似和 化为准确和思想方法
一、创设情境
1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个 星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星 球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体， 那么如何进行计算呢？ 2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表 示球的体积和表面积？
1: 2 2 5、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______
1: 3 4 . 6、若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
五、课堂小结
1、了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 2、熟练掌握球的体积、表面积公式：
略解： Rt B 1 D 1 D 中 : (2 R )2 3 2 2R= 5 2 S 4 R 50
2
D1 A1 D A O B B1 C
O C1
42+5 2
D1
A1 B1
C1
三、典例分析
如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求 证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
R
Si
Vi
4 3 又球的体积为： V R 3 4 1 3 R RS , 从而S 4R 2
3 3
练习
长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若 它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积 是—— D C 分析：长方体内接于球，则由球和 A B 长方体都是中心对称图形可知，它们 中心重合，则长方体对角线与球的直 径相等。
第二步：求和
V半球 V1 V2 Vn
1 22 (n 1) 2 {1 [1 2 ] [1 2 ] [1 ]} 2 n n n n
R 3
12 2 2 (n 1) 2 [n ] 2 n n 1 2 (n 1) R 3 1 (n 1) n (2n 1) (n 1)n(2n 1)
x
3
5 3 142 3 ( ) 11.3 2 7.9 4
由计算器算得:
x 2.24
2 x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
球的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表 面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公 式呢? 回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．
4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V R 3
练习
有一种空心钢球，质量为142g,测得 外径等于5.0cm，求它的内径（钢 的密度为7.9g/cm3,精确到0.1cm).
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7.9 [ ( ) x 3 ] 142 3 2 3
西伯利亚
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
重点难点
教学重点
2 2
R 3
2
n 6 1 (n 1)( 2n 1) 3 R [1 2 ] n 6

n
[n
2

]

6
V半球 R 3 [1
(1
1 1 )( 2 ) n n ] 6
第三步：化为准确和
当n 时, 1 0. n
2 V半 球 R 3 3 4 从 而V R 3 . 3
Vi
如果网格分的越细,则: “小 锥体”就越接近小棱锥
hi 的值就趋向于球的半径 R
1 Vi S i R 3 1 1 1 1 V Si R S2 R S3 R Sn R 3 3 3 3
1 1 R( S i S 2 S 3 ... S n ) RS 3 3
4 3 ①V R 3 2 ②S 4R
六、布置作业
教材习题1.3B组3.