第五章 运输问题

季度
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
生产能力（台）
25 35 30 10
单位成本（万元）
10.8 11.1 11.0 11.3
5.3 运输模型的进一步讨论 三、某些特殊问题的建模与求解
1．生产计划问题
解 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，所以设 xij 为第 i 季度生产的用于第 j 季度交货的柴油机数。
1．无穷多最优解 判别依据仍然是：某个非基变量（空格）的检验数为0时， 该问题有无穷多个最优解。 2．退化解 基变量取0值时是退化解（在运输问题求解过程中，有两种 情况）
5.3 运输模型的进一步讨论
三、某些特殊问题的建模与求解
1．生产计划问题
某公司合同规定须于当年每个季度末分别提供10，15，25，20台同规 格的柴油机，已知该公司各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表 所示。又如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压一个季度需储 存维护费用0.15万元。要求在完成合同的情况下，做出该厂全年生产（包 括储存、维护）费用最小的决策。
100
ΣSi=100+200+300=600 ΣDj=150+150+100+80=500
7
3
8
100
5
5
6
150
50
7
4
9
50 70
150
150 50 120 70
8
8
10
80
80
0
0
0
100
100
100
200 50
300 180 250 100
supply 100 200 300
5.3 运输模型的进一步讨论 一、产销不平衡的运输问题求解
销量
5
13
5
12
0
50
20
7
3
11
4
10
1
30
10
6
9
6
12
7
1
2
60
30
2
5
1
3
2
30
60
50
60
30 20
70 20
40 10
90
30
5.3 运输模型的进一步讨论
一、产销不平衡的运输问题求解
供不应求（ΣSi < ΣDj）或供过于求（ΣSi > ΣDj）时的运输问题称为不平 衡的运输问题。解决方法是：
第5章 运输问题
■5.1 运输问题的数学模型 ■5.2 运输模型求解 ■5.3 运输模型的进一步讨论
1
5.1 运输问题的数学模型
一、运输问题及其线性规划模型 运输问题描述
运价
供 A1 A2
应. .
点 Am
需求量
需求 点
B1
B2
…
C11
C12
…
C21
C22
…
..
.
..
.
Cm1
Cm2
…
D1
D2
…
Bn C1n C2n
0
0
1 i
0
ym1,
ym2,
ymn
)
0
1 m j
0
0
令 : U (u1 u2 um ) ( y1, y2, ym ) ,
V (v1 v2 vn ) ( ym1, yM 2 , ymn )
则 : ij cij (ui v j )
5.2 运输模型求解
一、表上作业法--运输单纯形法
σij = Cij - (ui+ vj) = Cij - (u1 - ki+ kj - u1) = Cij -kj +ki
亦即：只要保证基变量处 σij = 0 (m + n - 1个方程式满足)，
σij 便与u1的取值无关。
5.2 运输模型求解
二、最优解判别--位势法
以上解方程组的过程显得零乱，我们可将其在表格中运算。
(5) (13) 40
30
30 (11) 10 (10)
(9)
60 (12) 30
ui
(1)
(2)
5
12
0
3
(1)
4
(百度文库1)
-1
(10)
6
(12)
7
-5
vj
4
11
5
12
5.2 运输模型求解
三、换基迭代—闭回路调整
选 x24 作为进基变量（因为 σ24<0）
+ 40
- 30
30
10
-
+
60
30
50
20
100
150
-
+
50
+ 50
-
80
100
70
ui
(0)
3
(0) (-1) (1)
-1
5
(4)
6
(1) (3)
-3
(-1)
4
9
10
0
0
Vj 8
4
9
10
0
5.3 运输模型的进一步讨论 一、产销不平衡的运输问题求解
新的解
20
80
80
120
70
130
100
检验
(1)
3
(2)
8
(1) -1
5
(3)
6
(1) (2) -2
7
4
(1) (1)
0
0
7
4
8
9
0
最优解: x12=20, x14=80, x21=80, x23=120, x31=70, x32=130， (virtual point) x35=100。 Z＝2830 元。
5.3 运输模型的进一步讨论 二、解的特殊情况
产销平衡运输问题必存在最优解，因而无可行解与无界解 的情形不须讨论。
5.2 运输模型求解
二、最优解判别--位势法
基变量 x13 x21 x32
方程 u1+v3=5 u2+v1=3 u3+v2=6
基变量 x14 x23 x34
方程 u1+v4=12 u2+v3=4 u3+v4=7
令其中之一为零，解出另外未知量
例：令u1 = 0，则解得: u2 = -1，u3 = -5， v1 = 4，v2 = 11, v3 = 5, v4 = 12。
5.2 运输模型求解
二、最优解判别--位势法
令其中一个为零是一个特解，如何保证其一般准确性？
将u1设为一般性参数来解如上6个方程；有
X13: v3 = 5 - u1;
x14: v4=12-u1
X23: u2 = 4 - v3 = 4 - (5- u1) = u1 – 1; x21: v1 = 3 - u2 = 3 - ( u1-1) = 4 - u1
而后再按 σij = Cij - ( ui + vj ) 计算出非基变量的检验数：
σ11 = C11 - (u1 + v1) = 5 - (0 + 4)=1, σ12 = C12 - (u1+v2) = 13 - (0+11) = 2 σ22 = C22 - (u2+v2) = 11 - (-1+11)=1, σ24 = C24 - (u2+v4) = 10 - (-1+12) = -1 σ31 = C31 - (u3+v1) = 9 - (-5+4) =10, σ33 = C33 - (u3+v3) = 12 - (-5+5) = 12
ⅠⅡ ⅡⅢ ⅢⅣ Ⅳ销量
Ⅰ Ⅰ
10 10.8
10
Ⅱ Ⅱ
15 10.95 11.10
15
xm1 xm2 xmn sm x11 x21 xm1 D1
x1n x2n xmn Dn xij 0, (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
5.1 运输问题的数学模型
二、运输问题线性规划模型的特点
行号 X11 X12
…
X1n X21 X22
…
X2n
…
Xm1 Xm2
第 i 季度生产的用于j季度交货的每台柴油机的实际成本 cij 应该是该季度单位成本加上储存、维护等费用。Cij 的具体数值 见表。
j
Ⅰ
I
Ⅰ
10.8
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅱ
10.95 11.10
Ⅲ
11.10 11.25 11.00
Ⅳ
11.25 11.40 11.15 11.30
5.3 运输模型的进一步讨论
三、某些特殊问题的建模与求解
11
…
…
Ym
M
Ym+1 m+1 1
1
Ym+2 m+2
1
1
…
…
…
Ym+n m+n
1
ij Cij ( yi y jm )
… X2n … Xm1 Xm2 … Xmn
…1
…
11…1
1
1
…
…
1…
1
5.1 运输问题的数学模型
二、运输问题线性规划模型的特点
ij cij CB B1Pij C YPij cij ( y1, y2, ym , cij ( yi ym j )
伏格尔法基本思路是：一产地的产品若不能按最小运 费就近供应，就应考虑次小运价地点，最小运价与次小运 价的差额越大，预示不能按最小运费调运时，费用增加就 会越多。因而，应首先挑选差额最大处（行或列），然后 采用最小运费调运原则。
5.2 运输模型求解
伏格尔（Vogel）法
B1
B2
B3
B4
行差额
产量
A1 A2 A3 列差额
5.2 运输模型求解
一、表上作业法--运输单纯形法
5
13
3 30
9
30
11
6 60
60
5 40
4 10
12
50 40
12 30
10
7 30
60 30
70 30
40 10 90 30
5.2 运输模型求解
二、最优解判别--位势法
由运输模型特征分析知，检验数表达形式为：
ij Cij (ui v j )
…
Xmn
1
11…1
2
11…1
…
…
M
11…1
m+1 1
1
1
m+2
1
1
1
…
…
…
…
m+n
1
1…
1
模型特征: 1） aij= 0或1（只有这两种可能性），且每一列只有两个1， 余者为0。决策变量xij的系数列向量第i个元素为1 ,第m + j个元素为1。 2）在运输平衡条件下（ΣSi=ΣDj）,独立的约束方程的个数 仅为m + n –1个，因而其基解的非零分量个数不多于m + n - 1个。
步骤： 1）建立运输矩阵并确定初始基可行解； 2）最优解判别，达到最优时停止，否则转下一步； 3）换基迭代，找出新的基可行解，返回（2）。
运价
分 A1 A2
厂 A3 销量（吨）
销地
B1 B2 B3 B4
5 13 5 12 3 11 4 10 9 6 12 7 30 60 50 60
产量（吨）
70 40 90
基变量：σij=0
我们有m + n – 1 = 6 个基变量：
可得出6个方程：
基变量 x13 x21 x32
方程 u1+v3=5 u2+v1=3 u3+v2=6
Cij = ui + vj
40/ 5
30/ 12
30/ 3
10/ 4
60/ 6
30/ 7
基变量 x14 x23 x34
方程 u1+v4=12 u2+v3=4 u3+v4=7
当ΣSI>ΣDj时，增加一个虚拟需求点（相应地加一虚拟列），处理方法 类似。
5.3 运输模型的进一步讨论
一、产销不 平衡的运输 问题求解
Supply points A1 A2 A3
demand
Demand points
B1 B2 73 55 74
B3
B4 B5
8 80
6 80
9 10 0
150 150 120 80
1．生产计划问题
销地 产地
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
D
产量
Ⅰ
10.8
10.95
11.10
11.25
0
25
Ⅱ
M
11.10
11.25
11.40
0
35
Ⅲ
M
M
11.00
11.15
0
30
Ⅳ
M
M
M
11.30
0
10
销量
10
15
25
20
30
用表上作业法求解可得多个最优作业方案，其中之一如下（ 773万元）：
销售季度 生产季度j IⅠ
X34: u3 = 7 - v4 = 7 - (12- u1) = u1 – 5; X32: v2 = 6 - u3 = 6 - ( u1-5) = 11 - u1
总结：
ui = u1 - ki;
vj = kj - u1
其中ki、kj是仅与基变量所在处运价有关的数值。
u1取值不同, 其它 ui 及 vj 的取值确会发生变化，但检验数：
总运费: 1250元。
x14=20（A1向B4运20吨） x24=10（A2向B4运10吨） x34=30（A3向B4运30吨）
以上求解过程表现为两套表格，一套是解的表格，另一套是检验数表格 (m 行n列) ，运输问题的表上作业法要简单得多。
5.2 运输模型求解 求初始解的方法——伏格尔（Vogel）法
30
10
60
30
5.2 运输模型求解
ui
(0)
(2)
5
12
0
3
(2)
(1)
10
-2
(9)
6
(12)
7
-5
vj
5
11
5
12
50
20
30
10
60
30
5
13
5
12
3
11
4
10
9
6
12
7
5.2 运输模型求解
50
20
30
10
60
30
最优解 ：x13=50（A1向B3运50吨）， x21=30（A2向B1运30吨）， x32=60（A3向B2运60吨），
当 ΣSi<ΣDj ， 增 加 一 个 虚 拟 供 货 点 ， 令 其 供 货 量 为 所 需 差 额 （ 即 ΣDiΣSj），运输表多了一行，所需之货物未被满足，其运价定为零。在求初解 时，可以暂不考虑该行，最后将剩余量填入该行的相应格内；也可以一并考 虑各行（包括虚拟行），统一按最小元素法（或其他方法）求初解。
5.1 运输问题的数学模型 二、运输问题线性规划模型的特点
这两个特征给我们在求解时提供了方便之处： 1）基变量个数为 m + n - 1; 2）求检验数时，公式简单。
m
j C j CB B1Pj C j aij yi
i 1
行号 X11 X12
…
X1n X21 X22
Y1
1
11…1
Y2
2
Cmn
Dn
供应量
S1 S2 . . Sm
5.1 运输问题的数学模型 一、运输问题及其线性规划模型
运输问题：确定合理的调运方案，使总运费最低。 决策变量 xij： 从供应点Ai到需求点Bj的运量。
在产销平衡条件下 min
（ΣSi=ΣDj时）， 可建立线性规划 模型：
z c11x11 c12 x12 cmn xmn x11 x12 x1n s1