平面简谐波的波动方程.ppt

y

Acos[2 ( t
T

x

)

0
]
y

A c os [2
( ut

x) 0]
波动方程的推导
u
y
x
P
O
x
P点在t时刻，将重复原点在(t x ) 时刻的振动状态。
由O点振动方程
u
yO Acos( t 0 )
可写出P点振动方程为：
y

A c os[ ( t

x) u
t T
2
x

0 ]
即有：
y Acos[2 ( t
T

x

)

0
]
6.2 平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_1
y

A c os[ ( t

x) u
0
]
（1）若xy(tx)为0给A定co值s，(则t 波动ux方0 程蜕0 )化为振动方程。
在同一时刻，同一波线上x1、x2处两质点的位相为：
Δφ -2π -4π -6π -8π -10π …
6.2 平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_2
y

A c os[ ( t

x) u
0
]
（2）若 t ty0为(x给) 定 值Ac，o则s[波(动t0方程ux )只是坐0 ]标x函数：
它表示一条简谐函数曲线，说明它是一列简谐波。
y

A c os[ ( t

x) u
0
]
（3）若t，x 都在变化，则波动方程反映了波形不断
向前推进的波动传播的全过程。
t0时刻波形
y(x)

A c os [ (t0

x) u
0]
t0+Δt时刻波形
y(x)
A
c os [ (t0

t

x u
)

0
]
行波
6.2 平面简谐波的波动方程
从0.005s到0.0075s经历了Δt=0.0025s，则波向前传播了
x 0.0025400 1m
即t=0.0075s时刻的波形，只需将t=0.005s时刻的波形 向前移动1m即可得到。1m =???????
6.2 平面简谐波的波动方程_例题
波动方程可得t=0.005s时刻的波形方程： y
0 ]
任意一质点为坐标原点的波动方程
一平面波在介质中以速度u=20m/s沿直线传播，
已知A的振动方程为
yA 3cos(4，写t)出分别以
A、B点为坐标原点的波动方程。
8m 5m 9m
u
C BA
D
x
解：已知u=20m/s，ω=4π，
T 2 0.5s
A点

yA 3cos(4 t)
y

3cos[4 (t

u
x
)]
20
常用的波动方程表达式 （以正方向传播为例）
波动方程一般形式
y

A c os[ ( t

x) u

0 ]
因 2 v 2
T
u T 2
2 u
方程展开：
y

A c os [
t


u
x
0 ]
代入
y

A c os [2
uT 10m
y 3cos[4 ( t x )]
20
B点
yB 3cos(4 t )
y 3cos[4 (t x ) ]
20
任意一质点为坐标原点的波动方程
8m 5m 9m
u
C BA
D
x
u=20m/s，ω=4π，
uT 10m
T 2 0.5s
A

0.1,

200 ,0

3 2

即O点振动方程为：yO

0.1cos(200
t

3 2
)
根据波动方程通式则得：
y

0.1cos[200
(
t

x) 400

3 2

]
6.2 平面简谐波的波动方程_例题
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 衡位置且向正方向运动时为计时起点。
§6.2 平面简谐波的波动方程
1、平面简谐波的波动方程 2、波动方程物理意义 3、平面简谐行波的微分方程
6.2 平面简谐波的波动方程
1、平面简谐波的波动方程
设有一平面简谐波，在无吸收的、均匀的、无 限大的介质中沿x轴正方向传播。速度为u。
任取一点作坐标原点O，并在原点振动位相为 φ0 时开始计，即O点振动方程为：
yO Acos( t 0 )
设P为x轴上任一点，坐标为x，用y表示该点偏
离平衡位置的位移，则P点振动方程为：
y

A c os[ ( t

x) u

0 ]
波动方程的推导
y
u
O
P
x
x
P点在t时刻，将重复原点在 (t x ) 时刻的振动状态。
由O点振动方程
u
yO AcosBiblioteka Baidu t 0 )
（1）写出波动方程； （2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为 原点的波动方程；
（3）画出t=0.005s和t=0.0075s的波形图。
解：(1)设O处的振动方程为：y A cos[ t 0 ]
根据初始条件：t 0, y0 0, v0 0且v0 vm
可得O点的振动方程参数：
由于波从左向右传播，因此B点振动始终超前于A点，超
前时间Δt为: t x 5 0.25s
u 20
即B点振动方程为：
yB 3cos 4 (t 0.25) 3cos(4 t )
波动方程一般 形式 y Acos[(t x) ] ，则以B点坐标原点
的波动方程为：
（1）O点振动方程
yO

0.1cos(200
t

3 2

以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[200
) (
t

x) 400

3 2

]
（2）写出距原点为2m处的质点P的振动方程及以此点为
原点的波动方程；
解：(2)由波动方程可得P (x=2m )处的振动方程：
yP

0.1cos[200 (t
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：

(t2
t1)

2
T
t
时间周期性
时间周期性
y
t T
对同一质点，相邻两个时刻位相差为：
(t2
位移差与位相差
t1)

2
T
t
Δt T 2T 3T 4T 5T … Δφ 2π 4π 6π 8π 10π …
6.2 平面简谐波的波动方程
2、波动方程物理意义_3
2、波动方程物理意义_行波
例题
x ut
由图可知：x 处 t 时刻振动状态经Δt ，传播到x+Δx 处；即 t 时刻x 处 振动状态与t +Δt 时刻x+Δx 处振动状态完全相同。
y(t t, x x) y(t, x) —— 行波
6.2 平面简谐波的波动方程_例题
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 衡位置且向正方向运动时为计时起点。
0.1
0.05 -0.05
x
2
4
6
8
10
12
-0.1
6.2 平面简谐波的波动方程_例题
波动方程可得t=0.0075s时刻的波形方程：
y
1 4

0.1
0.05 -0.05
x
2
4
6
8
10
12
-0.1
由于u=400m/s,T=0.01s
4000.01 4m
则Δx=1m，相当于λ/4 ;对应的Δt=0.0025，相当于T/4.
一切平面波必须满足此波动的微分方程。
注：对于任一沿x轴方向传播的平面波，若不是简谐波， 则可以认为是由许多不同频率的平面简谐波的合成。
1

(t

x1
u
0 )
2

(t
x2
u
0 )
则任意两质点间位相差为：



2
( x2

x1)
空间周期性
空间周期性
y
x λ
在同一时刻，同一波线上x1、x2处两质点的位相差为：



2
( x2

x1 )


2
x
位移差与位相差
Δx λ 2λ 3λ 4λ 5λ …
可写出P点振动方程为：
y

A c os[ ( t

x) u

0 ]
6.2 平面简谐波的波动方程
1、平面简谐波的波动方程_讨论
（1）若平面简谐波，沿x轴负方向传播。则波动方
程形式为…?
y

A c os[ ( t

x u
)
0
]
（2）若任意一质点为坐标原点,其波动方程形式…??
（3）常用的波动方程表达式：(以正方向传播为例）

2) 400

3 2

]

0.1cos(200
t

1 2

)
则以此点为原点的波动方程为：
y

0.1cos[
200
(
t

x 400
)

1 2

]
6.2 平面简谐波的波动方程_例题
例 一列横波以u=400m/s波速沿x轴正向传播。位于坐标原点 O处的质点的振动T= 0.01s，A= 0.1m，取原点处质点经过平 衡位置且向正方向运动时为计时起点。
（1）O点振动方程
yO

0.1cos(200
t

3 2

以O点为原点的波动方程 y 0.1cos[200
（3）画出t=0.005s和t=0.0075s波形。
) (
t

x) 400

3 2

]
解：(3)由波动方程可得t=0.005s时刻的波形方程：
y 0.1cos( x)
波形
22
6.2 平面简谐波的波动方程
3、平面简谐行波的微分方程
y

A c os[ ( t

x) u
0]
将波动方程分别对t和x求二阶导数
2 y t 2

A 2
cos[( t

x u
)


0
]
2 y x 2

2
A u2
cos[( t

x) u
0]
2y 1 2y x2 u2 t 2