《高等数学》中求导的常用求法

求导法则及基本求导公式

求导法则及基本求导公式求导法则是微积分中的重要内容，用于求解函数的导数。

通过求导法则，我们可以将复杂的函数求导问题转化为简单的计算问题。

本文将介绍常见的求导法则及基本求导公式。

1.基本求导公式：（1）常数函数求导公式：如果f(x)=C（C是常数），那么f'(x)=0。

（2）幂函数求导公式：如果f(x) = x^n （n是实数），那么f'(x) = nx^(n-1)。

其中，对于n不等于1的情况，需要注意一点：如果n是一个整数，那么求导过程中，指数函数仍然满足乘法法则，即令n作为常数处理；如果n是一个实数但不是整数，那么求导过程中，必须使用指数函数的导数公式。

（3）指数函数和对数函数求导公式：（a）指数函数求导公式：如果f(x) = a^x （a>0，且不等于1），那么f'(x) = ln(a) * a^x。

（b）自然对数函数求导公式：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。

（4）三角函数求导公式：（a）正弦函数求导公式：如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) =cos(x)。

（b）余弦函数求导公式：如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。

（c）正切函数求导公式：如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) =sec^2(x)。

2.求导法则：（1）和差法则：如果f(x)=g(x)+h(x)，那么f'(x)=g'(x)+h'(x)。

同样地，对于减法来说，如果f(x)=g(x)-h(x)，那么f'(x)=g'(x)-h'(x)。

（2）乘法法则：如果f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。

（3）除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/(h(x))^2（4）复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)=g(h(x))，那么f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

求导数的方法

4-3 隐函数的求导
例13 由方程解
x sin y = cos( x + y )
，求 y ′(0, )
2
π
（x sin y )′x = (cos( x + y ))′x
sin y + x cos y ⋅ y ′ = − sin( x + y )(1 + y ′)
代入
x = 0和y =
π
2
得 y ′ = −2
y = sin u
u = 1+ x2
2 ′（ ′x y ′ = (sin u ) u 1 + x ）
= cosu × ( 2 x )
= 2 x cos(1 + x 2 )
例6 求 y = (1 − x 2 ) 5 的导数解
y = u5
u = 1− x2
y ′ = ( u 5 ) ′（ − x 2 )′x = 5u 4 × ( − 2 x ) u 1
精品课程
序言第1章第2章第3章第4章第5章第6章第7章第8章函数导数定积分求导方法导数应用求积分方法定积分应用微分方程
4-1 求导公式与求导法则
即
(tan x ) ′ = sec
2
x
可类似推导出其它求导基本公式
′ = − csc2 x （cot x)
(secx)′ = secx tanx
1 y ′ cos y = 1，即y ′ = cos y
而所以
cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2
y′ = 1 1− x2
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常用的基本求导公式

常用的基本求导公式在微积分中，求导是一种求函数导数的运算，它是微积分的基础知识。

常用的基本求导公式是指在求导时所要运用的一些基本规则和公式。

下面是一些常用的基本求导公式：1.常数规则：如果f(x)=c，其中c是一个常数，那么f'(x)=0。

2. 幂规则：如果f(x) = x^n，其中n是实数，那么f'(x) = nx^(n-1)。

这条规则表示，对于任意整数n，常数倍的幂函数都是自己的导数。

3.指数规则：如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。

这条规则表示，自然指数函数的导数等于自身。

4. 对数规则：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。

这条规则表示，自然对数函数的导数是其自变量的倒数。

5.三角函数的导数规则：(a) 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。

这条规则表示，正弦函数的导数是余弦函数。

(b) 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。

这条规则表示，余弦函数的导数是负的正弦函数。

(c) 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。

这条规则表示，正切函数的导数是它的平方的倒数。

6.反函数的求导规则：如果y=f(x)是可逆的，并且f'(x)≠0，那么f^(-1)'(y)=1/f'(x)。

这条规则表示，如果f(x)的导数不为零，那么其反函数的导数等于原函数导数的倒数。

7.和、差、积的求导规则：(a)f(x)+g(x)的导数等于f'(x)+g'(x)。

(b)f(x)-g(x)的导数等于f'(x)-g'(x)。

(c)f(x)g(x)的导数等于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

8.商的求导规则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/[h(x)]^2、这条规则表示，一个函数的商的导数等于分子导数与分母的导数之差除以分母的平方。

三角函数求导公式大全高等数学

三角函数求导公式大全高等数学在高等数学中，三角函数求导是一个非常重要的内容，也是求导的基本技巧之一、在求导过程中，经常会用到一些公式来求解三角函数的导数。

以下是常用的三角函数求导公式汇总：1. $\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)$：此公式表明，对于正弦函数求导，其导数为余弦函数。

2. $\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$：这个公式表明，对于余弦函数求导，其导数为负的正弦函数。

3. $\frac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)$：对于正切函数求导，其导数为它的平方根的倒数的平方。

4. $\frac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^2(x)$：对于余切函数求导，其导数为其平方根的倒数的负平方。

5. $\frac{d}{dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$：对于正割函数求导，其导数等于正割函数与正切函数的乘积。

6. $\frac{d}{dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$：对于余割函数求导，其导数等于余割函数与余切函数的乘积的相反数。

除了上述基本的三角函数求导公式，还有一些复合函数的求导公式：7. $\frac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx)$：对于形如$sin(kx)$的函数求导，其中k是常数，导数等于k乘以余弦函数。

8. $\frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx)$：对于形如$cos(kx)$的函数求导，其中k是常数，导数等于-k乘以正弦函数。

9. $\frac{d}{dx}\tan(kx)=k\sec^2(kx)$：对于形如$tan(kx)$的函数求导，其中k是常数，导数等于k乘以正割函数的平方。

10. $\frac{d}{dx}\cot(kx)=-k\csc^2(kx)$：对于形如$cot(kx)$的函数求导，其中k是常数，导数等于-k乘以余割函数的平方。

高等数学导数公式大全

高等数学导数公式大全在高等数学中，导数是一个非常重要的概念，它反映了函数在某一点处的变化率。

导数公式则是求解导数的基本工具，熟练掌握这些公式对于学习和应用高等数学具有至关重要的意义。

下面，我们将详细介绍常见的导数公式。

一、基本函数的导数公式1、常数函数的导数若＼（f(x) ＝ C\）（＼（C\）为常数），则＼（f'（x) ＝ 0\）。

这意味着常数函数的图像是一条水平直线，其斜率始终为零，即变化率为零。

2、幂函数的导数对于＼（f(x) ＝ x^n\）（＼（n\）为实数），其导数为＼（f'（x) ＝ nx^｛n 1}＼）。

例如，＼（f(x) ＝ x^2\）的导数为＼（f'（x) ＝ 2x\）；＼（f(x) ＝x^3\）的导数为＼（f'（x) ＝ 3x^2\）。

3、指数函数的导数若＼（f(x) ＝ e^x\），则＼（f'（x) ＝ e^x\）。

＼（e\）是一个常数，约等于＼（271828\），＼（e^x\）的导数等于其本身，这是指数函数的一个重要特性。

若＼（f(x) ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\）），则＼（f'（x) ＝ a^x ＼ln a\）。

4、对数函数的导数若＼（f(x) ＝＼ln x\），则＼（f'（x) ＝＼frac{1}｛x}＼）。

若＼（f(x) ＝＼log_a x\）（＼（a ＞ 0\）且＼（a ＼neq 1\）），则＼（f'（x) ＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）。

二、三角函数的导数公式1、＼（f(x) ＝＼sin x\），则＼（f'（x) ＝＼cos x\）。

2、＼（f(x) ＝＼cos x\），则＼（f'（x) ＝＼sin x\）。

3、＼（f(x) ＝＼tan x\），则＼（f'（x) ＝＼sec^2 x\）。

4、＼（f(x) ＝＼cot x\），则＼（f'（x) ＝＼csc^2 x\）。

求函数的导数的方法总结

求函数的导数的方法总结在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。

对于给定的函数，求导数是一种常见的操作。

本文将总结几种常用的方法来求函数的导数，以帮助读者更好地理解和应用导数的概念。

1. 导数定义法导数定义法是最基本的求导方法，根据导数的定义，我们可以通过求极限来计算函数的导数。

设函数 f(x) 在点 x0 处可导，则它的导数f'(x) 在该点的计算公式为：f'(x) = lim(h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h2. 基本函数导数法则基本函数导数法则是根据基本函数的性质和已知导数的结果，推导得到其他函数的导数。

常见的基本函数导数法则包括：- 常数法则：若 f(x) = c（常数），则 f'(x) = 0；- 幂函数法则：若 f(x) = x^n，其中 n 是实数，则 f'(x) = nx^(n-1)；- 和差规则：若 f(x) = g(x) ± h(x)，则 f'(x) = g'(x) ± h'(x)；- 乘法法则：若 f(x) = g(x) × h(x)，则 f'(x) = g'(x) × h(x) + g(x) × h'(x)；- 除法法则：若 f(x) = g(x) / h(x)，则 f'(x) = (g'(x) × h(x) - g(x) × h'(x)) / h(x)^2；- 复合函数法则：若 f(x) = g(h(x))，则 f'(x) = g'(h(x)) × h'(x)。

3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是常见的函数类型，它们具有特殊的导数规律：- 指数函数：若 f(x) = a^x，其中 a 是实常数且 a > 0，则 f'(x) = a^x ×ln(a)；- 自然对数函数：若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x；- 一般对数函数：若 f(x) = log_a(x)，其中 a 是实常数且 a > 0 且a ≠ 1，则 f'(x) = 1 / (x × ln(a))。

常用的求导公式高数

常用的求导公式高数
1. 常数函数求导：常数函数的导数为零。

2. 幂函数求导：若y=x^n，则导函数dy/dx=nx^(n-1)。

3. 指数函数求导：若y=a^x，则导函数dy/dx=a^xln(a)。

4. 对数函数求导：若y=log_a(x)，则导函数dy/dx=1/(xln(a))。

5. 三角函数求导：若y=sin(x)，则导函数dy/dx=cos(x)；若
y=cos(x)，则导函数dy/dx=-sin(x)；若y=tan(x)，则导函数
dy/dx=sec^2(x)。

6. 反三角函数求导：若y=arcsin(x)，则导函数dy/dx=1/sqrt(1-x^2)；若y=arccos(x)，则导函数dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)；若
y=arctan(x)，则导函数dy/dx=1/(1+x^2)。

7. 复合函数求导（链式法则）：若y=f(g(x))，则导函数
dy/dx=f'(g(x))g'(x)。

8. 乘积函数求导（乘积法则）：若y=u(x)v(x)，则导函数
dy/dx=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

9. 商函数求导（商法则）：若y=u(x)/v(x)，则导函数
dy/dx=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v(x)^2。

以上是常用的求导公式，可以用于求解高等数学中的导数问题。

【高等数学】求导公式一览表

0
微积分--求导法则
18
y e x (sin x cos x) y (e x )(sin x cos x) (e x )(sin x cos x)
e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x
y ( x2 3a x )(sin x 1)
x, ln(1
x),
x0 ,
求f ( x).
x0
解当x 0时, f ( x) 1,
当x 0时, f ( x) lim ln(1 x x) ln(1 x)
x 0
x
lim 1 ln(1 x ) lim 1 x 1 ,
x0 x
1 x x0 x 1 x 1 x
当x
0时,
y ( x2 3a x )(sin x 1) ( x2 3a x )(sin x 1)
(2x 3a x ln a)(sin x 1) ( x2 3a x )cos x
f ( x) x sin x
1 cos x
f
( x)
( x sin
x)(1
cos x) (1 cos
x sin x)2
特殊： x 1 , ( x2 ) 2x
(
1 ) x
1 x2
,
(
x ) 1 2x
2021/4/9
微积分--求导法则
2
3.对数函数的导数
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
4.正、余弦函数的导数
(sin x) cos x
(cos x) sin x
2021/4/9
微积分--求导法则
解 x loga y 在(0,+∞)内单调连续, 值域(-∞,+∞)

常见求导公式大全

常见求导公式大全在微积分中，求导是一个重要的概念，表示对一个函数进行微分运算，得到其导函数。

导函数描述了函数在不同点的斜率，是研究函数变化率和曲线性质的重要工具。

下面整理了一些常见的求导公式，供大家参考。

常数求导•常数函数：f(f)=f，其导数为f′(f)=0，其中f 为常数。

•加减常数函数：(ff(f))′=ff′(f)。

幂函数求导•幂函数：f(f)=f f，其中f为常数，则其导数为f′(f)=ff f−1。

•指数函数：f(f)=f f（其中f>0,f≠1），其导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。

三角函数求导•正弦函数：$f(x) = \\sin x$，其导数为 $f'(x) = \\cos x$。

•余弦函数：$f(x) = \\cos x$，其导数为 $f'(x) = -\\sin x$。

•正切函数：$f(x) = \\tan x$，其导数为 $f'(x) = \\sec^2 x$。

•余切函数：$f(x) = \\cot x$，其导数为 $f'(x) = -\\csc^2 x$。

对数函数求导•自然对数函数：$f(x) = \\ln x$，其导数为 $f'(x) = \\frac{1}{x}$。

•一般对数函数：$f(x) = \\log_a x$，其中f>0,f≠1，其导数为 $f'(x) = \\frac{1}{x\\ln a}$。

复合函数求导•复合函数求导（链式法则）：若f=f(f)，f= f(f)，则f=f(f(f))的导数为f′=f′(f(f))f′(f)。

反常函数求导•反正弦函数：$f(x) = \\arcsin x$，其导数为 $f'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。

•反余弦函数：$f(x) = \\arccos x$，其导数为 $f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。

高等数学18个求导公式

高等数学18个求导公式高等数学的求导，是高等数学的重要的基本技能。

求导的基本定义是求出一个函数的变化率，也就是求函数的导数。

下面给出18个求导公式：1.常数项求导公式：若y = c，其中c为常数，则y′ = 0；2.幂函数求导公式：若y = x^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1}；3.多次幂函数求导公式：若y = x^n + a^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1} + na^{n-1}；4.指数函数求导公式：若y = a^x，其中a为正数，则y′ = a^xln a；5.对数函数求导公式：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；6.三角函数求导公式：若y = sin x，则y′ = cos x；若y = cos x，则y′ = -sin x；若y = tan x，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}；7.反三角函数求导公式：若y = arcsin x，则y′ =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arccos x，则y′ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arctan x，则y′ = \frac{1}{1+x^2}；8.指数函数的导数：若y = e^x，则y′ = e^x；9.乘法公式求导公式：若y = f(x)g(x)，则y′ = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)；10.链式法则求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；11.求和求导公式：若y = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)，则y′ =\sum_{i=1}^{n} f'(x_i)；12.积分求导公式：若y = \int f(x)dx，则y′ = f(x)；13.极限求导公式：若y = \lim_{x \to a} f(x)，则y′ =\lim_{x \to a} f'(x)；14.复合函数求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；15.乘方公式求导公式：若y = (f(x))^n，其中n为正整数，则y′ = n(f(x))^{n-1}f'(x)；16.幂函数的导数：若y = x^n，则y′ = nx^{n-1}；17.对数函数的导数：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；18.三角函数的导数：若y = sinx，则y′ = cosx；若y = cosx，则y′ = -sinx；若y = tanx，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}。

高中数学18个求导公式

高中数学18个求导公式求导是高中数学中的一个重要概念，它是微积分的基础。

在学习求导的过程中，掌握一些常见的求导公式对于解题非常有帮助。

本文将介绍高中数学中常见的18个求导公式，帮助读者更好地掌握这一技巧。

1. 常数函数$$\\frac{d}{dx}(c) = 0$$（其中c为常数）2. 幂函数$$\\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$（其中n为常数）3. 指数函数$$\\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \\cdot \\ln(a)$$（其中a为常数且不等于1）4. 对数函数$$\\frac{d}{dx}(\\log_a{x}) = \\frac{1}{x\\ln(a)}$$（其中a为常数且大于0且不等于1）5. 正弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\sin{x}) = \\cos{x}$$6. 余弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\cos{x}) = -\\sin{x}$$7. 正切函数$$\\frac{d}{dx}(\\tan{x}) = \\sec^2{x}$$8. 反正弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\arcsin{x}) = \\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}}$$9. 反余弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\arccos{x}) = -\\frac{1}{\\sqrt{1 -x^2}}$$10. 反正切函数$$\\frac{d}{dx}(\\arctan{x}) = \\frac{1}{1 + x^2}$$11. 双曲正弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\sinh{x}) = \\cosh{x}$$12. 双曲余弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\cosh{x}) = \\sinh{x}$$13. 双曲正切函数$$\\frac{d}{dx}(\\tanh{x}) = \\frac{1}{\\cosh^2{x}}$$14. 双曲反正弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\arcsinh{x}) = \\frac{1}{\\sqrt{x^2 + 1}}$$15. 双曲反余弦函数$$\\frac{d}{dx}(\\arccosh{x}) = \\frac{1}{\\sqrt{x^2 - 1}}$$16. 双曲反正切函数$$\\frac{d}{dx}(\\arctanh{x}) = \\frac{1}{1 - x^2}$$17. 指数函数的特殊情况$$\\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$18. 对数函数的特殊情况$$\\frac{d}{dx}(\\ln{x}) = \\frac{1}{x}$$以上就是高中数学中常见的18个求导公式。

高等数学函数求导

高等数学函数求导在高等数学中，函数的求导是指计算函数在某一点处的导数，即函数在该点处的斜率。

函数的求导是数学分析的一个重要内容，在很多领域都有广泛应用，如物理学、工程学、经济学等。

函数的求导一般使用微积分的求导法则来计算。

常用的求导法则包括：常数乘法法则：如果f(x)是可导函数，a是常数，那么af(x)的导数为af'(x)。

常数加法法则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么f(x) + g(x)的导数为f'(x) + g'(x)。

绝对值函数求导法则：如果f(x)是可导函数，那么|f(x)|的导数为f'(x)sgn(f(x))，其中sgn(f(x))是f(x)的符号函数，当f(x) > 0时，sgn(f(x)) = 1；当f(x) < 0时，sgn(f(x)) = -1；当f(x) = 0时，sgn(f(x)) = 0。

幂函数求导法则：如果f(x) = x^n（n为常数），那么f'(x) = nx^(n-1)。

复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)。

还有许多其他的求导法则，如高次复合函数求导法则、导数的连续性、指数函数求导法则、导数的反函数法则、导数的极值定理等。

在求导过程中，需要注意以下几点：函数的求导是基于函数在某一点处的变化率，所以函数的求导是在某一点处进行的。

函数的求导是一种局部性概念，因此函数的求导只能在函数的可导区间内进行。

函数的求导是基于函数的近似表达式进行的，因此函数的求导结果也是近似的。

函数的求导是使用微积分的求导法则进行的，因此需要熟练掌握微积分的求导法则。

高等数学常用导数公式大全

高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。

导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。

本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。

常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。

2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。

3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。

4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。

5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。

6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。

复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。

高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。

隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。

常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。

导数求导基本公式

导数求导基本公式导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。

求导是求函数的导数的过程。

导数的基本公式是求常见函数的导数所使用的公式，掌握了这些基本公式，能够方便地求解各种函数的导数。

一、常数函数的导数对于常数函数f(x)=C，其中C为常数，它的导数为0，即f'(x)=0。

二、幂函数的导数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为实数，它的导数为f'(x) =nx^(n-1)。

三、指数函数的导数对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = a^x·ln(a)，其中ln(a)为自然对数。

四、对数函数的导数对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = 1/(x·ln(a))。

五、三角函数的导数(1)正弦函数的导数对于正弦函数f(x) = sin(x)，它的导数为f'(x) = cos(x)。

(2)余弦函数的导数对于余弦函数f(x) = cos(x)，它的导数为f'(x) = -sin(x)。

(3)正切函数的导数对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数为f'(x) = sec^2(x)。

(4)余切函数的导数对于余切函数f(x) = cot(x)，它的导数为f'(x) = -csc^2(x)。

(5)反正弦函数的导数对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，它的导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。

(6)反余弦函数的导数对于反余弦函数f(x) = arccos(x)，它的导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。

(7)反正切函数的导数对于反正切函数f(x) = arctan(x)，它的导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。

六、双曲函数的导数(1)双曲正弦函数的导数对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，它的导数为f'(x) = cosh(x)。

高等数学求导法则

五、函数的可导性与连续性的关系
定理1. 定理证: 设存在 , 因此必有其中故所以函数在点 x 连续 . 在点 x 处可导, 即
∆x →0
y= x
y
注意: 连续未必可导. 注意函数在点 x 连续未必可导反例: 反例在 x = 0 处连续 , 但不可导.
o
x
可导必连续, 但连续不一定可导;
(ax )′ =ax lna
1 (loga x)′ = xlna 1
(ex )′ = ex
1 (lnx)′ = x
2
(arcsinx)′ =
1− x 1 (arctanx)′ = 1+ x2
(arccosx)′ = −
1
1− x2 1 (arccot x)′ =− 1+ x2
四、导数的几何意义
曲线若若若若在点
dα 1 dh sec α⋅ = dt 500 dt
2
h
sec2 α =1+ tan2 α
dh 已知 =140m m , h = 500m 时, tanα =1,sec2 α = 2 , in dt dα 1 1 (rad/ m ) in = ⋅ ⋅140 dt 2 500
第五节函数的微分
一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用
,求
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ d x t=0
x = t2 +2t (0 <ε <1 ) 例. 设由方程 2 t − y +ε sin y =1
确定函数 y = y(x), 求解: 方程组两边对 t 求导 , 得

导数求导的方法

导数求导的方法当我们谈论导数和求导的方法时，实际上是在讨论函数的变化率，以及如何计算函数在某一点的斜率或变化率。

在数学上，导数表示函数在某一点处的斜率，可以帮助我们找到函数的最大值、最小值和函数的变化趋势。

以下是关于导数求导的50种方法，包括基本的导数规则、常见函数的导数计算以及一些常用的求导技巧。

1. 基本导数规则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导、反三角函数求导等。

2. 使用极限定义：根据导数定义的极限表达式，计算函数在某一点的导数。

3. 使用导数的性质：利用导数的性质，如加法性、乘法性、导数与乘积的关系、导数与商的关系等，简化函数的导数计算。

4. 利用链式法则：对复合函数求导时，使用链式法则计算导数，将复合函数拆解成简单的函数并依次求导。

5. 利用反函数求导：利用反函数的导数与原函数导数的倒数关系，对反函数求导。

6. 隐函数求导：对含有隐函数的方程，利用隐函数求导公式计算导数。

7. 用总导数公式：对多元函数，利用总导数公式计算偏导数。

8. 利用对数求导：对指数函数求导时，可以先将指数函数化为自然对数形式，再进行求导。

9. 利用差商定义求导：将函数的差商形式化，然后利用极限定义计算导数。

10. 利用牛顿-莱布尼茨公式：对定积分求导时，利用牛顿-莱布尼茨公式将导数和定积分联系起来。

11. 利用泰勒展开式：通过泰勒展开式将函数转化为多项式形式，然后求导。

12. 利用微分方程求导：对包含微分方程的函数，通过微分方程的特定形式计算导数。

13. 利用参数方程求导：对包含参数方程的函数，利用参数方程的导数计算方式求导。

14. 利用极坐标求导：对极坐标形式的函数，通过极坐标的导数计算方式求导。

15. 利用数值方法求导：通过数值微分或数值积分方法估算导数值。

16. 利用导数的几何意义：利用导数表示函数在某一点的切线斜率，计算导数。

17. 利用对称性求导：利用函数的对称性质简化导数计算过程。

高等数学导数16个基本公式

高等数学导数16个基本公式在高等数学中，导数是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。

掌握导数的基本公式对于解题至关重要。

在本文中，我们将重点介绍高等数学中的16个导数的基本公式，以帮助读者更好地理解和运用导数的概念。

1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的斜率，即函数在该点的瞬时变化率。

若函数f(f)在f0处可导，则其导数定义为:$$ f'(x_0)=\\lim_{{\\Delta x\\to 0}}\\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x} $$其中f′(f0)表示f(f)在f0处的导数。

2. 常数函数导数对于常数函数f，其导数为0，即(f)′=0。

3. 幂函数导数对于幂函数f=f f，其中f为常数，则有(f f)′=ff f−1。

4. 指数函数导数对于指数函数f=f f，其中f为常数，则有$(a^x)'=a^x\\ln(a)$。

5. 对数函数导数对于对数函数$y=\\log_ax$，其中f为常数，则有$(\\log_ax)'=\\frac{1}{x\\ln(a)}$。

6. 三角函数导数•$\\sin'(x)=\\cos(x)$•$\\cos'(x)=-\\sin(x)$•$\\tan'(x)=\\sec^2(x)$•$\\csc'(x)=-\\csc(x)\\cot(x)$•$\\sec'(x)=\\sec(x)\\tan(x)$•$\\cot'(x)=-\\csc^2(x)$7. 反三角函数导数•$\\arcsin'(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arccos'(x)=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$•$\\arctan'(x)=\\frac{1}{1+x^2}$8. 和差积商导数法则•$(u\\pm v)'=u' \\pm v'$•(ff)′=f′f+ff′•$\\left(\\frac{u}{v}\\right)'=\\frac{u'v-uv'}{v^2}$9. 链式法则如果函数f=f(f(f))为复合函数，则有$y'=f'(g(x))\\cdot g'(x)$。

高数求导例题分式计算公式

高数求导例题分式计算公式在高等数学中，求导是一个非常重要的概念和技能。

求导的过程就是找出一个函数的导数，也就是函数在某一点的斜率。

求导的过程可以帮助我们理解函数的变化规律，解决实际问题中的最优化和极值等数学问题。

在这篇文章中，我们将重点讨论分式函数的求导问题，介绍分式函数求导的计算公式和一些例题。

分式函数的求导是高等数学中的一个重要内容，也是比较复杂的内容之一。

分式函数的一般形式为f(x) = g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)都是关于x的函数。

我们需要通过一定的方法和规则来求解这类函数的导数。

下面我们将介绍分式函数求导的计算公式和一些例题。

首先，我们来看一下分式函数的求导公式。

对于一个分式函数f(x) = g(x)/h(x)，它的导数可以通过以下公式来计算：f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / (h(x))^2。

其中，g'(x)和h'(x)分别表示g(x)和h(x)的导数。

这个公式就是分式函数求导的基本公式，我们可以通过这个公式来求解各种不同形式的分式函数的导数。

接下来，我们通过一些例题来演示分式函数的求导过程。

例题1，求函数f(x) = (2x + 1) / (x^2 + 1)的导数。

解，根据上面的求导公式，我们可以先求出g(x)和h(x)的导数，然后带入公式进行计算。

首先，求g(x)和h(x)的导数：g'(x) = 2。

h'(x) = 2x。

然后，带入求导公式进行计算：f'(x) = (2 (x^2 + 1) (2x + 1) 2x) / (x^2 + 1)^2。

= (2x^2 + 2 4x^2 2x) / (x^2 + 1)^2。

= (-2x^2 2x + 2) / (x^2 + 1)^2。

所以，函数f(x) = (2x + 1) / (x^2 + 1)的导数为f'(x) = (-2x^2 2x + 2) / (x^2 + 1)^2。