5第五章 连续时间傅里叶变换
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sin 0 t 1 t
F ( )
()
0 0
( ) /2
0 / 2
( )
0
（3）一般周期信号
两边同取傅立叶变换
f T (t )
n
+
Cn e
+
jn0t
2 ( 0 ) T
+
F [ f T (t )] F ( j ) F [
1. 线性特性
若f1 (t ) F1 ( j )；
F
f 2 (t ) F2 ( j )，
F
则af1 (t ) + bf2 (t ) aF1 ( ) + bF2 ( )
其中a和b均为常数。
2.共轭对称特性
若 则 f (t ) F ( j ) f * (t ) F * ( j )
1 F [u (t )] ( ) + j
u (t )
1
( )
F ( )
( ) /2
0
t
0
0 / 2
2 常见周期信号的频谱
(1) 虚指数信号
F ( ) (2 )
e j 0t ( t )
由 1 e jt dt 2 ()(直流信号）
(1) (1)
F[ T (t )] F[ T (t )]
( 0 ) ( 0 )
T 0 T T 0 T
t t
0 0 0 0 0 0
单位冲激序列及其频谱函数
傅里叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
0 0
0 lim [ 2 ] 2 0 +
2
d 2arctg( ) 2 2 2 +
2
对照冲激、直流时频曲线可看出:
f (t )
1
F ( ) (2 )
t
0
0
直流信号及其频谱 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
e e
( + j ) t
F[sgn(t )] lim F[sgn(t )e
0
t
]
2 j
F ( )
( ) /2
0
0
/ 2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
(6) 单位阶跃信号u(t)
单位阶跃信号及其频谱
1 1 u (t ) [u (t ) + u (t )] + [u (t ) u (t )] 1 + 1 sgn(t ) 2 2 2 2
我们回忆一下：
注：
注：
为傅里叶级数的系数（频谱系数）
当T0趋于无穷时，周期信号则变 成了非周期信号
1．从傅立叶级数到傅立叶变换
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为
n0t Cn Sa ( ) T 2 C T趋于无穷大时， 傅里叶系数趋于无穷小，为了描述 非周期信号的频谱特性引入了频谱密度的概念，也就是 傅里叶变换。 Cn lim lim TC n F ( j ) T f T 0
f ( x)e- j ( t 0 + x ) dx F ( j ) e-jt 0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。 [解] 无延时且宽度为t的矩形脉冲信号f(t) 如右图，
T
f (t )e j t dt 称为：傅里叶变换
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，称之 为非周期信号的频谱密度函数，为了和傅立叶级数统一， 也简称频谱函数。
单位频率因为：
Cn F ( j ) lim lim TC n T f T 0
2. 频谱函数与频谱密度函数的区别
0
0
é ¸ ý Å Å Ä µ × Ð Ö Ê Ð º µ Æ Æ
得F[e
同理:
j0t
] e j ( 0 )t dt 2 ( 0 )
F[e
- j0t
] e
j ( +0 ) t
dt 2 ( + 0 )
（ 2 ） 正弦型信号 余弦信号及其频谱函数
（5） 符号函数信号
符号函数定义为
1 t 0 sgn(t ) 0 t0 1 t0
0
F[sgn(t )e
t
]
(1)e e
( j ) t 0
t jt
dt + et e jt dt
0
1 1 + j t + j t 0 j + j
信号的频域分析
连续非周期信号的频域分析 常见连续时间信号的傅立叶变换对
连续时间Fourier变换的性质
离散非周期信号的频域分析 常见离散时间信号的傅立叶变换对 离散时间Fourier变换的性质
连续时间傅里叶变换
• • • • 从傅立叶级数到傅立叶变换 频谱函数与频谱密度函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
+
1 + jn 0t T (t ) (t nT ) e T n n
+ 1 F [ T (t )] 2 ( n 0 ) 0 ( n 0 ) n T n
+
T (t ) T (t )
dt (t )e jt dt
1
(t )
(1)
1
F ( )
0
t
0
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t |
2 ] 2 ( ) ] lim[ 2 2 0 +
f (t )e
j t
dt t A e
2 2
t
t
2
t
2
t
dt
F ( ) tA
At Sa(
t
2
)
2
2
t
t
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
n
C n e jn0t ]
+
n
C n F [e jn0t ]
F [ f T (t )] 2
n
C n ( n0 )
（4）单位冲激序列
因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：
T (t )
+
n
(t nT )
f * (t ) F * ( j)
当f(t)为是实函数时，有
|F(j )| = |F(j )| ， () = () F(j)为复数，可以表示为
F ( j ) F ( j ) e j ( ) FR ( j ) + jFI ( j )
FR ( j ) FR ( j ), FI ( j ) FI ( j )
0 0
2e
t
( sin t a cost ) 2a 2 2 2 0 a +2 a +
幅度频谱为 相位频谱为
2a F ( j ) 2 a +2
( ) 0
(3) 单位冲激信号δ(t)
单位冲激信号及其频谱
F[ (t )] f (t )e
jt
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F()/2]d 的复指数信号ej t的线性组合。
傅立叶正变换：
F ( j )
1 f (t ) 2
f (t )e
j t
dt
傅立叶反变换：
F ( j )e j t d
F ( j ) F [ f (t )]
1 j0t cos 0t (e + e j0t ) [ ( 0 ) + ( + 0 )] 2
cos 0t 1
( ) F ( ) ( )
t
0
0
0
正弦信号及其频谱函数
1 j0t j 0t sin 0t (e e ) j [ ( 0 ) ( + 0 )] 2j
( + j ) t
0
t
幅度频谱为
相位频谱为
F ( j )
A a2 + 2
( ) arctg( )
a
f (t ) 1
0
t
F ( ) 1/
( )
/2
0
0
/ 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
(2) 双边指数信号e-|t|
F ( j ) 2 f (t ) costdt 2 et costdt
f (t )
f1 (t )
A
因为
tA
n
1 Cn T 1 lim Cn lim T T T
T 2 T 2
T 2 T 2
f T (t )e
jn 0t
jn 0t
dt
f T (t )e
1 j t dt lim f (t )e dt T T
F ( j ) lim TC n
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
常见连续时间信号的频谱
• 常见非周期信号的频谱(频谱密度)
单边指数信号 双边指数信号e|t| 单位冲激信号(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t)
T
3.
T
傅里叶反变换
lim
f (t ) lim fT (t )
T
lim
T
n =—
n =—
Cn
e
jn 0t
F ( jຫໍສະໝຸດ Baidu ) 0 jn 0t e 2
T , 记n0=, 0=2/T=d,
1 f (t ) 2
F ( j )e j t d
注意：对于傅立叶变换，狄里赫莱条件是充分不必要条件
[例题] 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 [解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A， f (t ) 0， | t | t / 2 | t | t / 2
j t
f (t ) A
由傅立叶正变换定义式，可得
F ( j )
3． 时移特性
若f (t ) F ( j )
则f (t t0 ) F ( j ) e
-j t 0
式中t0为任意实数 证明：
F[ f (t t0 )]
f (t t0 )e
- jt
dt
令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得
F[ f (t t0 )]
符号表示：
f (t ) F [ F ( j )]
1
或
f (t ) F ( j )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（充分非必要 条件）
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。
• 常见周期信号的频谱密度
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
f (t ) e u (t )， 0，
t
f (t ) 1
F ( j ) f (t )e
jt
dt et e jt dt
0
e 1 ( a + j ) 0 a + j
(1) 周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。 (2) 周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个 谐波分量的复振幅 非周期信号的频谱为T Cn的分布，表示 每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅， 即频谱密度函数。
F ( j ) 两者关系： Cn T
n0
F ( j ) lim TC n
F ( )
()
0 0
( ) /2
0 / 2
( )
0
（3）一般周期信号
两边同取傅立叶变换
f T (t )
n
+
Cn e
+
jn0t
2 ( 0 ) T
+
F [ f T (t )] F ( j ) F [
1. 线性特性
若f1 (t ) F1 ( j )；
F
f 2 (t ) F2 ( j )，
F
则af1 (t ) + bf2 (t ) aF1 ( ) + bF2 ( )
其中a和b均为常数。
2.共轭对称特性
若 则 f (t ) F ( j ) f * (t ) F * ( j )
1 F [u (t )] ( ) + j
u (t )
1
( )
F ( )
( ) /2
0
t
0
0 / 2
2 常见周期信号的频谱
(1) 虚指数信号
F ( ) (2 )
e j 0t ( t )
由 1 e jt dt 2 ()(直流信号）
(1) (1)
F[ T (t )] F[ T (t )]
( 0 ) ( 0 )
T 0 T T 0 T
t t
0 0 0 0 0 0
单位冲激序列及其频谱函数
傅里叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性 7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
0 0
0 lim [ 2 ] 2 0 +
2
d 2arctg( ) 2 2 2 +
2
对照冲激、直流时频曲线可看出:
f (t )
1
F ( ) (2 )
t
0
0
直流信号及其频谱 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄； 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
e e
( + j ) t
F[sgn(t )] lim F[sgn(t )e
0
t
]
2 j
F ( )
( ) /2
0
0
/ 2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
(6) 单位阶跃信号u(t)
单位阶跃信号及其频谱
1 1 u (t ) [u (t ) + u (t )] + [u (t ) u (t )] 1 + 1 sgn(t ) 2 2 2 2
我们回忆一下：
注：
注：
为傅里叶级数的系数（频谱系数）
当T0趋于无穷时，周期信号则变 成了非周期信号
1．从傅立叶级数到傅立叶变换
讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为
n0t Cn Sa ( ) T 2 C T趋于无穷大时， 傅里叶系数趋于无穷小，为了描述 非周期信号的频谱特性引入了频谱密度的概念，也就是 傅里叶变换。 Cn lim lim TC n F ( j ) T f T 0
f ( x)e- j ( t 0 + x ) dx F ( j ) e-jt 0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。 [解] 无延时且宽度为t的矩形脉冲信号f(t) 如右图，
T
f (t )e j t dt 称为：傅里叶变换
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，称之 为非周期信号的频谱密度函数，为了和傅立叶级数统一， 也简称频谱函数。
单位频率因为：
Cn F ( j ) lim lim TC n T f T 0
2. 频谱函数与频谱密度函数的区别
0
0
é ¸ ý Å Å Ä µ × Ð Ö Ê Ð º µ Æ Æ
得F[e
同理:
j0t
] e j ( 0 )t dt 2 ( 0 )
F[e
- j0t
] e
j ( +0 ) t
dt 2 ( + 0 )
（ 2 ） 正弦型信号 余弦信号及其频谱函数
（5） 符号函数信号
符号函数定义为
1 t 0 sgn(t ) 0 t0 1 t0
0
F[sgn(t )e
t
]
(1)e e
( j ) t 0
t jt
dt + et e jt dt
0
1 1 + j t + j t 0 j + j
信号的频域分析
连续非周期信号的频域分析 常见连续时间信号的傅立叶变换对
连续时间Fourier变换的性质
离散非周期信号的频域分析 常见离散时间信号的傅立叶变换对 离散时间Fourier变换的性质
连续时间傅里叶变换
• • • • 从傅立叶级数到傅立叶变换 频谱函数与频谱密度函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
+
1 + jn 0t T (t ) (t nT ) e T n n
+ 1 F [ T (t )] 2 ( n 0 ) 0 ( n 0 ) n T n
+
T (t ) T (t )
dt (t )e jt dt
1
(t )
(1)
1
F ( )
0
t
0
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的 方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t |
2 ] 2 ( ) ] lim[ 2 2 0 +
f (t )e
j t
dt t A e
2 2
t
t
2
t
2
t
dt
F ( ) tA
At Sa(
t
2
)
2
2
t
t
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
n
C n e jn0t ]
+
n
C n F [e jn0t ]
F [ f T (t )] 2
n
C n ( n0 )
（4）单位冲激序列
因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：
T (t )
+
n
(t nT )
f * (t ) F * ( j)
当f(t)为是实函数时，有
|F(j )| = |F(j )| ， () = () F(j)为复数，可以表示为
F ( j ) F ( j ) e j ( ) FR ( j ) + jFI ( j )
FR ( j ) FR ( j ), FI ( j ) FI ( j )
0 0
2e
t
( sin t a cost ) 2a 2 2 2 0 a +2 a +
幅度频谱为 相位频谱为
2a F ( j ) 2 a +2
( ) 0
(3) 单位冲激信号δ(t)
单位冲激信号及其频谱
F[ (t )] f (t )e
jt
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F()/2]d 的复指数信号ej t的线性组合。
傅立叶正变换：
F ( j )
1 f (t ) 2
f (t )e
j t
dt
傅立叶反变换：
F ( j )e j t d
F ( j ) F [ f (t )]
1 j0t cos 0t (e + e j0t ) [ ( 0 ) + ( + 0 )] 2
cos 0t 1
( ) F ( ) ( )
t
0
0
0
正弦信号及其频谱函数
1 j0t j 0t sin 0t (e e ) j [ ( 0 ) ( + 0 )] 2j
( + j ) t
0
t
幅度频谱为
相位频谱为
F ( j )
A a2 + 2
( ) arctg( )
a
f (t ) 1
0
t
F ( ) 1/
( )
/2
0
0
/ 2
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
(2) 双边指数信号e-|t|
F ( j ) 2 f (t ) costdt 2 et costdt
f (t )
f1 (t )
A
因为
tA
n
1 Cn T 1 lim Cn lim T T T
T 2 T 2
T 2 T 2
f T (t )e
jn 0t
jn 0t
dt
f T (t )e
1 j t dt lim f (t )e dt T T
F ( j ) lim TC n
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
常见连续时间信号的频谱
• 常见非周期信号的频谱(频谱密度)
单边指数信号 双边指数信号e|t| 单位冲激信号(t) 直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t)
T
3.
T
傅里叶反变换
lim
f (t ) lim fT (t )
T
lim
T
n =—
n =—
Cn
e
jn 0t
F ( jຫໍສະໝຸດ Baidu ) 0 jn 0t e 2
T , 记n0=, 0=2/T=d,
1 f (t ) 2
F ( j )e j t d
注意：对于傅立叶变换，狄里赫莱条件是充分不必要条件
[例题] 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数 [解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A， f (t ) 0， | t | t / 2 | t | t / 2
j t
f (t ) A
由傅立叶正变换定义式，可得
F ( j )
3． 时移特性
若f (t ) F ( j )
则f (t t0 ) F ( j ) e
-j t 0
式中t0为任意实数 证明：
F[ f (t t0 )]
f (t t0 )e
- jt
dt
令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得
F[ f (t t0 )]
符号表示：
f (t ) F [ F ( j )]
1
或
f (t ) F ( j )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（充分非必要 条件）
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。
• 常见周期信号的频谱密度
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
f (t ) e u (t )， 0，
t
f (t ) 1
F ( j ) f (t )e
jt
dt et e jt dt
0
e 1 ( a + j ) 0 a + j
(1) 周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。 (2) 周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个 谐波分量的复振幅 非周期信号的频谱为T Cn的分布，表示 每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅， 即频谱密度函数。
F ( j ) 两者关系： Cn T
n0
F ( j ) lim TC n