高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》经典测试题及解析

(xn E )2 pn ,称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的 E 是随机变量 的期
望．
9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12 个城市出售的往返机票的平均价格以及相比 上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高. B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降. C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州. D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．
况，即可得到既有男性，又有女性的情况.
【详解】
从 7 名党员选 3 名去甲村共有 C73 种情况， 3 名全是男性党员共有 C43 种情况，
3 名全是女性党员共有 C33 种情况，
3 名既有男性，又有女性共有 C73 C43 C33 30 种情况.
故选：B 【点睛】 本题主要考查组合的应用，属于简单题.
恰在第二次落地打破的概率为 P2 0.7 0.4 0.28 ，
恰在第三次落地打破的概率为 P3 0.7 0.6 0.9 0.378 ，
∴落地 3 次以内被打破的概率 P P1 P2 P3 0.958 ．故选 D ．
点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率
3
3
33
故答案为 D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水
平.(2) 对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是 x1 ， x2 ，…， xn ，…，且取这些值
的概率分别是 p1 ， p2 ，…， pn ，那么 D ＝ (x1 E )2 p1 ＋ (x2 E )2 p2 ＋…＋
x 2y 3 0 3．若不等式组 2x y 4 0 表示的区域为 ，不等式 x2 y2 2x 2 y 1 0 表示的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
区域为 T，则在区域 内任取一点，则此点落在区域 T 中的概率为（ ）
A． 4
B． 8
C． 5
D． 10
【答案】D
【解析】
【分析】
x2y3 0 作出不等式组 2x y 4 0 对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公
；
又
A2，0 ， B（3，0），∴ S
ABC
1 3 22 5，
2
又区域T 表示圆，且圆心 M 1，1 在直线 x 2y 3 0 上，
在 ABC 内的面积为 1 12 ；
2
2
∴所求的概率为 P 2 ，故选 D．
5 10
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键， 属于中档题.
A． 9 25 24
B． 16 25 24
C． 25 24 25
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.
D． 48 48 25
【详解】
由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为
S1
1 2
8
6
24
，
Ⅱ所对应的面积 S2
24 8
9 2
25 2
24 ，
整个图形所对应的面积 S 24 8 9 24 25 ，
A． 1 12
【答案】D 【解析】
B． 1 15
C． 1 18
D． 1 14
【分析】
先得到随机抽取两个不同的数共有 28 种，再得出选取两个不同的数，其和等于 20 的共有 2 中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】
由题意，在不超过 20 的素数有： 2,3,5, 7,11,13,17,19 ，共有 8 个数，
（3）中，回归直线的斜率的估计值是 2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为 yˆ 2x 3 是正确；
（4）中，当 x 1时，可得 x 1 2 x 1 2 成立，当 x 1 2 时，只需满足 x 0 ，
x
x
x
所以“ x 1”是“ x 1 2 ”成立的充分不必要条件． x
【最新】数学《计数原理与概率统计》复习知识点
一、选择题
1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是
“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30 7 23．在不超过 30 的素数中，随
机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是
A． 1 12
B． 1 14
A．2
B．3
C．10
D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.
【详解】
设阴影部分的面积是 s，由题意得
，选 C.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找， 有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
落地 3 次以内（含 3 次）被打破的概率是（ ）．
A． 0.378
B． 0.3
C． 0.58
D． 0.958
【答案】D
【解析】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破
的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.
详解：透镜落地 3 次，恰在第一次落地打破的概率为 P1 0.3 ，
2
2
所以，此点取自Ⅱ的概率为 P 48 . 48 25
故选：D. 【点睛】
本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.
7．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为 0.3 ；第一次落地没有打破，第二
次落地打破的概率为 0.4 ；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为 0.9 ．则透镜
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线
的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答 的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每 个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的 数，其和等于 20 的概率是（ ）
11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派 7 名党员去甲、乙、丙三个村进行调研， 其中有 4 名男性党员，3 名女性党员现从中选 3 人去甲村若要求这 3 人中既有男性，又有
女性，则不同的选法共有（ ）
A．35 种 【答案】B 【解析】
B．30 种
C．28 种
D．25 种
【分析】
首先算出 7 名党员选 3 名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情
C． 1024
D． 10241
【分析】
利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】
由题得原式
=（1+C210i1 C220i2 C230i3 C2109i19 + i20 ) （1 C210i1 C220i2 C230i3 C2109i19 i20 )
= 2(C210i1 C230i3 C250i5 C2109i19 )
C． 1 15
D． 1 18
【答案】C
【解析】
分析：先确定不超过 30 的素数，再确定两个不同的数的和等于 30 的取法，最后根据古典
概型概率公式求概率.
详解：不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两
个不同的数，共有 C120 45 种方法，因为 7+23=11+19=13+17=30 ，所以随机选取两个不
6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆
的直径分别为三角形 ABC 的 BC ， AB 和 AC ．若 BC 10 ， AB 8 ， AC 6 ， ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中
随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）
同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为 3 = 1 ，选 C. 45 15
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问
题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列
表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具
【详解】 由图可知，选项 A、B、C 都正确，对于 D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅 度，所以错误． 故选 D． 【点睛】 本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
10． (1 i)20 (1 i)20 的值为（ ）
A． 0 【答案】A 【解析】
B．1024
问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也
就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相
互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方
法在概率计算中特别重要.
8．若随机变量 X 的分布列为（ ）
X
0
1
（4）“ x 1”是“ x 1 2 ”的充分不必要条件. x
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根
据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点
斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
2
1
P
3
a
b
且 E X 1，则随机变量 X 的方差 D X 等于（ ）
A． 1 3
【答案】D
B． 0
C．1
D． 2 3
【解析】
分析：先根据已知求出 a,b 的值，再利用方差公式求随机变量 X 的方差 D X .
详解：由题得
1 3
a
b
0
1 3
a
1 2b
, 1
a
b
1 3
,
所以 D( X ) (0 1)2 1 (11)2 1 (2 1)2 1 2 .
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题 p : x0 R 使得 x02 1 0 ，则 p : x R 都有 x2 1 0 ，是错误的；
（2）中，已知 X N 2, 2 ，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为 x 2 ，所
以 P( X 2) 0.5是正确的；
体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如 图阴影部分所示)的面积，作一个边长为 5 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投 掷 1000 个点，己知恰有 400 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
= 2(C210i1 C230i3 C250i5 +C250i3 +C230i1 C210i3 )
= 2(C210i1 C230i3 C250i5
=0. 故选:A 【点睛】
C520i5 C230i3 C210i)
本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
y 0
式即可得到结论．
【详解】
x2y3 0 作出不等式组 2x y 4 0 表示的区域 ，
y 0
不等式 x2 y2 2x 2 y 1 0 化为 x 12 y 12 1
它表示的区域为T ，如图所示；
则区域 表示
ABC
，由
2x x 2
y y
4 3
0 0
，解得点
B1，2
4．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题 p : x0 R 使得 x02 1 0 ，则 p : x R 都有 x2 1 0 ； （2）已知 X N (2, 2 ) ，则 P( X 2) 0.5
（3）已知回归直线的斜率的估计值是 2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
yˆ 2x 3 ；
随机选取两个不同的数，共有 C82 28 种，
其中随机选取的两个不同的数，其和为 20 的有 3 17 20, 7 13 20 ，共有 2 种，
所以概率为 P 2 1 . 28 14
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的
总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.