数理逻辑1.1
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第一章命题逻辑的基本概念
1.1命题
*数理逻辑是研究推理的数学分支, 推理由一系列陈述句组成. 例如: 因为3>2, 所以3≠2. 3>2和3≠2是两个可以判断真或假的陈述句, 称为命题.
命题: 可以判断真假的陈述句称为命题.
例1.1:
1. 中国的首都是北京.
2. 英国的首都是北京.
3. 5―3=2.
4. 如果你是人, 你就要呼吸.
5. 广东省的人口比黑龙江省多.
6. 起步走!
7. 你好吗?
8. 这幅画真美呀!
9. x ≤y.
1, 2, 3, 4, 5是命题, 6, 7, 8, 9不是命题.
命题的真值: 作为命题陈述句所表达的判断结果称为命题的真值.
真值只有两个取值: 真(T)或假(F). 我们用1表示真, 用0表
示假.
真命题: 真值为真的命题称为真命题.
假命题: 真值为假的命题称为假命题.
例子: 上例中1, 3, 4, 5为真命题, 2为假命题.
命题“因为3>2, 所以3≠2”中3>2和3≠2不能分解成更简单的命题了.
简单命题(原子命题): 不能分解成更简单的命题的命题称为简单命题(原子命题).
复合命题: 由简单命题通过联结词联结而成的命题称为复合命题.
例1.2:
1. 因为3>2, 所以3≠
2.
2. 如果你是人, 你就要呼吸.
3. 2是素数当且仅当3也是素数.
4. 吴颖既用功又聪明.
*悖论: 由真能推出假, 由假又能推出真, 从而既不能为真又不能为假的陈述句称为悖论.
例1.3:
1. 我这句话是假话.
1.2 联结词
*命题逻辑有5个联结词:
如果……, 则……
……并且……
……或……
并非……
……当且仅当……
设p和q为两个命题:
(1) p∧q 表示p并且q
(2) p∨q 表示p或q
(3) ┐p 表示并非p
(4) p→q 表示如果p, 则q .
(5) p q 表示p当且仅当q
联结词的真值表:(1表示T, 0表示F)
p q p∧q p q p∨q 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 p ┐p
0 1
10
p q p→q p q p q 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1
*解释真值表
*下面举例说明如何将复合命题用命题公式表示. 例1.4:
(1) 吴颖既用功又聪明.
(2) 吴颖不但用功而且聪明.
(3) 吴颖虽然聪明但不用功.
(4) 张辉与王丽都是三好学生.
(5) 张辉与王丽是同学.
解: 设
p: 吴颖用功.
q: 吴颖聪明.
r: 张辉是三好学生.
s: 王丽是三好学生.
(1) p∧q; (2) p∧q; (3) q∧┐p; (4) r∧s; (5) 设t: 张辉与王丽是同学. t是简单命题.
例1.5:
(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐.
(2) 张晓静只能挑选202或203房间.
(3) 张晓静是江西人或安徽人.
解: (1) 设p: 张晓静爱唱歌; q: 张晓静爱听音乐.
公式为: p∨q .
(2) 设p: 张晓静挑选202房间.
q: 张晓静挑选203房间.
公式为: (p∧┐q)∨(q∧┐p)
(3) 设p: 张晓静是江西人. q: 张晓静是安徽人.
公式为: (p∧┐q)∨(q∧┐p).
例1.6:
(1) 只要a能被4整除, 则a一定能被2整除.
(2) 除非a能被2整除, 则a才能被4整除.
(3) 除非a能被2整除, 否则a不能被4整除.
(4) 只有a能被2整除, a才能被4整除.
(5) 只有a能被4整除, a才能被2整除.
解: 设p: a能被4整除; q: a能被2整除.
(1)至(4), 公式均为: p→q , 为一真命题.
(5) 公式为: q→p, 为一假命题. a=8时为真, a=6时为假.
例1.7:
(1) 3是无理数当且仅当加拿大为于亚洲.
(2) 2+3 = 5的充要条件是3是无理数.
(3) 若两圆O1, O2的面积相等, 则它们的半径相等; 反之亦
然.
解: (1) 设p: 3是无理数; 真值为1.
q: 加拿大为于亚洲; 真值为0.
公式为: p↔q , 真值为0.
(2) 设p: 2+3 = 5 ; 真值为1.
q: 3是无理数; 真值为1.
公式为: p↔q , 真值为1.
(3) 设p: 两圆O1, O2的面积相等;
q: 两圆O1, O2的半径相等;
公式为: p↔q ; 因为p→q和q→p真值都为1,
故p↔q真值也为1.
1.3 命题公式及其赋值
命题常项(命题常元): 即真值确定的简单命题.
命题变项
命
题
变
元
):
取
值