最新小学奥数之立体几何问题

立体图形

⑴ 立体图形的表面积和体积公式

长方体和正方体

如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．

c b a

H

G

F

E

D B

A

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．

二、圆柱与圆锥

【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方

体，那么新的几何体的表面积是多少？

改.又是多少？

【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上

下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种

玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右

面、上面挖去的正方体）

练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖

去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多

少？

【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长

为1

2

厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相

同为1

4

厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘

米？

【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面

积之和是多少？

（锯一次增加两个面）

练习.一个表面积为2

56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2

cm．

表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小

【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

体积：

例1. 如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?

例2. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?

⑵不规则立体图形的表面积整体观照法

例1. 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．

例2. 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．

例3.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．

例4.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该

图形的表面积是多少平方厘米?

例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V升水=V物②测啤酒瓶容积：V=V空气+V

水

例1. 有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如

果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米

例2.在一只底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块。把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？

在一个圆柱形储水桶里，放进一段半径是5厘米的圆钢，如果把它全部放入水

里，桶里的水面就上升9厘米，如果把水中圆钢露出8厘米长，那么这时桶里

的水面就下降4厘米。问这段圆钢的体积是多少？

⑷视图与展开图最短线路与展开图形状问题

例1在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。

例2在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？

例3右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？

例4.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？

例5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？

例6.一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)

8

(单位：厘米)

4

10

6

例7.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘

米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

2

6

例8. 一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)

25

30

15

⑸

⑹染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

例1.右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？

一般地，当a，b，c都不小于2时，对于a×b×c的立方体：三面涂有红色的小立方体有8块；两面涂有红色的小立方体的块数是：［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；一面涂有红色的小立方体的块数是：［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；没有被涂上红色的小立方体的块数是：（a-2）×（b-2）×（c-2）。

例2.

例3.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。求原来长方体的体积。

例3.棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?

例4.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？

例3.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．