第9讲 导数研究函数的极值和最值学生

第9讲导数研究函数的极值和最值

[玩前必备]

1．函数的极值与导数

2.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

[玩转典例]

题型一不含参函数的极值

例1求下列函数的极值，并画出函数的草图．

(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝ln x x.

[题型练透]

1.求下列函数的极值点和极值．

(1)f(x)＝1

3x3－x2－3x＋3；

(2)f (x )＝x 2e －

x .

题型二 含参数的函数的极值

例2 设函数f (x )＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f (x )的单调区间； (2)讨论f (x )的极值．

[题型练透]

1.已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．

(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．

题型三 根据极值(点)求参数

例3 若函数f (x )＝x 33－a 2x 2

＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝

⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，10

3 C.⎝⎛⎭⎫103，17

4 D.⎝

⎛⎭⎫2，174 [题型练透]

1. 设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c .

(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．

题型四 用导数求函数的最值

例4 (2020·贵阳检测)已知函数f (x )＝x －1

x －ln x .

(1)求f (x )的单调区间；

(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤

1e ，e 上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．

[题型练透]

1.(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上的最大值和最小值．

题型五 函数极值、最值的综合问题

例5 (2020·珠海调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c

e x (a >0)的导函数y ＝

f ′(x )的两个零点为－3

和0.

(1)求f (x )的单调区间；

(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．

[题型练透]

1.已知函数f (x )＝ax 3＋2x 2－4x ＋5，当x ＝2

3时，函数f (x )有极值，则函数f (x )在[－3,1]上的最

大值为________．

[玩转练习]

1．函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )

A ．在(1,2)上函数f (x )为增函数

B ．在(3,4)上函数f (x )为减函数

C ．在(1,3)上函数f (x )有极大值

D ．x ＝3是函数f (x )在区间[1,5]上的极小值点

2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－12

D ．a <－3或a >6

3．如图所示，函数f (x )导函数的图象是一条直线，则( )

A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值

B ．函数f (x )有最大值，没有最小值

C ．函数f (x )没有最大值，有最小值

D ．函数f (x )有最大值，也有最小值

4．函数f (x )＝x 2·e x ＋

1，x ∈[－2,1]的最大值为( ) A ．4e －

1 B ．1 C ．e 2

D ．3e 2

5．函数f (x )＝1

2

e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为__________． 6．已知函数

f (x )＝1

2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是

________．

7．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为3

3，则实数a 的值为________．

8．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝________，b ＝________. 9．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1

2.

(1)求a ，b 的值；

(2)判断f (x )的单调区间，并求极值．