分数裂项求和方法复习总结
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分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1
(1)
n n+
型分数求和
分析：因为11
1
n n
-
+
＝
11
(1)(1)(1)
n n
n n n n n n
+
-=
+++
（n为自然数）
所以有裂项公式：
111 (1)1 n n n n
=-
++
【例1】求
111
(101111125960)
+++
⨯⨯⨯
的和。
111111 ()()......() 101111125960 11
1060
1
12
=-+-++-
=-
=
（二）用裂项法求1
()
n n k
+
型分数求和
分析：
1
()
n n k
+
型。（n,k均为自然数）
因为11111 ()[]
()()()
n k n
k n n k k n n k n n k n n k
+
-=-=
++++
所以
1111
() ()
n n k k n n k
=-
++
【例2】计算
11111 577991111131315 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯
111111********* ()()()()() 25727929112111321315 =-+-+-+-+-11111111111
[()()()()()] 2577991111131315
=-+-+-+-+-
111[]2515115
=-= （三） 用裂项法求()
k n n k +型分数求和 分析：
()
k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()
k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k
-+ 【例3】 求2222 (1335579799)
++++⨯⨯⨯⨯的和 1111111(1)()()......()335579799
1199
9899
=-+-+-++-=-=
（四） 用裂项法求2()(2)
k n n k n k ++型分数求和 分析：
2()(2)
k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++
【例4】 计算：4444 (135357939597959799)
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
11111111()()......()()133535579395959795979799
11139799
32009603
=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= （五） 用裂项法求1()(2)(3)
n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3)
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】 计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920
1139
20520
=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯=
（六） 用裂项法求
3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3)
k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例6】 计算：333 (1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
111111()()......()12323423434517181918192011123181920
11396840
=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯= （七）用裂项法求复合型分数和（例题略）