量子力学-薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学的基本原理
薛定谔方程是量子力学的基本原理量子力学是描述微观世界的理论框架，而薛定谔方程则是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程描述了微观粒子的波函数随时间的演化规律，从而揭示了微观粒子的运动规律和性质。
本文将从宏观角度出发，深入探讨薛定谔方程在量子力学中的地位和重要性，以便更深入地理解这一基本原理。
1. 量子力学的发展历程1.1 经典力学的局限性1.2 波动理论的兴起1.3 波粒二象性的提出1.4 薛定谔提出波函数概念1.5 薛定谔方程的提出2. 薛定谔方程的物理意义2.1 波函数的物理解释2.2 叠加原理与量子纠缠2.3 波函数坍缩的概念2.4 算符与观测量的本征值问题2.5 微观粒子的运动规律3. 薛定谔方程的数学形式3.1 薛定谔方程的时间无关性3.2 薛定谔方程的一般形式3.3 薛定谔方程的解与波函数的性质3.4 波函数的物理量与测量规律3.5 薛定谔方程的近似解法4. 个人观点与理解薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，深刻揭示了微观粒子的波粒二象性和运动规律。
在我看来，薛定谔方程不仅是物理学的重要成果，更是人类认识世界的突破和进步。
通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。
总结回顾通过本文的介绍，我们对薛定谔方程的物理意义、数学形式和发展历程有了更深入的了解。
薛定谔方程作为量子力学的基本原理之一，对我们理解微观世界具有重要意义。
在今后的学习和工作中，我们应该深入学习薛定谔方程，不断提高对量子力学的理解和应用能力。
结论薛定谔方程作为量子力学的基本原理，对我们认识和理解微观世界具有重要意义。
通过深入学习和应用薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的规律和奥秘，推动科学技术的发展和进步。
希望本文能够对大家有所帮助，也希望大家能够对薛定谔方程保持持续的兴趣和热爱。
通过深入学习和理解薛定谔方程，我们可以更好地认识和理解微观世界的奥秘，从而推动科学技术的发展和进步。
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
薛定谔方程 量子力学
薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。
薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。
它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。
量子6薛定谔方程
0<x<a时,V=0
h d E 2 2m dx
～2
2
2mE 令 k ～2 h
2
d 2 2 得 k 2 dx
通解：
C sin kx D cos kx
(0) (a) 0
由波函数连续性要求：
( x) C sin kx D cos kx
(0) 0 D 0
( x) C sin kx
(a) 0 C sin ka 0
sin ka 0 ka n (n 1.2.) n 2mE 2 k k ～2 a h
n 2mE ～2 2 a h
2 2
En
～2 2 n 2 h
2ma
2
(n 1,2,3,)
E2 E1
E2 E1
2
2
x
一维势阱中粒子运动的特征：
1、粒子能量是量子化的。称n为粒子能量的量子数。 2、粒子的最小能量不等于零。
经典认为粒子的能量可以为零。
3、粒子在势阱中出现的概率不均匀。 经典认为匀速运动粒子应该在各处均匀出现。 4、薛定谔方程的解为驻波形式，即粒子的物质波在势 阱中形成驻波。阱壁处为波节，粒子概率为零。
令
2
x0 x0
2m 2 E U 0 2
>0
d 2 ( x) 2 2 ( x) 0 2 dx
x0
3.薛定谔方程通解
d 21 ( x) 2 2 k 1 ( x) 0 2 dx
ikx
x0
ikx
通解 1 ( x) Ae Be
三、隧道效应的应用 隧道二极管 金属场致发射 核的衰变…
U
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程名词解释
薛定谔方程是一个重要的理论模型，它使物理学家们能够更进一步地了解和解释量子力学中的现象。
它于1926年被提出，由荷兰物理学家薛定谔提出。
薛定谔方程描述了量子力学中描述双原子共振和双原子退相干特性时所需的方程，从而解释普朗克定律中自由粒子的行为。
薛定谔方程是一个基于能量的矩阵方程，它是由薛定谔推导出来的。
它的公式是：
HΨ = EΨ
其中，H是原子的能级矩阵，Ψ是量子态的矢量，E是能量的标量。
薛定谔方程有三个重要的功能：
首先，它可以用来描述量子力学中的双原子共振，它可以用来解释双原子间的能量级和轨道混合情况，从而解释量子力学中双原子结构的概念。
其次，它可以用来解释双原子退相干特性。
双原子退相干指的是，在两个原子相互作用时，他们的总能量会减少，这一特性由薛定谔方程可以解释。
最后，薛定谔方程还可以应用于电子结构性质的计算，用来计算杂化理论中的电子结构性质。
薛定谔方程对于量子力学的研究有重要意义，它为物理学家们提供了量子力学中最基本的模型，使他们能够更深入地了解和研究相关
现象。
薛定谔方程也为建立一个现实世界中可行的量子力学模型打下了基础，从而为量子力学的研究提供了一条新的发展道路。
总之，薛定谔方程是一个重要的理论模型，它可以用来描述量子力学中的双原子共振和双原子退相干特性，并且可以用来计算杂化理论中的电子结构性质。
它的出现，是量子力学研究的一个重大突破，也为量子力学的未来发展提供了指引。
薛定谔方程、量子力学简介
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
由归一化条件求C 由归一化条件求 归一化条件 归一化条件
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
a
0
nπ C sin xd x = 1 a
2 2
C=
2 a
2 nπ ψ ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a 2 nπ x) n =1,2,3,4,5,L sin( ψ(x) = a 势 内 阱 a
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一、薛定谔方程（1925 年） 薛定谔方程（ 思考】 【思考】 波函数来自哪个方程？ 波函数来自哪个方程？ 薛定谔方程
特殊情况 一般情况 .. 薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger,1887~1961） ） 奥地利物理学家. 奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 动力学 并建立了量子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 力学和波动 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高速运 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运 动的粒子的波动方程 .
量子力学中的薛定谔方程和量子力学
薛定谔方程的物理意义
它决定了粒子在给定势能下 的波函数和概率密度
薛定谔方程是描述量子力学中 粒子运动状态的偏微分方程
薛定谔方程是量子力学的基本 方程之一，是理解和预测物质
行为的关键工具
薛定谔方程的解可以揭示粒子 的能量、动量和角动量等属性
薛定谔方程的解 法
分离变量法
分离变量法：将薛定谔方程中的波 函数分离为空间和动量两个部分， 从而简化求解过程
无法处理量子纠缠 和量子误差问题
在某些情况下会导 致波函数塌缩的不 确定性问题
不能解释量子纠缠现象
不能解释量子纠缠现象 无法描述粒子间的相互作用 对初始条件的敏感性 无法预测量子系统的长期演化
量子力学的其他 重要概念和方程
波函数的概念和性质
波函数定义：描 述微观粒子状态 的函数
波函数的性质： 概率幅、复数、 归一化
波函数的物理意义： 微观粒子在空间中 的概率分布
波函数与薛定谔方 程的关系：薛定谔 方程用于求解波函 数的演化
量子态的概念和描述
定义：量子态是量子力学中一个物理系统的状态，由波函数描述
特性：量子态具有叠加性和相干性，即一个量子态可以表示为其他量子态的线性 组合，且不同量子态之间存在干涉现象 描述方法：通常使用波函数来描述量子态，波函数满足薛定谔方程，并具有归一 化条件
为
薛定谔方程的应 用
在原子物理中的应用
解释原子光谱的线型
描述原子状态的波函数
揭示原子能级的分布规律
预测原子辐射和吸收光子的 过程
在固体物理中的应用
描述电子行为： 薛定谔方程是描 述固体中电子行 为的基石。
计算能带结构： 通过求解薛定谔 方程，可以计算 出固体的能带结 构。
量子力学中的薛定谔方程与时间演化
量子力学中的薛定谔方程与时间演化量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而薛定谔方程是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程描述了量子系统的波函数随时间演化的规律，是理解量子力学中时间演化过程的关键。
一、薛定谔方程的基本形式薛定谔方程的基本形式是：\[ i\hbar \frac{{\partial \Psi}}{{\partial t}} = \hat{H}\Psi \]其中，\( i \) 是虚数单位，\( \hbar \) 是约化普朗克常数，\( \Psi \) 是系统的波函数， \( t \) 是时间， \( \hat{H} \) 是系统的哈密顿算符。
二、波函数的物理意义波函数 \( \Psi \) 是描述量子系统状态的数学函数，它包含了对系统性质的全部信息。
在薛定谔方程中， \( \Psi \) 随时间的变化遵循线性的时间演化规律。
波函数的物理意义可以通过它的模的平方来解释，即 \( |\Psi|^2 \)。
\( |\Psi|^2 \) 表示在空间中找到粒子的概率分布，也称为概率密度函数。
因此，波函数的平方模的积分必须等于1，即\[ \int|\Psi|^2dV = 1 \]其中，积分对整个空间进行。
三、时间演化与薛定谔方程根据薛定谔方程，系统的波函数随时间演化的规律可以由算符（哈密顿算符）作用于波函数来描述。
哈密顿算符通常由系统的能量算符表示。
在实际计算中，薛定谔方程往往难以解析求解，需要借助数值方法求解或采用近似方法，比如常用的微扰理论和变分法等。
由于薛定谔方程是一个复杂的偏微分方程，它包含了系统的动力学信息，描述了粒子的运动轨迹和波函数的演化过程。
四、时间演化算符时间演化算符是描述量子系统时间演化的重要工具。
通过时间演化算符可以得到任意时刻波函数与初始波函数的关系。
时间演化算符的定义如下：\[ \Psi(t) = \hat{U}(t,t_0)\Psi(t_0) \]其中， \( \Psi(t_0) \) 是初始波函数， \( \hat{U}(t,t_0) \) 是时间演化算符。
量子力学课件--薛定谔方程
波函数所包含的物理内容不仅仅是几率密度，还有相位！
(r,t)和c( p,t)可以通过以上傅里叶变换互求， 但仅仅从空间几率密度|(r,t) |2 不能得到动量几率密度|c( p,t) |2 ！
§2.2 薛定谔方程
1.薛定谔方程 量子力学的基本定律是波函数所满
足的偏微分方程。这个基本定律在本 质上是一个假说。
i ( )
2
w J 0 t
J i ( )
2
定义流密度
记
J
i
( ),
2
则
w
J
0,
t
这是薛定谔方程造成的结果，代表一种 守恒定律 。由于w是几率密度，所以J可 以理解为几率流密度。
理解（推导积分形式）
对任何体积V，对上式积分
V
V
w t
d
V
Jd ,
S
等式右方用Gauss定
d
回顾：叠加原理
cnn.
n
几率振幅。
常数相位
绝对常数相位没有意义 相对常数相位才是有意义的
c11 c22
c1 | c1 | ei1 c2 | c2 | ei2
| |2 依赖于2 1 能够在测量结果中反映
变化的相位是有意义的（能够在测 量中反映出来）
(r , t ) | (r , t) | ei(r ,t)
i
f (t ) e Et .
空间部分（定态薛定谔方程）
1 (r )
2
2
2
U(r )
E
2
2
U (r )
E (r ).
2
定态薛定谔方程
H (r ) E (r )
定态概念
完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解乘以时间因子）
量子力学中的薛定谔方程与解
量子力学中的薛定谔方程与解量子力学是现代物理学的一个重要分支，描述了微观粒子的行为和性质。
在量子力学的框架下，薛定谔方程是一个基本的方程，被用来描述系统的波函数演化和性质。
本文将从薛定谔方程的提出和推导开始，然后讨论它的一些基本性质和解的意义。
在1926年，奥地利物理学家Erwin Schrödinger提出了薛定谔方程，被公认为量子力学的创始之父之一。
这个方程是一种描述微观粒子的波函数随时间演化的偏微分方程。
它形式简洁，但给出了精确地描述粒子行为的解。
薛定谔方程的形式是：\[ \hat{H}\Psi=E\Psi \]其中，Psi表示波函数，H表示哈密顿算符（描述系统的能量总和），E为粒子的能量。
这个方程的推导涉及了量子力学的基本原理，如波粒二象性、平面波假设和能量量子化等。
薛定谔方程和经典的牛顿方程相比，有一个显著的不同之处。
在经典物理中，粒子的位置和动量可以同时被明确定义，而在量子力学中，波函数描述了粒子的概率分布，位置和动量不能同时精确确定。
这是著名的海森堡不确定性原理的基础。
薛定谔方程的解提供了波函数的信息，它描述了粒子在不同时刻的状态。
这些解通常包含了能量和位置等物理量的信息。
其中最重要的解是定态解，即不随时间变化的解。
定态波函数是描述特定能量状态下粒子行为的解，其形式为：\[ \Psi(x,t)=\psi(x)e^{\frac{-iEt}{\hbar}} \]其中，x表示位置，t表示时间，E为能量，hbar为普朗克常数的比例因子。
定态解揭示了量子系统的能级结构和波函数的空间分布。
薛定谔方程的解还具有统计解释。
波函数的平方模的形式，即|\Psi|^2，给出了在特定位置观测到粒子的概率密度。
这种统计性质是量子力学的独特特征，与经典物理中确定性的轨迹相对应。
薛定谔方程不仅适用于单个粒子的描述，也可以推广到包含多个粒子的系统。
在这种情况下，波函数变成了描述整个系统的复合波函数，整体行为由薛定谔方程统一描述。
量子问题薛定谔方程
量子问题薛定谔方程
薛定谔方程是量子力学中的基本方程，用于描述粒子的波函数随时间的变化。
这个方程在量子力学中非常重要，因为它描述了粒子的行为如何受到势能和其他力的影响。
在这个问题中，我们将使用薛定谔方程来模拟一个简单的量子系统。
假设我们有一个粒子在一个无限深势阱中，势阱的宽度为 a。
粒子的质量为 m，动量为 p，势能为 V(x)，总能量为 E。
薛定谔方程可以表示为：
Hψ = Eψ
其中 H 是哈密顿算子，ψ是波函数，E 是能量。
对于无限深势阱，势能 V(x) 在 x < 0 和 x > a 的区域是无穷大，而在 0 < x < a 的区域是0。
因此，薛定谔方程可以简化为：
p^2ψ/2m + V(x)ψ = Eψ
现在我们要解这个方程，找出波函数ψ和能量 E 的关系。
计算结果为： [{psi: 0}]
所以，在无限深势阱中，粒子的波函数为：0。
量子力学课件-薛定谔方程
量子力学课件-薛定谔方程
课程概述
量子力学简介
介绍量子力学的基本概念和原理，解释微观世界的行为。
薛定谔方程的意义
探究薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
薛定谔方程的物理意义介绍
解释薛定谔方程在物理学中的具体含义和实际应用。
薛定谔方程的推导
1
经典力学中的哈密顿量
讨论经典力学中的哈密顿、算符和本征值问题
介绍量子力学中的态矢量、算符和本征值问题，探讨其在薛定谔方程中的应用。
3
薛定谔方程的推导
详细讲解薛定谔方程的数学推导过程和物理背景。
薛定谔方程的解与应用
1
时间无关薛定谔方程
讨论时间无关薛定谔方程及其解的特点和应用。
2
时间相关薛定谔方程
探究随时间演化的薛定谔方程和脉冲波包的描述。
发展案例介绍
介绍量子场论、矩阵力学和 路径积分等薛定谔方程的发 展方向。
总结
1. 量子世界的奇妙 2. 薛定谔方程的意义与缺陷 3. 量子力学的发展前景
3
应用案例介绍
以单电子的运动和氢原子的能级与波函数为例介绍薛定谔方程在不同领域的应用。
薛定谔方程的缺陷与发展
薛定谔方程的不足以及 量子力学的发展历程
讨论薛定谔方程的局限性以 及量子力学在科学发展中的 演变历程。
薛定谔方程的问题：量 子纠缠
解析薛定谔方程存在的问题， 重点讨论量子纠缠的概念和 影响。
薛定谔方程求解步骤
薛定谔方程求解步骤薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
它的求解可以得到粒子的能量和波函数，从而揭示出粒子在各种势场中的性质。
下面将介绍薛定谔方程的求解步骤。
1. 建立薛定谔方程薛定谔方程的一般形式为：$$ \\hat{H} \\psi = E \\psi $$其中，$\\hat{H}$ 表示哈密顿算符，$\\psi$ 是粒子的波函数，E是粒子的能量。
2. 利用哈密顿算符哈密顿算符可以根据具体情况而定，对不同的系统具有不同的形式。
例如，对自由粒子，将动能算符代入哈密顿算符中，可以得到：$$ \\hat{H} = -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 $$其中，$\\hbar$ 是约化普朗克常数，m是粒子的质量，abla2是拉普拉斯算符。
3. 将波函数代入薛定谔方程将波函数 $\\psi$ 带入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \ abla^2 \\psi = E \\psi $$4. 分离变量为了求解上述薛定谔方程，通常采用分离变量的方法。
假设波函数可以表示为：$$ \\psi(x, y, z) = X(x) \\cdot Y(y) \\cdot Z(z) $$将分离变量的结果代入薛定谔方程中，得到：$$ -\\frac{{\\hbar}^2}{2m} \\left (\\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} +\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} + \\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} \\right ) = E $$5. 将方程化简为一系列互相独立的微分方程由于上式左侧的每一项只涉及一个独立变量，而右侧的E是常数，因此左侧和右侧的各项必须都等于同一个常数，称为分离常数。
假设该常数为k，则上述薛定谔方程可以分解为三个独立的微分方程：$$ \\frac{1}{X}\\frac{{d}^2X}{{d}x^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Y}\\frac{{d}^2Y}{{d}y^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} \\\\\\frac{1}{Z}\\frac{{d}^2Z}{{d}z^2} = -\\frac{{2mk}}{{\\hbar}^2} $$ 解这些微分方程可以得到每个方向上的波函数和能量。
量子力学：薛定谔方程
ikx
Be
ikx
由边界条件，可得：
Ae Ae
ika ika
(a ) 0 ( a ) 0
Be
ika ika
0 0
Be
方程组具有非零解的条件是系数行列式应等于零
即
e e
ika
e
ika ika
ika
0
sin 2 ka 0
两缝同时打开
依次打开一个缝
b .双缝依次打开 上缝打开， p 1 ; 1 1 2＝P1 2 2＝P2 c.同时打开
p 22 1
2 2
下缝打开
p 2 ; 2
2
p 12 p 1 p 2 1
2 2
22 1 2
p 2 2 p 12
( r ) 满足的方程即是定态薛定谔方程。
2 ( t , r ) f ( t ) ( r )
2
代入薛定锷方程
i t
2
( t ,r ) t
f ( t ) (r ) t
2
U
2
2m
f(t ) 2 i ( r ) f ( t ) ( r ) Uf ( t ) ( r ) t 2m 两边同除 ( r ) f ( t )
其中：
En h t
a
n
( x, t)
n
(x) e
1 a
cos
nx 2a
e
i
En
2
2
n
2
8 ma
概率密度：
w ( x ) n ( x ) 1 a cos 1 sin a
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
量子力学课件-薛定谔方程
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量本征态时，粒子能量是确定的，就是 能量本征值。
（三）求解定态问题的步骤
• 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得：
若V(r)是库伦场势，则方程的解代表库伦场中粒子的态。
若V(r)是谐振子势场，则方程的解代表谐振子势场中粒子的态。
……
态叠加原理： 一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原 理。
•
（2）几率流密度与时间无关
i J n (r , t ) [nn n n ] 2
i [ n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / ) 2 n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / )]
ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻 ψ(r,0)的定态波函数。
能量本征值方程
[ h 2 V ] E 2
ˆ E 表达成 H
（1）上述方程的形式特点是： 一个算符作用于一个函数上等于一个常数乘以该函数， 这种形式的等式在《数学物理方法》中，叫本征值方程， 本征值方程中的那个待求函数叫本征函数， 方程右边的那个与本征函数相乘的常数叫本征值。
i [ n ( r ) n ( r ) n ( r ) n ( r )] 2
作
量子力学——薛定谔方程
U（r） 力F
• 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
非定域性：
整个体系的 状态用3N个 空间坐标和 一个时间坐 标描述。
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
该满足以下三个条件：
• (1)单值性；
• (2)有限性；
• (3)连续性。
• 连续性通常意味着
和
都连续，
但在势能有无穷大跳跃的地方，
允许不连续。
§2.3 一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
二阶常微分方程，容易求解 它的解有如下的规律
Wronskian定理
•若 能量相同)，则
3. 一维束缚态的一般性质
• 先引入一个概念－简并与非简并 – 如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波 函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非 简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函 数的个数称为它的简并度。
线性独立的定义：对常数c1，c2
一维束缚态不简并定理
• 定理：一维束缚态必是非简并态（ 可以由Wronskian定理证明）。
都是方程的解(
( c 是与 x 无关的常数)，
称为Wronskian定理。
Wronskian定理的证明
证明：定态方程的两个解满足
另外两个定理
• 共轭定理：若 的解，则
能量E相同)。
是定态行薛定谔程 也是该方程的解(且
• 反射定理：对 势)，那么若
(原点对称的 是该方程的解，则
也是该方程的解(且能量E相同)。
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