定积分的分部积分法广义积分

广义积分
定义5.2 设函数f（x）在区间 a， ）上连续，如果
b
lim f（x）dx （a b）
b a
存在，则称此极限值为f（x）在期间 a， ）上的
广义积分. 记作
(5.4.1)
广义积分
类似地，可以定义函数 f（x）在（ ，b 和
（- ， ）上的广义积分：
(5.4.2)
(5.4.3)
dx
1 x2
1 x2
0 1 x2
0 1
b1
lim
dx lim
dx
a a 1 x 2
b 0 1 x 2
lim (arctan
a
x)
0 a
lim (arctan
b
x)
b 0
注意
有限
区间上定积分
的计算和对积
分结果求极限
的运算的正确
性.
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
分部积分法
1 2
x2 arcsin x
1 0
1 2
1 2
sin2 t
1 x2 0 1 x2
co std t
dx
4 2 0 1 sin2 t
换元法: x=sint
b
b
udv
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(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
2 sin2 tdt 1 2 1 cos2t dt
lim
1
x b 1 x
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
例7 计算 x e-x d x 0
解 利用定积分的分部积分法
1
1
xexdx x dex
0
0
1
xe x
1 0
exdx
0
x=u,dx=du
e1 ex
1 0
1 2e1
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
例(补充) 计算 4
xdx .
0 1 co s2x
分部积分法
解 1 cos2x 2cos2 x,
4
xd x
4
xdx
4
x
d tan x
0 1 co s2x 0 2cos2 x 0 2
1
2
1
x tan x
4
0
2
4
0
tan xdx
1
ln 2
8
2
ln sec x
4
0
8
4
.
u=? dv=?
b
b
udv
授课内容
▪ 定积分的分部积分法 ▪ 无限区间上的广义积分
知识点
▪ 定积分的分部积分公式 ▪ 无限区间、广义积分、收敛、发散
重点
分部积分公式的应用
分部积分法
5.3.2 定积分的分部积分法
设函数u u(x)与v v(x)在区间a,b上有连续
导数u(x), v(x), 则
b
b
udv
(u v)
b a
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
例8 计算 x arcsin xdx 0
解 先用定积分的分部积分法,再用定积分的换元积分法.
设 arcsin x u , xdx dv; 则du
dx
x2 ,v .
1
1
xarcasin xdx
1
1 x2
arcsin xdx2
2
0
20
a
b
22
广义积分
课堂练习 Ex 5
9(1) 解答：
b
e-x dx lim
0
b
ex d x lim (ex )
0
b
b 0
lim (eb e0 ) lim eb 1
b
b
1 lim 1 1
b eb
所以，广义积分 e-x dx收敛. 0
例3 求广义积分 xe-x dx 0
解 设u ln x , d v x d x 则du 1 dx, v 1 x2 .
x
2
由定积分的分部积分公式(5.3.3)可得
2 x ln xdx
1
1 2
x2
ln x
2 1
2 1
1 2
x2
1 x
dx
2 ln 2
1 4
x2
2 1
2ln 2 3 4
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
1
0 (2 x)2
0
2 x
ln(1 x) 2 x
1 0
1 0
1 d ln (1 x) 2 x
ln 2 1
1
1 dx
3 0 2 x 1 x
ln 2
3
ln (1
x)
ln
(2
x)
1 0
5 ln 2 ln 3. 3
分部积分法
熟记定积分的分部积分公式:
（注意与不定积分分部积分法的区别）
4 20
4 20 2
4
1 4
(t
1 2
sin 2t)
2 0
1 ( 0)
4 42
8
运用三角函 数倍角公式
由例8可见,在一些定积分的求解中,需要综合 运用定积分的换元积分法和分部积分法.
分部积分法
又例(补充) 计算
1 ln(1 x) dx.
0 (2 x)2
解
1
ln(1 x) dx
1
ln(1 x)d
其中，c （- ， ）.
广义积分
例1 计算广义积分 e-2x d x 0
解
e2x d x lim
0
b
b
e2x d x
0
lim (
b
1 2
e 2 x
)
b 0
lim ( 1 e2b 1 ) 1
b 2
22
例2 计算广义积分 1 dx 1 x 2
广义积分
解
1
0
dx
1
1
dx
1
2
1
arcsin xdx
x arcsin x
2
0
1 2
0
0
1 1
1 2
1 d(1 x2 )
2 6 2 0 1 x2
1
12
1
x2
2
0 12
3 1.
2
dx , v x,
1 x2
xd x
1 x2
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
2
例6 计算 x ln xdx 1
vd u
(5.3.3)
a
a
(5.3.3)式称为定积分的分部积分公式
推导 uv uv uv,
b
b
(uv)dx uv ,
a
a
b
b
u
v
b a
uvd x
uvd x,
a
a
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
例如 计算
2
arcsin xd x.
0
解 令 u arcsin x, d v d x, 则 du
解 xexdx xdex
0
0
lim xex b
b 0
exdx
0
lim (beb )
b
lim (ex )
b
b 0
0 lim (eb e0 )
b 1 lim 1 0 1 1
b eb
广义积分
求极限时用到 洛必达法则
广义积分
课堂练习 Ex 5
9(3) 解答
dx
b dx
广义积分
5.4 无限区间上的广义积分
广义积分
在前面所讨论的定积分都是可积函数在有限区 间〔a，b〕上求积分。在概率论和其他一些实际问 题中，经常需要讨论无限区间上的积分. 因此，我 们将定积分的概念推广到无限区间. 这类积分称为 无限区间上的广义积分.
本节讨论的定积分其积分区间是从有限到无 限(即无限区间上的广义积分):