定积分的分部积分法广义积分
高等数学 定积分
第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明： 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
微积分(下册)主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx ba ba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2 ).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式 一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件： （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=bab a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π=所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴， 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ） 双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
数学积分第五章
b xn x
A lim f ( i ) x i
0 i 1
n
二、定积分的定义 定义：设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上有界，在 (a, b) 内任意
插入 n - 1 个分点
a x 0 x1 x 2
… xn 1 xn b
把区间 [a, b] 分成了 n 个小区间 [ x i 1 , x i ] ，其长度为
( i 1, 2 ,
… , n)
小区间的长度 x i x i x i 1 ⑵ 取近似 A i f ( i ) x i ⑶ 求和
A A i f ( i ) x i
i 1 i 1 n n
⑷ 取极限：设 为小区间长 度的最大值，则 o x0 a x 1 x 2 x i 1 i x i
b b
⑵ a [ f ( x) g ( x) ] d x a f ( x) d x a g ( x) d x ; 性质 ⑵ 可以推广到有限个可积函数的情形。 ⑶ 对任意常数 a , b , c，总有
b
b
b
a
b
f ( x) d x
a
c
f ( x) d x
c
b
f ( x) d x .
y
y f ( x)
y
y f ( x)
y
y f ( x)
。 .
o a c b x o a
。 .
.
c
。
.
c
b
x
o
a
b
x
三、定积分的几何意义（1）
由定积分的定义可得：
在闭区间 [a, b] 上，若函数 f ( x) 0 ，则 a f ( x ) d x 在几
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4） 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解： 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分
定积分积分法与广义积分
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，而定积 分可以通过极限的思想推广到广义积分。
03
两者都涉及到积分的存在性和可积性，以及积分的 计算和性质。
定积分与广义积分的区别
定义域不同
定积分的定义域是有限的闭区间，而广义积分的定义域可 能是无限的区间或者无界点集。
积分结果可能不同
在定积分中，如果被积函数在闭区间上连续且在开区间上可积 ，则其积分值是确定的；而在广义积分中，即使被积函数在某
个区间上连续，其积分值也可能不存在。
意义不同
定积分主要用于计算面积、体积等数值结果，而广义积分则更 多地用于研究函数的性质和行为，例如函数的奇偶性、可导性
、收敛性等。
定积分与广义积分的应用场景
定积分的应用场景
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，都需要用到定积分来计算各种量值，例如物体的质量、面积、体积 等。
换元法
通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差。
广义积分的计算方法
无穷区间上的广义积分
通过将无穷区间分割成有限个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行积分， 最后取极限得到广义积分的值。
无界函数的广义积分
对于无界函数的广义积分，需要特别注意积分的上下限，以及在计算过程中对无 界点的处理。
广义积分的性质
01
线性性质
广义积分具有线性性质，即对于两个 函数的和或差的积分，可以分别对每 个函数进行积分后再求和或求差。
02
区间可加性
对于函数在两个区间上的积分，如果 这两个区间有重叠部分，则该函数在 这两个区间上的积分之和等于在重叠 区间上积分的两倍。
03
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍广义积分的定义及其应用。
我们来看一下广义积分的定义。
广义积分是对不可积函数的积分的推广。
在一定条件下，如果函数在给定区间上的积分存在有限值，那么我们称之为广义积分存在。
广义积分的定义基于极限的概念，通过将函数分割成无穷多个小区间，并计算每个小区间上的积分来得到。
广义积分的计算方法有多种，其中最常见的是分部积分法和换元积分法。
分部积分法是将一个复杂的积分式分解成两个简单的积分式，然后进行计算。
换元积分法则是通过变量替换将复杂的积分式转化为简单的形式，从而进行计算。
这两种方法在解决复杂的广义积分计算问题时非常有用。
广义积分在数学中的应用非常广泛。
它可以用于计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
在物理学中，广义积分常用于描述物体的质量、力、功等。
在工程学中，广义积分则可以用于计算电路中的电流、电压等。
除了数学、物理、工程领域，广义积分还有一些其他的应用。
例如，在经济学中，广义积分可以用于计算收益、成本等；在生物学中，广义积分可以用于计算生物体积、生长速度等。
总之，广义积分在各个领域中都有着重要的应用价值。
广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
许多数学家致力于研究广义积分的性质和特点，以及它们在各个领域中的应用。
这些研究不仅推动了数学的发展，也为其他学科的发展提供了重要的理论支持。
总结起来，广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
广义积分的计算方法有多种，如分部积分法和换元积分法。
广义积分的应用范围非常广泛，包括计算曲线的弧长、曲线下面积、体积等。
此外，广义积分的研究也是数学中的一个重要方向。
通过不断深入研究广义积分的性质和特点，可以为其他学科的发展提供重要的理论支持。
第五章定积分、广义积分
0 (令x t)
0
2
(5) xf (sin x)dx
f (sin x)dx
2 f (sin x)dx
0
20
0
(令x t)
二、基本问题及解法
问题(一) 有关变上限积分的运算
如果f ( x)在[a, b]上连续,则变上限积分( x)
x
f (t)dt
a
是x的连续函数.可进行函数的各种运算,如,求极限、 求
(3) a ( x a)k k 1时发散
利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:
例1.下列广义积分发散的是 ( )
1 dx
( A)0
; x
2 dx
(B)
;
1 3 x1
dx
(C )1
; x
dx
(D)2 x (ln x)
利用上述结论不难判定 (C), (D)正确.
6.微积分的常用公式
dy 2xe y2 cos x2dx
例5.设f ( x)在[0, )上连续且满足
x2 (1 x )
f (t)dt x
0
求f (2)
解 : 方程两边对x求导,得 f [x2(1 x)][x2(1 x)] 1,
即 f ( x2 x3 ) (2x 3x2 ) 1.令 x 1,得 f (2) 1 5
(a, c为任意常数)
2 a kf (x)dx k a f (x)dx
3 a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
4
分部积分公式
udv uv
vdu
a
a
a
5 也有相应的换元法；
6
f (x)dx F (x) F () F (a)
定积分的分部积分法
(3) 4 3 xdx; 1
(4) (sin x cos x)dx; 0
(7)
2
sin 2
x
dx;
0
2
1
(8) (
x 1 3x )dx.
0
第三节 定积分的换元法
例1 求 4 dx .
0 1 x
解法1
dx 1
x
令
x
t
2tdt 1 t
2
(1
1
1
1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ; dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5)
0 1
3x4 3x2 1 x2
1dx;
(6) 4 tan2 xdx; 0
4 dx
1 x x
2 2tdt 1 t2 t
2 2dt 2 d (t 1) 2
1 t 1 1 t 1
2
ln(t
1)
|12
2(ln
3
ln
2)
2
ln
3 2
.
例4 求 2 3cos2 xsin xdx. 0
解 设u cos x，则du sin xdx，当x 0时，u 1；当x 时，u 0.于是 2
与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
十四 定积分的分部积分法、广义积分
dx
dx
６．
2
1 x x 1
2
1
答案
lim
1.
0 b
b 0
e dx e dx
ax
ax
(a 0)
1 ax b lim e 0 b a 1 ab 1 lim (e 1) b a a
2.
1
b 1 1 dx lim dx b 1 x x
1
e
1
ln xdx x ln x
e 1
e 1
e 1
xd ln x
1
e
x ln x d x e x
e 1
e (e 1) 1
练习:
1
0
ln( x 1 x )dx
2
x ln( x 1 x )
2
1 0
xd ln( x 1 x )
6.
x
2
1 x 1
2
dx
2
x x
2
x 1
2
dx
设
x 1 t
x t 1
2
xdx tdt
t 2 dt arctgt c (t 1)t
arctg x 1 c
2
2
1 x x 1
2
1
dx lim
2
2
1 x x 1
2
0 1
dx
2 2
0
dx)
a lim arcsin 0 2 a
x lim arcsin 0 a
a 0
例2
(完整版)高等数学(上)第五章定积分总结
第五章 定积分内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。
要求：理解定积分的概念和性质。
掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。
重点:定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。
难点:定积分的概念;变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。
§1。
定积分的概念一、实例分析1．曲边梯形的面积设函数)(x f y =∈C[a , b ］, 且)(x f y =〉0。
由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高。
（2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高。
(3） 预备一张呈曲边梯形状的纸， 将其撕成许多细长条. （4） 启示:将曲边梯形分割为许多细长条， 分割得越细， 误差越小。
第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ曲边梯形面积： ∑=∆≈ni i i x f S 1)(ξ定积分概念示意图.ppt定义： ),,2,1,max {()(lim 10n i x x f S i ni ii =∆=∆=∑=→λξλy =f (x )x =a x =by =f (x )a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义设)(x f y =在［a ， b ］有定义， 且有界。
(1) 分割： 用分点b x x x a n =<<<= 10把［a ， b ]分割成n 个小区间：},,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x ni x x i i i i i i =∆=-=∆=--λ记(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i, 做乘积: i i x f ∆)(ξ。
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
积分的方法
积分的方法积分是微积分中的一个重要概念，常用于求解曲线的面积、曲线的弧长、曲线的质心、物理力学问题等。
本文将介绍积分的方法。
1.定积分方法：定积分是求解区间上函数的面积的方法。
对于给定的函数f(x)，我们可以先确定在区间[a,b]上的分割点，将区间分为多个小区间，然后在每个小区间上选取一个样点，计算函数在这个小区间上的面积，最后对所有小区间上的面积求和，即得到整个区间上的面积。
2.不定积分方法：不定积分是求解函数的原函数（即导数）的方法。
对于给定的函数f(x)，我们可以通过求导来得到它的导函数，然后反过来，通过求解导函数的原函数来得到原函数。
不定积分的结果是一个含有未知常数的函数，表示函数在积分过程中可能存在的任意常数。
3.换元积分法：换元积分法是通过变量替换来简化积分计算的方法。
对于给定的函数f(x)，我们可以进行变量替换，将x表示成关于其他变量的函数，然后计算新的变量表示下的函数积分，最后换回原来的变量。
通过换元积分法，可以使原本复杂的积分变为简单的积分，进而求解出积分的值。
4.分部积分法：分部积分法是利用链式法则推导出的一种积分计算方法。
对于给定的函数f(x)和g(x)，我们可以将乘积f(x)g(x)进行积分，并利用分部积分公式进行分解。
通过反复使用分部积分法，可以将原本复杂的积分逐步化简为容易求解的积分，最后求出原本积分的值。
5.极限求和法：对于某些特殊的函数，如级数、广义积分等，可以通过极限求和的方法来计算积分。
根据数列极限和函数极限的相关性质，可以将函数的积分转化为极限的计算，通过逐渐逼近无穷小和无穷大的极限值来求解积分。
总之，积分是微积分中的重要内容，通过定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法和极限求和法等多种方法，可以求解出各种形式和类型的积分。
在实际问题中，根据具体的情况选择合适的积分方法，有助于简化计算过程并得到准确的结果。
高数-积分学
2 x x x
x x
x e 2( xe e ) C .
2
e ( x 2 x 2) C
x 2
例 4 已知 f ( x ) 的一个原函数是 e
x2
, 求 xf ( x )dx .
解
f ( x )dx f ( x ), f ( x )dx e
积分学
一、 不定积分
二、 定积分
三、 广义积分 四、重积分
五、平面曲线积分 六、积分应用
一、 不定积分
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 (要求记住基本积分公式）. 2. 换元积分法
第一类换元的基本思路
g ( x)dx
f [ ( x)]d [ ( x)] F [ ( x)] C
d b( x ) F ( x ) f ( t )dt f b( x )b( x ) f a( x )a( x ) dx a ( x )
4、牛顿—莱布尼茨公式
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的一 个原函数，则
a f ( x )dx F (b) F (a )
注：这里要求f ( x)的原函数易求，且F ( x) f ( x)
第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有
1 1 k dx d (ax b) x dx d (ax k 1 b) a (k 1)a
e dx d (e )
x x
1 dx d (ln x) ( x 0) x
x arcsin x 1 x2
2
1
dx
1
解：
1
定积分证明
定积分证明定积分证明第一篇1、原函数存在定理●定理假如函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简洁的说连续函数肯定有原函数。
●分部积分法假如被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
假如被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数肯定存在，但原函数不肯定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质假如在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论假如在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)假如函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的'方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)定积分证明第二篇《复变函数与积分变换》是电气技术、自动化及信号处理等工科专业的重要基础课，也是重要的工具性课程。
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分部积分法
1 2
x2 arcsin x
1 0
1 2
1 2
sin2 t
1 x2 0 1 x2
co std t
dx
4 2 0 1 sin2 t
换元法: x=sint
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
2 sin2 tdt 1 2 1 cos2t dt
0 1 co s2x
分部积分法
解 1 cos2x 2cos2 x,
4
xd x
4
xdx
4
x
d tan x
0 1 co s2x 0 2cos2 x 0 2
1
2
1
x tan x
4
0
2
4
0
tan xdx
1
ln 2
8
2
ln sec x
4
0
8
4
.
u=? dv=?
b
b
udv
广义积分
定义5.2 设函数f（x）在区间 a， ）上连续，如果
b
lim f（x）dx （a b）
b a
存在，则称此极限值为f（x）在期间 a， ）上的
广义积分. 记作
(5.4.1)
广义积分
类似地，可以定义函数 f（x）在（ ，b 和
（- ， ）上的广义积分：
(5.4.2)
(5.4.3)
其中，c （- ， ）.
广义积分
例1 计算广义积分 e-2x d x 0
解
e2x d x lim
0
b
b
e2x d x
0
lim (
b
1 2
e 2 x
)
b 0
lim ( 1 e2b 1 ) 1
b 2
22
例2 计算广义积分 1 dx 1 x 2
广义积分
解
1
0
dx
1
1
dx
lim
1
x b 1 x
vd u
(5.3.3)
a
a
(5.3.3)式称为定积分的分部积分公式
推导 uv uv uv,
b
b
(uv)dx uv ,
a
a
b
b
u
v
b a
uvd x
uvd x,
a
a
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
例如 计算
2
arcsin xd x.
0
解 令 u arcsin x, d v d x, 则 du
dx
1 x2
1 x2
0 1 x2
0 1
b1
lim
dx lim
dx
a a 1 x 2
b 0 1 x 2
lim (arctan
a
x)
0 a
lim (arctan
b
x)
b 0
注意
有限
区间上定积分
的计算和对积
分结果求极限
的运算的正确
性.
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
1
2
1
arcsin xdx
x arcsin x
2
0
1 2
0
0
1 1
1 2
1 d(1 x2 )
2 6 2 0 1 x2
1
12
1
x2
2
0 12
3 1.
2
dx , v x,
1 x2
xd x
1 x2
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
2
例6 计算 x ln xdx 1
广义积分
5.4 无限区间上的广义积分
广义积分
在前面所讨论的定积分都是可积函数在有限区 间〔a，b〕上求积分。在概率论和其他一些实际问 题中，经常需要讨论无限区间上的积分. 因此，我 们将定积分的概念推广到无限区间. 这类积分称为 无限区间上的广义积分.
本节讨论的定积分其积分区间是从有限到无 限(即无限区间上的广义积分):
1
0 (2 x)2
0
2 x
ln(1 x) 2 x
1 0
1 0
1 d ln (1 x) 2 x
ln 2 1
1
1 dx
3 0 2 x 1 x
ln 2
3
ln (1
x)
ln
(2
x)
1 0
5 ln 2 ln 3. 3
分部积分法
熟记定积分的分部积分公式:
（注意与不定积分分部积分法的区别）
授课内容
▪ 定积分的分部积分法 ▪ 无限区间上的广义积分
知识点
▪ 定积分的分部积分公式 ▪ 无限区间、广义积分、收敛、发散
重点
分部积分公式的应用
分部积分法
5.3.2 定积分的分部积分法
设函数u u(x)与v v(x)在区间a,b上有连续
导数u(x), v(x), 则
b
b
udv
(u v)
b a
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
例7 计算 x e-x d x 0
解 利用定积分的分部积分法
1
1
xexdx x dex
0
0
1
xe x
1 0
exdx
0
x=u,dx=du
e1 ex
1 0
1 2e1
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
例(补充) 计算 4
xdx .
a
b
22
广义积分
课堂练习 Ex 5
9(1) 解答：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
e-x dx lim
0
b
ex d x lim (ex )
0
b
b 0
lim (eb e0 ) lim eb 1
b
b
1 lim 1 1
b eb
所以，广义积分 e-x dx收敛. 0
例3 求广义积分 xe-x dx 0
4 20
4 20 2
4
1 4
(t
1 2
sin 2t)
2 0
1 ( 0)
4 42
8
运用三角函 数倍角公式
由例8可见,在一些定积分的求解中,需要综合 运用定积分的换元积分法和分部积分法.
分部积分法
又例(补充) 计算
1 ln(1 x) dx.
0 (2 x)2
解
1
ln(1 x) dx
1
ln(1 x)d
解 设u ln x , d v x d x 则du 1 dx, v 1 x2 .
x
2
由定积分的分部积分公式(5.3.3)可得
2 x ln xdx
1
1 2
x2
ln x
2 1
2 1
1 2
x2
1 x
dx
2 ln 2
1 4
x2
2 1
2ln 2 3 4
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
解 xexdx xdex
0
0
lim xex b
b 0
exdx
0
lim (beb )
b
lim (ex )
b
b 0
0 lim (eb e0 )
b 1 lim 1 0 1 1
b eb
广义积分
求极限时用到 洛必达法则
广义积分
课堂练习 Ex 5
9(3) 解答
dx
b dx
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
例8 计算 x arcsin xdx 0
解 先用定积分的分部积分法,再用定积分的换元积分法.
设 arcsin x u , xdx dv; 则du
dx
x2 ,v .
1
1
xarcasin xdx
1
1 x2
arcsin xdx2
2
0
20