直线与平面垂直练习题,

直线与平面垂直练习题

一、解答题

1.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，

//AD BC ，90,1,2ABC SA AB BC ∠=︒===.

1.求证：BA ⊥平面SAD ；

2.求异面直线AD 与SC 所成角的大小．

2. 如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA AC PC BC M ⊥⊥为PB 的中点，D 为AB 的中

点，且AMB △为正三角形.

（1）求证：BC ⊥平面PAC ；

（2）若2PA BC =，三棱锥P ABC -的体积为1，求点B 到平面DCM 的距离.

3.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面

ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，N 是PB 的中点，E 为AD 的中点，过

,,A D N 的平面交PC 于点M ．

（1）求证：//EN 平面PDC ；

（2）求证：BC ⊥平面PEB ；

（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．

4.如图,在三棱锥P ABC -中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,23BC =,26AC =,D 为线段AB 上的点,且2AD DB =,PD AC ⊥.

1.求证:PD ⊥平面ABC ;

2.若π4

PAB ∠=,求点B 到平面PAC 的距离. 5.如图所示，在三棱锥A BCD -中，,O E 分别是,BD BC 的中点,

2CA CB CD BD ====, 2AB AD ==.

1.求证：AO ⊥平面BCD ；

2.求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；

6.如图,在三棱锥P ABC -中,22==BC AB ,4PA PB PC AC ====, O 为AC 的中点.

1.证明: PO ⊥平面ABC ;

2.若点M 在棱BC 上,且2MC MB =,求点 C 到平面POM 的距离.

7.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．

（1）求证：DF ⊥平面PAB

（2）求证://BE 平面PDF ．

8.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1,90AA AB ABC ==︒,侧面11A ABB ⊥底面ABC .

1.求证:1AB ⊥平面1A BC ;

2.若15,3,60AC BC A AB ==∠=︒,求三棱柱111ABC A B C -的体积.

9.直三棱柱111ABC A B C -中,14AC BC AA ===,AC BC ⊥.

1.证明:1AC ⊥平面1A BC ;

2.设四边形11AAC C 的两条对角线的交点为D ,求三棱锥11C A BD -的体积.

10.如图,D 是AC 的中点,四边形BDEF 是菱形,平面BDEF ⊥平面

,60,ABC FBD AB BC ∠=︒⊥，2AB BC ==.

1.若点M 是线段的中点，证明:BF ⊥平面AMC ;

2.求六面体ABCDE 的体积.

11.如图,三角形ABC △中, 22

AC BC AB ==,ABED 是边长为1的正方形,平面ABED ⊥平面ABC ,若,G F 分别是,EC BD 的中点.

1.求证: //GF 平面ABC ;

2.求证: AC ⊥平面EBC ;

3.求几何体ADEBC 的体积.

二、计算题

12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，123AA =24AC AB ==，60BAC ∠=︒

1.证明：1B C ⊥平面1ABC ；

2.求三棱锥11C ABB 的体积。

参考答案

一、解答题

1.答案：1.证明：∵SA ⊥平面ABCD ，

AD ⊂平面ABCD ，∴SA BA ⊥

又∵90ABC ∠=︒，//AD BC ，∴BA AD ⊥，

又∵SA AD A ⋂=，

∴BA ⊥面SAD

2.∵//AD BC ，

∴异面直线AD 与SC 所成角是BCS ∠或其补角，

∵,BC SA BC BA ⊥⊥，且SA BA A ⋂=,

∴BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，∴BC SB ⊥

在Rt SAB △中，∵2222SB SA AB =+=，2BC =

，

∴45BCS ∠=︒，

∴异面直线AD 与SC 所成角的大小为45︒

解析：

2.答案：（1）证明：在正AMB △中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥． 因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥． 又PA AC ⊥，,,AB AC A AB AC ⋂=⊂平面ABC ，

所以PA ⊥平面ABC ．

因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．

又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥⋂=⊂平面PAC ，

所以BC ⊥平面PAC ．

（2）设AB x =,则12,2PB MD BC AC x ==

== 三棱锥P ABC -的体积为311138

ABC V S PA x =⋅⋅==，得2x = 设点B 到平面DCM 的距离为h ．因为AMB △为正三角形，所以2AB MB ==．

因为BC BC AC =⊥，所以1AC =．

所以111111222224

BCD ABC S S BC AC ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△△．

因为MD =，由（1）知//MD PA ，所以MD DC ⊥．

在ABC △中，112CD AB =

=，所以111222MCD S MD CD =⨯⨯==△． 因为M BCD

B MCD V V --=，

所以1133

BCD MCD S MD S h ⋅=⋅△△，即1133h =．

所以2h =

．故点B 到平面DCM 的距离为2． 解析：

3.答案：（1）因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，

所以//AD 平面PBC ．又平面ADMN ⋂平面PBC MN =，所以//AD MN ． 又因为//AD BC ，所以//MN BC ．

又因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以12MN BC =

． 因为E 为AD 的中点，1122

DE AD BC MN ===， 所以//DE MN ，所以四边形DENM 为平行四边形，所以//EN DM ． 又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，

所以//EN 平面PDC ．

（2）因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60,BAD E ∠=︒为AD 中点， 所以BE AD ⊥．

又因为,PE AD PE BE E ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PEB ．

因为//AD BC ，所以BC ⊥平面PEB ．