双曲线的焦半径
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弦，且 AF 2 BF ，求A,B两点的横坐标.
析： 法1：焦半径公式
绝对值内看焦，左加右减
故 AF ex1 a 去绝对值看支，左负右正
BF ex2 a
法2：双曲线的第二定义
59
91
xA 10 , xB 20
练.求证：等轴双曲线上任一点P到中心的距离 等于P到两个焦点距离的比例中项.
y P (x0, y0)
|PF1|=a+ex0、 |PF2|= a-ex0 称为焦半径公式，
F1 O
F2 x
当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公式： |PF1|=a+ey0、 |PF2|= a-ey0
忆海拾贝
1. 双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
1.设F1，F2为双曲线 x2 y2 1的两焦点,点P
4
在双曲线上且满足∠ F1PF2=900，则⊿F1PF2的面积
为.
1
2.已知双曲线 x2 y2 1 上任意一点与 两焦点
连线垂直。则点P坐标是
6 , 2
2 2
例3.设AB为过双曲线 x2 y2 1 的右焦点的
y
x1 a 点M在左支上
x
MF1 (ex1 a) F1
F2
MF2 (ex1 a)
新知探究
例2.已知双曲线 y2 x2 1 的一上不同的三A （x1,y1) , 12 13
B( 26,6),C（x2,y2) 与焦点F（0，5）的距离成等差数列，
求y1+y2=12.
解：∵双曲线为
请你推导
MFa22
MF2绝对 值e 符x1号能c去掉吗ex？1
c a2
ac
ex1 a
双曲线焦半径公式及其记忆方法：
MF1 ex1 a
MF2 ex1 a
绝对值内看焦，左加右减 去绝对值看支，左负右正
x1 a 点M在右支上
MF1 ex1 a
MF2 ex1 a
y2
x2
1
∴a2=12,b2=1132 ∴1c32=25 c 5,a 2 3, e 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FA
5 23
y1
2
3
23 FA , FB , FC 成等差列
FB 5 6 2 3 FA FC 2 FB
23
FC
5 23
y2 2
3
y1 y2 12
[基础练习]
8.4 双曲线的简单几何性质(3)
双曲线的焦半径
忆海拾贝
一般地, 若P(x0, y0)是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a>b>0)上任意一
点, 则点P到左焦点F1的距离为: | PF1 | a ex0
点P到右焦点F2的距离为: | PF2 | a ex0
|PF1|、 |PF2|称为焦半径，
析：设M（x1,y1)到双曲线两焦点F1，F2
1上一点,求M到
y l
相应的准线的距离为d1,d2.
e 由椭圆如的果第点二M定在义双可曲知线：左.支上，
MF1 绝对值符M号F1怎样 去ed掉1 ？
F1
O
F2 x
d1
a2
c a2
MF1 e x1 c ex1 a c ex1 a
双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率。
2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 a2
y2 b2
1,
准线为
x a2 c
对于双曲线
y2 x2 a2 b2 1
准线为
a2 y
c
注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.
x2 y2
例双1. 曲设线M如（两果绝x焦点1对,点yM1值)F是在1符，双双号F曲曲2怎的线线样距右去离支掉.a上？2， b2
析： 1.设方程，画图，建系。
2.写焦点坐标，a,c,e
3.用焦半径公式写出︱PF1︱，︱PF2︱
4.验证︱PF1︱︱PF2︱=︱PO︱2
弦，且 AF 2 BF ，求A,B两点的横坐标.
析： 法1：焦半径公式
绝对值内看焦，左加右减
故 AF ex1 a 去绝对值看支，左负右正
BF ex2 a
法2：双曲线的第二定义
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xA 10 , xB 20
练.求证：等轴双曲线上任一点P到中心的距离 等于P到两个焦点距离的比例中项.
y P (x0, y0)
|PF1|=a+ex0、 |PF2|= a-ex0 称为焦半径公式，
F1 O
F2 x
当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公式： |PF1|=a+ey0、 |PF2|= a-ey0
忆海拾贝
1. 双曲线的第二定义
平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是
1.设F1，F2为双曲线 x2 y2 1的两焦点,点P
4
在双曲线上且满足∠ F1PF2=900，则⊿F1PF2的面积
为.
1
2.已知双曲线 x2 y2 1 上任意一点与 两焦点
连线垂直。则点P坐标是
6 , 2
2 2
例3.设AB为过双曲线 x2 y2 1 的右焦点的
y
x1 a 点M在左支上
x
MF1 (ex1 a) F1
F2
MF2 (ex1 a)
新知探究
例2.已知双曲线 y2 x2 1 的一上不同的三A （x1,y1) , 12 13
B( 26,6),C（x2,y2) 与焦点F（0，5）的距离成等差数列，
求y1+y2=12.
解：∵双曲线为
请你推导
MFa22
MF2绝对 值e 符x1号能c去掉吗ex？1
c a2
ac
ex1 a
双曲线焦半径公式及其记忆方法：
MF1 ex1 a
MF2 ex1 a
绝对值内看焦，左加右减 去绝对值看支，左负右正
x1 a 点M在右支上
MF1 ex1 a
MF2 ex1 a
y2
x2
1
∴a2=12,b2=1132 ∴1c32=25 c 5,a 2 3, e 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FA
5 23
y1
2
3
23 FA , FB , FC 成等差列
FB 5 6 2 3 FA FC 2 FB
23
FC
5 23
y2 2
3
y1 y2 12
[基础练习]
8.4 双曲线的简单几何性质(3)
双曲线的焦半径
忆海拾贝
一般地, 若P(x0, y0)是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a>b>0)上任意一
点, 则点P到左焦点F1的距离为: | PF1 | a ex0
点P到右焦点F2的距离为: | PF2 | a ex0
|PF1|、 |PF2|称为焦半径，
析：设M（x1,y1)到双曲线两焦点F1，F2
1上一点,求M到
y l
相应的准线的距离为d1,d2.
e 由椭圆如的果第点二M定在义双可曲知线：左.支上，
MF1 绝对值符M号F1怎样 去ed掉1 ？
F1
O
F2 x
d1
a2
c a2
MF1 e x1 c ex1 a c ex1 a
双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线 的准线，常数e是双曲线的离心率。
2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 a2
y2 b2
1,
准线为
x a2 c
对于双曲线
y2 x2 a2 b2 1
准线为
a2 y
c
注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.
x2 y2
例双1. 曲设线M如（两果绝x焦点1对,点yM1值)F是在1符，双双号F曲曲2怎的线线样距右去离支掉.a上？2， b2
析： 1.设方程，画图，建系。
2.写焦点坐标，a,c,e
3.用焦半径公式写出︱PF1︱，︱PF2︱
4.验证︱PF1︱︱PF2︱=︱PO︱2