结构力学基础要点

A
解联立方程组，杆端剪力利用平衡条件，求得
M AB 4i A 2i B M BA FQAB 6i l 6i 2i A 4i B l i i 12i FQBA 6 A 6 B 2 l l l
6
1）B端固定支座
2）B端铰支座
令θB=0
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力法和位移法比较 力法 基本未知量 基本结构 基本结构取法 基本方程 多余未知力 静定结构 解除多余约束 变形协调方程 位移法 结点位移 单跨超静定梁组合体系 附加刚臂和链杆 平衡方程
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§9.7 步骤和算例
1 整理数据，局部和整体编码
2 局部坐标系下单刚k,（式9-6）
3 整体坐标系下单刚k e 5 荷载转化 e 1）单元固端荷载F P 2）单元局部坐标系下等效结点荷载P F
● 6
● 7
画内力图
校核
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位移法利用基本体系代替原结构求解的步骤:
• 加入附加约束，原结构分解为许多单跨超静定梁 组合的基本结构。 • 基本结构在附加约束上发生跟原结构相同的位移， 并考虑荷载作用，使附加约束上的反力和反力偶 为零，建立位移法基本方程。 1) 分别绘出基本结构在每一附加约束发生单位 位移时的Mi图和荷载单独作用下的MP图。 2）利用平衡条件求出各系数及自由项。 • 解位移法典型方程，求出基本未知量
3）B端定向支座
令θB=0和FQAB=FQBA=0
M AB i A M BA i A FQAB FQBA 0
E C
7
A
B
D
各系数只与杆件的截面尺寸和材料性质有关，叫形常数
简图
θA=1 A EI l A EI l θA=1 EI l EI A l θA=1 A l EI B B △=1 B B △=1 B
EA EA e F u x1 1 l l EA EA F x 2 u 2 l l e EA EA l e l EA 1 1 k 1 1 EA EA l l l
进行几何组成分析的关键是如何正确选择刚片（被约束对 象）和约束。为此，要注意以下几个问题： 1.基本规律可分为一个刚片与一个铰连接、两刚片连接和 三刚片连接三种方式。分析一个体系时可以从三种方式去考虑。 但应注意有的体系任选一种方式均能得出结果，有的则不能， 而三刚片之间的连接规律则是通用的（P18和教材P23）； 2. 刚片是指内部几何不变部分。它可以是一根杆，也可 以是一个几何不变且没有多余约束的构造单元。 3.连接是指两刚片之间有直接相连的约束。我们用的只有 两类：一是铰结点（包括瞬铰），一是链杆（包括等效代换的 链杆）。使用连接要注意两点：一是直接相连两刚片，一是作 为链杆本身几何不变的。 C F
e e
θ1=0 u1
1
θ2=0
2
v1=0
u2 v2=0
（2）连续梁，忽略轴向变形，取每跨梁作为单元，只有两个 2其余四个分量为0 杆端位移分量 1， u 1 u 2 v1 v 2 0
4 EI 2 EI e l M 1 l 1 2 EI 4 EI M 2 2 l l e 4 EI 2 EI e 4 i 2 i l ke l 2 EI 4 EI 2i 4i l l
e F x1
M
F
e 1
e y1
o
1 e
x
а
2
M
y y
sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 0 sin cos 0
e F x 0 1 e F 0 y1 0 M 1e 0 Fxe1 0 F e y1 1 M e 1
e 2
F
e
e x2
Fxe2
x
M2 F y2
e
Fye2
F TF e
18
3
外因
自由项不同
方程右边项
内力
荷载
△ip
△ic基本结构下的 支座位移产生
一般为0
解除多余约束有支座位移 时不为0
多余约束力和 荷载共同引起， 与相对EI有关 全部由多余未 知力引起， 与EI成正比 全部由多余未 知力引起， 与EI成正比
支座移动
温度
△it
一般为0
4
荷载作用、支座位移、温度改变时超静定结构和静定结构变形 内力情况
FQAB FQBA
3i l2
M AB i M BA i
FQAB FQBA 0
8
二. 由荷载求固端内力——载常数
单跨超静定梁仅由荷载作用产生的杆端弯矩和杆端力，叫固 F F F F 端弯矩和固端剪力 M AB , M BA 和FQAB , FQBA 只与荷载形式有关的常数，叫载常数。为了便于运用，将其 数值列于表7-1中。 在已知荷载和支座位移作用下，杆端内力的一般公式： 1） 两端固定梁的杆端弯矩和杆端剪力：
1, R
去掉约束的方式: ●1 撤去一根支杆或切断一根链杆,相当于拆掉一个约束 ●2 撤去一个铰支座或一个单铰,相当于两个约束 ●3 撤去一个固端约束或切断一个梁式杆,相当于三个约束 ●4 在连续杆上加一个单铰,等于拆掉一个约束 注意几点： ●1 超静定结构变成静定结构，有多种不同方式， 但每种方式去掉多预约束的个数相同。 ●2 不要变为几何可变体系。 ●3 拆除全部多余约束。 ●4 注意其中的静定部分。
（7-4）
9
2）
一端固定一端铰支梁的杆端弯矩和杆端剪力：
M AB 3i A 3i M BA 0 i F FQAB 3 A 3i AB FQAB 2 l l i F FQBA 3 A 3i AB F QBA l l2 AB F M AB l
外因 荷载 静定结构 有变形 有内力 无变形 无内力 超静定结构 有变形 有内力 有变形 有内力
支座移动
温度
有变形 无内力
有变形 有内力
5
A θA
B
Δ θB
由单位荷载法，并考虑△，得
1 1 M AB M BA 3i 6i l 1 1 B M AB M BA 6i 3i l
e e
பைடு நூலகம்
θ1 u1=0
1
θ2
2
v1=0
u2=0 v2=0
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§9.3 单元刚度矩阵（整体坐标系） e
Fy1
1 单元坐标系转化矩阵
F
e x1
M 1e
F x1
e
e F y1 Fxe1 sin Fye1 cos e M 1 M 1e e e e F x 2 Fx 2 cos Fy 2 sin e e e F y 2 Fx 2 sin Fy 2 cos e e M 2 M2
F cos e F y1 sin e M 1 0 e 矩阵形式： F x1 0 e 0 F y1 0 e M 1
e x1
Fxe1 cos Fye1 sin
2 单元刚度方程
F
由杆端位移求杆端力所建立的方程
F x1 F
e x2 e e EA e (u 1 u 2 ) l e EA e (u 1 u 2 ) l
杆端轴向位移求杆端轴向力
（1）
杆端横向和转角位移求杆端剪力和杆端弯矩
e 4 EI e 2 EI e 6 EI e M 1 2 2 (v 1 v 2 ) l l l e e e e e 2 EI 4 EI 6 EI M2 1 2 2 (v 1 v 2 ) l l l e e e 6 EI e 12EI e F y1 2 ( 1 2 ) 3 (v 1 v 2 ) l l e e e 6 EI e 12EI e F y 2 2 ( 1 2 ) 3 (v 1 v 2 ) l l e 1
杆端弯矩 （顺时针为正）
M AB 4i M BA 2i
杆端剪力
FQAB FQBA
6i l
M AB M BA 6
i l
FQAB FQBA
12i l2
A
M AB 3i M BA 0
i l
FQAB FQBA
3i l
M AB 3 M BA 0
e e e
F x1 F y1 M 1 F x 2 F y 2 M 2
e
F k
（4）
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4 特殊单元 （1）桁架，只有轴向变形，以每根杆作为单元，只有两个 杆端位移分量 u1 , u 2 其余四个分量为0 v1 v 2 1 2 0
e T
e e P
e
TT k T
e
4 由定位向量集成整体刚度矩阵K
3）单元整体坐标系下等效结点荷载P T P
4）整体坐标系下结构的等效结点荷载 P 6 解方程 K P ，求结点位移△ 7 求各杆的杆端内力 F k F k T F
e e e e e P e e P
e
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（7-5）
3）一端固定一端定向梁的杆端弯矩和杆端剪力：
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA F FQAB FQAB
（7-6）
FQBA 0
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基本步骤：
● 1 确定基本未知量（考虑变形协调条件）
● 2 由表7-1和转角位移公式写出基本未知量表示的杆端弯矩 和杆端剪力表达式 ● 3 列平衡方程（一个刚结点对应一个力矩平衡方程，一个线 位移对应一个截面平衡方程） ● 4 ● 5 求解基本未知量 代入2）步，求出各杆杆端内力
AB F M AB l F M BA 2i A 4i B 6i AB M BA l i i F FQAB 6 A 6 B 12i AB FQAB 2 l l l i i F FQBA 6 A 6 B 12i AB F QBA l l l2 M AB 4i A 2i B 6i
6i M AB 4i A l 6i M BA 2i A l i 12i FQAB FQBA 6 A 2 l l
令MB=0
M AB 3i A M BA 0 i 3i FQAB FQBA 3 A 2 l l 3i l
（2）
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（1）（2）式合并，写成矩阵形式
EA EA 0 0 0 0 l l e 12EI 6 EI 12EI 6 EI u 1 0 0 3 3 2 2 l l l l v1 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI 0 0 2 2 1 （3） l l l l EA EA 0 0 0 0 u 2 l l v 2 12EI 6 EI 12EI 6 EI 0 3 2 0 l l l3 l 2 2 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI 0 2 0 2 l l l l
A B D E
1
M kdx F dx F dx RC
N Q
荷载P
Mp EI
温度t
t
h
支座移动c
位移 状态
, k
,
, k
,
FQ FN , EA GA
t 0
Δ ，c
力状态 （虚设）
1, M , FN , FQ
1, M , FN