工程力学课件 第九章 弯曲 挠度

x
y
b/2 b/2
h
z
Fra Baidu bibliotek纵向对称平面
FN 0
y
静力学方面:
My 0 Mz M
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第 9章 弯 曲
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弯曲变形演示
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第 9章 弯 曲
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（1）各横向周线仍各在一个平面内，只是各自绕着 与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度；
(2) 纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直； (3) 部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。
34
例题 9-1
对于图示 T形截面梁,已知:Iz=290.6×10-8 m4 求横截面上的最大拉应力和最大压应力。
C A 1 2 3 3 kN· m x 35 65
8 kN
B
3 kN
80 20
z
20
80
y
单位: mm
M
2.5 kN· m
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第 9章 弯 曲 3 kN· m B 3 kN x
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思考题 9-2 下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。
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§9-2 弯曲正应力
9.2.1 横力弯曲与纯弯曲的概念
M 0 横力弯曲 弯曲正应力 弯曲切应力
dA
FS 0
FS dA
A
y z
dA
dA
dA
M ydA
A
(-)
(+)
M
y
FS
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先观察下列各组图
(a) 图中这种梁段的 弯曲(横截面上 既有 弯矩又有剪力）称为 横力弯曲。
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图中这种梁的弯 曲(横截面上只有弯矩 而无剪力）称为纯弯 曲。
(b)
M=0, FS =0
纯弯曲
纯弯梁
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4
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(4) 空心圆截面的惯性矩 π I y I z ( D4 d 4 ) 64 π D4 (1 4 ) 64 d D π D3 4 Wz (1 ) 32
c c d
z
y
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6. 纯弯曲理论的简单回顾 My 公式 的适用条件： Iz (a) 几何方面：平面假设； (b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料 在线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩 时的弹性模量相等。
B
FA
4m
E
FS（kN） 7 3
5m
1 3
FA 7 kN
6
6 16
x
FD 5 kN
M （kN· m） 20 20.5
(2) 利用微分关系 作图
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思考题 9-1 下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。
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7. 纯弯曲理论的推广 横力弯曲时，由于切应力的存在,梁的横截 面将发生翘曲。此外在与中性层平行的纵截面上, 还有由横向力引起的挤压应力。但工程中的梁, 当跨高比较大时，按纯弯曲理论计算误差不大。
max
M ( x) Wz
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思考题 9-4 若例9-1中的梁截面为工字形，则横截面的最 大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最 大的横截面上？
C 8 kN B 3 kN
A
1 2 3 3 kN· m z
x
y 2.5 kN· m
M
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例题 9-2
图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面 简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截 面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板 交界处a点处(图b)的正应力a。
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1
第9章 弯
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 §9-8
曲
剪力图和弯矩图的进一步研究 弯曲正应力 求惯性矩的平行移轴公式 弯曲切应力 梁的强度条件 挠度和转角 弯曲应变能 超静定梁
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2
§9-1 剪力图和弯矩图的进一步研究
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系;
微分关系的推导; 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用。
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3
1. 微分关系的推导
y A m n q(x) dx
B
载荷集度q(x)是x的连 x 续函数。 规定载荷集度q(x)向 上为正。
x dx
FS(x) C M(x)
M(x)+dM(x)
35
例题 9-1
C A 8 kN
1
2 3
M
2.5 kN· m
解： B 截面： （ 3 103）（ 35 10 3）N B上 8 2 36.1 MPa 290.6 10 m 65 B下 ( 36.1) 67.1 MPa 35 C 截面： 2.5 2.5 C下 B下 67.1 56.0 MPa 3 3
y
Iz为对z轴的惯性矩
z
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小结：
项目
等直梁纯弯曲正应力的计算 依据 平面假设 结果
变化规律 变化规律
中性轴位臵
正应力公式
=y/ =Ey/
通过截面形心
My Iz
单向应力状态下的 胡克定律=E
FN dA 0
A
M z ydA M
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(3) 静力学方面:
FN dA 0
A
M ydA
A
z y
FN E dA
A
y
E

ydA 0 A
A y
S z ydA 0
A
中性轴通过截面的形心 y2 E 2 M ydA E dA y dA
A A


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例题 9-1
l max 56.0 MPa, a max 67.1 MPa.
C 截面上：
30.2 MPa
3 kN· m
x 2.5 kN· m 80
M
B截面上：
36.1 MPa
35
65 z 20
20
80
56.0 MPa
67.1 MPa
y
单位: mm
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9.2.2 单一材料的弯曲正应力
1. 分析模型： (1) 单一材料窄高矩形截面梁（h b） ； (2) 细长梁（l／h 10）； (3) 荷载作用在纵向对称平面内。
b xh l
z y
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2. 实验研究
O M m a b m n a b n M
(3) 绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极 值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。
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3. 应用分析
q A F M C
4m 4m
F D FD 2
x
3m
已知: F=2 kN，M =10 kN ·m
q =1 kN/m。 求: 梁ABCDE的剪力图 及弯矩图。 解： (1) 求约束力
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切应力=0 正应力 纯弯曲
正应力沿 高度方向 如何分布
沿截面宽度 方向均匀分 布
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3. 弯曲正应力的计算
(1) 几何方面:
( y )d d y d (2) 物理方面:
E
E y

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dx段载荷集度分布均匀。
FS(x)+dFS (x)
q(x)
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4
ΣFy＝0
FS(x) + q(x) dx - [FS(x) + dFS (x)] = 0 Σ MC = 0 M(x) + dM(x) - M(x) - FS (x) dx – [q(x) dx] dx / 2 = 0
A
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M
1
E
y dA A
2
I z y 2d A
A
M EIz为抗弯刚度 EI z Ey My A E y Iz 公式的适用条件： (a) 几何方面：平面假设； (b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在线弹 性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的弹性模量相 等。
dx FS(x) M(x)+dM(x)
dFS q( x ) dx
—— (1)
C
M(x)
FS(x)+dFS (x)
q(x)
dM ( x ) FS ( x ) —— (2) dx 2 d M ( x) q( x ) —— (3) 2 dx
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2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系
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(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数
4 π d 2 I P dA 32 A
2 y2 z2
I P ( y z )dA I y I z
2 2 A
c
z dA
y
z y
I P πd I y Iz 2 64 πd 3 Wz 32
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例题 9-2
由型钢规格表查得56a号工字钢截面
W z 2342 cm 3 I z 65586 cm 4
于是有 M max 375 103 N m max 6 3 160 MPa Wz 2342 10 m 危险截面上点a 处的正应力为
0.56 m 375 10 N m 0.021 m M max ya 2 148 MPa a Iz 65586 108 m 4
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直梁纯弯曲时的平面假设： 直梁纯弯曲时，原为平面的横截面仍保持为平 面，且仍垂直于弯曲后梁的轴线，只是相邻横截面 各自绕着与弯曲平面垂直的某一根横向轴——中性 轴作相对转动。
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c
中性层 受压区
M

M
受拉区
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3
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例题 9-2
该点处的正应力a亦可根据直 梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂 直的方向按直线变化的规律，利用 已求得的该横截面上的max=160 MPa来计算：
ya a max ymax 148 MPa
0.56 m 0 . 021 m 2 160 MPa 0.56 m 2
b
空心矩形的惯性矩？ 圆的惯性矩？
y
y z
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思考题 9-3 如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴 是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？
b
z y y
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5. 轴惯性矩及抗弯截面系数 (1) 实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数 3 bh I z y 2dA 12 A My Iz M ymax M l max a max Iz Wz 对中性轴z 的抗弯截面系数:
b
z
y
Iz 1 2 Wz bh （单位为:mm3或m3） ymax 6
y
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(2) 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数
BH 3 bh3 Iz 12 12 HB 3 hb3 Iy 12 12
B
b
C
z
BH 3 bh3 Wz 6H
y
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例题 9-2
解: 1. 在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下，该梁 的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最 大弯矩值为
M max
Fl 150 kN 10 m 375 kN m 4 4
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6
归 纳： (1) 图 形 规 律
q
FS
=0
>0
<0
M 为 直 线 段 FS >0 =0 <0 >0 <0 >0 <0
M
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(2) 突 变 规 律 (a) 在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折 转。 (b) 在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图 有突变。
A
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线弹性, 小变形, 外力作用在纵向对称平面内;
线应变和正应力在横截面上的分布规律。 截 面
线应变
max
－ z +
正应力
max
－
+
y
max
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4. 轴惯性矩
I z y 2d A
A h 2 h 2 3 bh y 2 b dy 12