组合数学第四版答案

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【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】

>1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a- b|=5；（2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。所以这样的序列有90对。（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4 或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。当|a- b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。当此类推当

|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，

当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a 和b之间正好有3个女生的排列是多少？

所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若

(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为

pp

n

n

n?1m

(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m

个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。因此，共有n!?(m?1)!种可能。

(c)男生a和女生b排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此

有2！种可能，a、b组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！(这里实际上是m+n-2个学生和ab的组合形成的)种可能。共有组

合数为2!?(m?n?1)! 1.4题26个英文字母进行排列，求x和y之间有5个字母的排列数解：c（24，5）*13！

1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。

1.7题试证：(n?1)(n?2)?(2n)被2n除尽。

n

证明：因(2n)!?2n!(2n?1)!!

(n?1)(n?2)?(2n)n!(n?1)(n?2)?(2n)(2n)!

(2n?1)!! nnn

2n!2n!2

因为(2n-1)!!是整数所以(n?1)(n?2)?(2n)能被2n除尽。

1．8题求10和20的公因数数目。

404040403010306030402030

解：因为10?2*5?2*5*520?2*5?2*2*5

4030

它们最大公因子为2*5转化为求最大公因子能除尽的整数个数，

能

除尽它的整数是 2a*5b,0??a??40,0??b??30

根据乘法法则，能除尽它的数个数为41*31=1271

2

1.9题试证n的正除数的数目是奇数。

2

证明：设有0?a?n,n?b?n2, 则一定有表达式n?a?b，

则可知符合范围的a和b必成对出现，所以为偶数。

22

又当a=b=n时，表达式n=a?b仍然成立。所以n的正除数的数目是―偶数?1‖为奇数。 1.10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式: 证：对n用归纳法。

,0≤ai≤i,i＝1,2,…。

40

30

由假设对n-k!,命题成立，设

，其中ak≤k-1,，命题成立。

再证表示的唯一性：设

, 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}

(aj?bj)?j(bi?ai)?i!?ji?ibi?ai?i(bi?ai)?i! 矛盾，命题成立。

1.11题证明nc(n-1,r)= (r+1)c(n,r+1),并给予组合解释.

证：nc(n?1,r)?n

(n?1)!(r?1)?n!(r?1)?n!

(r?1)c(n,r?1)

r!?(n?r?1)!(r?1)?r!?(n?r?1)!(r?1)!?(n?r?1)!

所以左边等于右边

组合意义：等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；

等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。所以两种方案数相同。 1.12题证明等式：

kc(n,k)?n2

k?1

n

n?1

n?1?n?n?1?n?1?n?1?n?1

n?n?nc(n?1,0)?c(n?1,1)?l?c(n?1,n?1)?n2?右边?? 证明：等式左边??n

k?1?k?1?k?1?k?1?s?0?s?

n

1.13题有n个不同的整数，从中间取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。

解题思路：（取法由大到小）

第1步：从n个数由大到小取一个数做为第一组，其它n-1个数为第二组，

组合数为：c（n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)}

第2步：从n个数由大到小取两个数做为第一组，其它n-2个数为第二组，

组合数为：c（n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)} …

第n-2步：从n个数由大到小取n-2个数做为第一组，其它2个数为第二组，组合数为：c（n,n-2）*{c(2,1)} 第n-1步：从n个数由大到小取n-1个数做为第一组，其它1个数为第二组，组合数为：c （n,n-1）*{c(1,1} 总的组合数为：

c(n,1)?{c(n?1,1)?c(n?1,2)c(n?1,n?1)}?c(n,2)?{c(n?2,1)?c(n? 2,2)c(n?2,n?2)}

c(n,n?2)?{c(2,1)?c(n,n?1)?c(1,1)}

1.14 题6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？

解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有c(3,1)种取法，

第2步从特定引擎一边的2个中取1个有c(2,1)种取法，

第3步从特定引擎对面的2个中取1个有c(2,1)中取法，剩下的