竖直平面内的圆周运动分析

竖直平面内的圆周运动及实例分析

河南 曹传涛

竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。 一、两类模型——轻绳类和轻杆类 1．轻绳类

如图1所示，运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚

好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有r

v

m

mg min

2=，式中的gr v =

min 是质点通过最高点的最小速度，叫

临界速度；（3）质点过最高点的最小向心加速度g a =；（3）质点能通过最高点的条件是gr v v nin =≥，当质点的速度小于这一值时，质

点将运动不到最高点。 2．轻杆类

如图2所示，运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零。（1）当0=v 时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，

其大小等于质点的重力，即mg F N =；（2）当gr v =时，0=N F ；

（3）当gr v ≥

，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向

圆心的拉力，且拉力随速度的增大而增大；（4）当gr v <<0时，

质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持力，支持力随的增大而减小。

二、可化为这两类模型的圆周运动

竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，如竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。 三、典例分析

例1．如图3所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R 。一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg （g 为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围。 解析：设物块在圆形轨道最高点的速度为v ，由机械能守恒定律得

2

2

12mv mgR mgh +

= ①

物块在最高点受的力为重力mg 、轨道的压力

N F 。重力与压力的合力提供向心力，有

R

v

m

F mg N 2

=+ ②

物块能通过最高点的条件是0≥N F ③ 由②③式得gR v ≥

④

由①④式得H ≥2．5R ⑤ 由题意可知，mg F N 5=，由②式得 gR v 6<

⑥

由①⑥式得 h ≤5R ⑦

综上所述，可知h 的取值范围是2．5R ≤h ≤5R 例2． 如图4所示，光滑管形圆轨道半径为R （管径远小于R ）固定，小球a 、b 大小相同，质量相同，均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 0通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是（ ）

A ．速度v 0至少为gR 5，才能使两球在管内做圆周运动

B ．当gR v 50=

时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力

C ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mg

D ．只要gR v 5≥

，小球a 对轨道最低点压力比小球b 对轨

道最高点压力都大6mg

解析：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，

由机械能守恒知2

min 2

12mv R mg =

得gR v 2min =

，所以A 错误；当小球在最高点的速度

gR v =，此时

mg R

mv =2

，即重力刚好能提供向心力，小球对轨道无压力，则由机械能

守恒2

2

02

12

12mv

mv R mg =

+

可得，小球在最低点的速度gR v 50=

，所需的向心力

mg R v

m

F n 52

==。 B 正确，C 错误；最高点mg R

mv F -=

2

11，最低点mg R

mv F +=

2

22，

2

22

12

12

12mv mv R mg =

+

所以mg F F 612=-，D 正确。