一元二次方程压轴题含答案

一元二次方程

1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；

（2）求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．

2．设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．

（1）求证：x 1≤1≤x 2

（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问

是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝5

4

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（福建模拟）已知方程组⎩

⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2

y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．

（1）求b 的取值范围；

（2）否存在实数b ，使得1x 1＋1

x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．

6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．

7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a －1

x 2＋y 2＝4a 2－2a ＋2 ，求x y 的取值范围．

8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a 2(1－x 2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1

＜x 2，求证：

－1＜x 1＜0＜x 2＜1．

（答案）

1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；

（2）求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值． 解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2

∴22＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5

（2）∵△＝p 2－4q ＝p 2－4(－2p －5)＝p 2＋8p ＋20＝(p ＋4)2＋4 无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2≥0

∴无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2＋4＞0，∴△＞0 ∴抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点

（3）∵抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的对称轴相同，都为直线x ＝－p

2

，且开口大小相同，抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1可由抛物线

y 1＝x 2

＋px ＋q 沿y 轴方向向上平移一个单位得到 ∴EF ∥MN ，EF ＝MN ＝1

∴四边形FEMN 是平行四边形

由题意得S 四边形FEMN ＝EF ·|－p 2|＝2，即|－p

2

|＝2

∴p ＝±4

2．（安徽某校自主招生）设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试

确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

解：∵△＝52－4(－m 2＋1)＝4m 2＋21

∴不论m 取何值，方程x 2－5x －m 2＋1＝0都有两个不相等的实根 ∵x 2－5x －m 2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m 2

∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36 ∴25－2(1－m 2)＋2|1－m 2|≤36

当1－m 2≥0，即－1≤m ≤1时，25≤36成立 ∴－1≤m ≤1 ①

当1－m 2＜0，即m ＜－1或m ＞1时，得25－4(1－m 2)≤36 解得－152≤m ≤152

∴－

152≤m ＜－1或1＜m ≤152

② 综合①、②得：－

152≤m ≤15

2

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根

∴⎩

⎪⎨⎪⎧a －6≠04a 2－4a (a －6)≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠6a ≥0 假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0

∴4＋－2a a －6－a a －6

＝0，得a ＝24

∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6

∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立