隐函数的求导法则__取对数求导法

第一步：将 y = f (x) 代入方程中, 得到恒等式： F ( x, f (x) ) 0
第二步：恒等式两边同时关于 x 求导： d F(x, f (x)) 0 dx
第三步：从上式中解出 y , 整理得隐函数的导数.
例2 求曲线 3y2 x2 (x 1) 在点（2,2）处的切线方程
两边同时对x求导,得
y y

1 3
1

x

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3 3x 1

5 5x
3

2
1

x

故
y
1 3
3
x(3x 1) (5x 3)(2 x)

1 x

3 3x 1

5 5x
3

2
1
x

例4
设 y 3 x2 1 x sin 3 x, 求 y.
(5x 3)(2 x)
3
解 运用取对数求导法
lny ln(
x(3x 1)
1
)3
(5x 3)(2 x)
ln M n n ln M ln MN ln M ln N ln M ln M ln N
N
1 [ln x ln(3x 1) ln(5x 3) ln(2 x)] 3
同时取对数： ln y ln f (x)
注意：y 是 x 的函数.
然后, 对方程两边关于 x 求导：
y (ln f (x)) y
y y (ln f (x))
二.取对数求导法
适用范围：
取对数求导法常用来求一些 复杂的根式、乘除式、幂指函数 等的导数.
例3
设 y 3 x(3x 1) , x (1 ,2) 求 y. 复杂的根式
1 x2
复杂的乘除式
解 运用取对数求导法
ln y 2 ln x ln(1 x) ln(1 x2) 3ln sin x 3
两边关于 x 求导： y 2 1
y 3x
1 1 x

1
2
x x
2
3cos x sin x
整理得
y

3
x2
1 x 1 x2
sin 3
解 方程两边关于 x 求导：
6y y 3x2 2x
解出y
y 3x2 2x , ( y 0) 6y
k y 4 3 (2,2)
切线方程为
y 2 4 (x 2),即4x 3y 2 0 3
二.取对数求导法
方法: 在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两边
x
)
练
判断： y x x 的导数为 y x x (ln x 1).
A.
B.
一.隐函数的求导法则
例1 求由方程 2xy e y 2 0 所确定的隐函数的导数 y
解 由方程 2xy e y 2 0 确定 y 是 x 的函数， 设为 y =f (x) ，得恒等式 2x f (x) e f (x) 2 0 在恒等式两边关于 x 求导：
第一步 第二步
x

2 3x
1 1 x

1
2x x
2
3cot x
例5
求 y xsin x 的导数.
幂指函数
解 运用取对数求导法
ln y ln xsin x sin x ln x
两边关于 x 求导：
y y

cos
x
ln
x

sin x
x
故
y

xsin
x
(
cos
x
ln
x

sin x
2 f (x) 2xf (x) e f (x) f (x) 0
故
y
f
(x)


2f 2x
(x) e f (x)


2y 2x e
y
,(2x ey
0)
第三步
一.隐函数的求导法则
如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导, 方法及步骤如下：
高等数学之——
3.4 隐函数和高阶求导法则
第三章 导数与微分
第四节 隐函数和高阶求导法则
一.隐函数的求导法 二.取对数求导法 三.参数方程求导法 四.高阶导数
例如 y sin 2x, y ex x2
特点在于： 可以表示成等式左边是只含因变量，而右边等式 只含自变量。即解析式中明显地可以用一个变量 的代数式表示另一个变量时，称为显函数。 但不是所有函数都可用这种方式来表达，比如类 似 2xy e y 2 0 由方程确定的隐函数。