1夹逼准则

3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
两个重要极限
(1) lim sin x = 1 x→0 x
例4
求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
例4
求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 = lim x→0
2 x2
=
1
lim
sin 2
x 2
2 x→0 ( x)2
2
=
1
sin lim(
x 2
)2
2 x→0 x
∴{x }是有界的 ; n
∴ lim n→∞
xn
存在，记为A.
∵ xn+1 =
3 + xn ,
源自文库x2 n+1
=
3
+
xn ,
lim
n→∞
x2 n+1
=
lim(3
n→∞
+
xn ),
A2 = 3 + A,
解得 A = 1 + 13 , A = 1 − 13 (舍去)
2
2
∴ lim n→∞
xn
=
1+ 2
13 .
x→ x0 ( x→∞ )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x→ x0 ( x→∞)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例2
求
lim
x→0+
x
⎡ ⎢⎣
1 x
⎤ ⎥⎦
.
1
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 ≤ x2 ≤ xn ≤ xn+1 ≤ x1 ≥ x2 ≥ xn ≥ xn+1 ≥
=
1 ⋅ 12 2
=
1. 2
2
2
(2) lim(1 + 1 )x = e
x→∞
x
这里 e =2.71828…是自然对数的底数．
设
xn
=
(1 +
1 n
)n
,
可证xn不大于3且单调递增。
记为 lim(1 + 1)n = e
n→∞
n
lim (1 + 1 )x = e.
x→+∞
x
1
lim(1 + x) x = e
x→0
例5 求 lim(1 − 1 )x .
x→∞
x
例6 求 lim(3 + x )2x . x→∞ 2 + x
解
原式
=
lim[(1 +
x→∞
x
1 +
) x+2 ]2 (1 + 2
x
1 +
)−4 2
=
e2.
小结
1.三个准则
夹逼准则; 单调有界准则 ；有界无穷小.
2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
第六节 极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 xn , yn及 zn满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n→ ∞
yn
=
a,
lim
n→∞
zn
=
a,
那末数列 xn的极限存在,
且lim n→∞
xn
= a.
例1 求 lim( 1 + 1 + + 1 ).
n→∞ n2 + 1 n2 + 2
n2 + n
练习
求
lim
n→∞
n
⎛ ⎜⎝
n2
1 +
π
+1 n2 + 2π
+
+
n2
1 + nπ
⎞ ⎟⎠
.
准则Ⅰ′
如果当
x
∈
U
0 δ
(
x0
)
(或
x
>
M )时,有
(1) g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x),
(2) lim g( x) = A, lim h( x) = A,
x→ x0 ( x→∞ )
, 单调增加 单调数列
, 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
几何解释:
x1 x2 x3xn xn+1 A M
x
例2 证明数列 xn = 3 + 3 + 式)的极限存在.
+ 3 (n重根
证 可证 xn+1 > xn , ∴{xn}是单调递增的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 xk < 3, xk+1 = 3 + xk< 3 + 3 < 3,
10 lim sin α = 1; 某过程 α
1
20 lim (1 + α)α = e. 某过程
3