线性相关和线性无关的结论

§性质定理总结：

一、线性相关的判别：

1、m ααα ,,21线性相关⇔存在不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得

1122m m k k k .ααα++=0

2、1α线性相关⇔ 1α=0.

3、12,αα线性相关⇔ 1α与2α的对应分量成比例.

4、m ααα ,,21线性相关⇔其中至少有一个向量能用其余向量线性表示.

5、n 个n 维向量线性相关⇔它们构成的行列式等于零.

6、m ααα ,,21线性相关 ⇔m ααα ,,21的秩小于m .

7、对调坐标不改变向量组的线性相关性.

8、部分相关⇒整体相关.

9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关.

二、线性无关的判别：

1、m ααα ,,21线性无关⇔如果1122,m m k k k ααα++=0则有

.021====m k k k 2、整体无关⇒部分无关.

3、无关则加长无关

三、线性相关的性质：

m ααα ,,21线性无关，12m ,,,αααβ线性相关⇒β可由m ααα ,,21线性表 示，且表示法唯一.

四、线性无关的性质：

1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数.

2、等价线性无关向量组的向量个数相同.

五、向量组的秩的性质：

1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩.

A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组；

A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式.

2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩.

3、等价向量组的秩相同.

六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.