高中数学必修三习题：第三章3.3几何概型 Word版含答案

第三章 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生

A 级 基础巩固

一、选择题

1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析：几何概型和古典概型是两种不同的概率模型． 答案：A

2．有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

解析：A 中奖概率为38，B 中奖概率为14，C 中奖概率为13，D 中奖概率为1

3.

答案：A

3．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )

A ．0.008

B ．0.004

C ．0.002

D ．0.005

答案：D

4．在2016年春节期间，3路公交车由原来的每15分钟一班改为现在的每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )

A.

110 B.19 C.111 D.9

10

解析：记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，则A 所占时间区域长度为1分钟，而整个区域的时间长度为10分钟，故由几何概型的概率公式，得P (A )＝110

.

答案：A

5．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( )

A.

π16 B.π8 C.π4 D. π2

解析：该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心、1为半径的14圆内．所以所求的概率为14

π12

×2×2＝π8

.

答案：B 二、填空题

6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机抽取一点，则该点在三棱锥A 1-ABC 内的概率是________．

解析：P ＝VA 1-ABC VABCD -A 1B 1C 1D 1＝1

6

.

答案：1

6

7．某人对某台的电视节目进行了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目时，看不到广告的概率为

9

10，那么该台每小时约有________分钟的广告． 解析：60×⎝

⎛⎭

⎪⎫

1－910＝6(分钟)． 答案：6

8．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________．

解析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．

如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1

3，于是事件A 发生的概

率P (A )＝1

3

.

答案：1

3

三、解答题

9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．

解：如下图所示，四边形ABCD 是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中的阴影部分表示事件A “海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．

问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率． 因为S 长方形ABCD ＝30×20＝600(m 2

)，

S 长方形A ′B ′C ′D ′＝(30－4)×(20－4)＝416(m 2)，

所以S 阴影部分＝S 长方形ABCD －S 长方形A ′B ′C ′D ′＝600－416＝184(m 2

)， 根据几何概型的概率公式，得P (A )＝

184600＝23

75

≈0.31. 10．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．

解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝2

5.

(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝1

15

.

(3)P ＝

不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝3

5

，

或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝3

5

.

B 级 能力提升

1．(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

A.4n

m

B.

2n

m

C.

4m n D.2m n

答案：C

2．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到

圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1

4，则去打篮球；否则，在

家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

解析：记“小波周末去看电影”为事件A ，

则P (A )＝1－

π·⎝ ⎛⎭

⎪

⎫122

π

＝34

，记“小波周末去打篮球”为事件B ，则P (B )＝π·⎝ ⎛⎭

⎪⎫142π

＝116

，点到圆心的距离大于12与点到圆心的距离小于1

4不可能同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，

则小波周末不在家看书为事件A ＋B .P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝34＋116＝13

16

.

答案：13

16

3.如图所示，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．

(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．

解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为3

10

.

(2)如下图所示，连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP .易求得OD ＝2 2.

当点S 在线段MP 上时，S △ABS ＝1

2

×22×8＝82，

所以只有当点S 落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP

＝12·π2·42－12×42

＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.